颜表情-沈阳市实验中学

三次型函数的最值问题
一、合理赋值，解决三次型函数最值问题：
例1：已 知定义在
Z
上的函数
f(x)
满足对任意整数有
f(xy)f( x)f(y)3xy(xy2)3
，且
f(1)1
.
（1）求
f(t)
的表达式（
tZ
）；
（2）若对任意 整数
t4
，有
f(t)mt(4m1)t3m
恒成立，试求
m
的最大值.
思路分析：第（1）小问难点有两个，其一，是如何合理对
x,y< br>赋值求出
f(t)
的表达式，常
规策略是保留一个变量，对另一变量赋值，根据 条件
f(1)1
，可以将另一变量赋予值1；
其二，
x,y
不一定 是正整数。第（2）小问处理三次函数恒成立问题时我们经常利用导数这
一工具求解，通过本题求解可以 反思一下：一定要求导吗？
解：（1）令
xt,y1
，得
f(t1) f(t)f(1)3t(t3)3f(t)3t9t4

① 当
t
为正整数时，
f(t)f(t1)3(t1)9(t1)4


f(t1)f(t2)3(t2)9(t2)4

……

f(2)f(1)31914

以上
t1
个式子相加，得
2
2
2
2
2
f(t)f(1)3

i9

i4(t1)13< br>2
i1i1
t1t1
(t1)t(2t1)(t1)t
94(t1)

62
t
3
3t
2
3
.
② 当
t0
时，令
xy0
，得
f(0)3

③ 当
t
为负整数时，
t
为正整数，由题设，
f(0) f(tt)f(t)f(t)6t33
，
则
f(t)f(t )6t6[(t)3(t)3]6(t)6t3t3
.
综上，
f(t)t3t3
.
（2）由（1）得 对任意整数
t4
，
t3t3mt(4m1)t3m
恒成立，
322
32
232232
2

即
(t1)( t3)(t1)(mt3m)
恒成立，亦即
(t1)(t3)[(t1)m] 0
恒成立，
由
t4
，知
(t1)(t2)0
， 于是
t1m
恒成立，从而
m3
.

m
的最大值为3.
练习1：已知对任意实数
t[2,2]< br>均有

1
4
1
tb
3
t
3b
2
t
2
b
1
tb
0

成立，求
22
b
1
b
3
.
思路分析：本题的 最大难度如何处理
b
i
(i1,2,3,4)
中的
b
0< br>和
b
2
，可以联系函数的奇偶性通
过恰当赋值逼出
b
0
和
b
2
的值.
432
解：令
f(t)tb
3
tb
2
tb
1
tb
0
，考察g(t)
f(t)f(t)
4
tb
2
t
2< br>b
0
，易得
2
1

g(2)

2

11
1

g(2)g(0)2g(1)2
，又
g(t)
，则

g(0)
，解得
b
0
,b
2
2
，
22
2

1

g(1)

2

1

f(1)bb
1 3

1

2
代入得

，又
f(t)，可得
b
1
b
3
0
.
2
f(1)bb
1
13

2
练习2：设
f( x)maxxax
2
bxc(1x3)
，当
a,b,c
取遍所有实数时，求
f(x)
的
最小值.
解：令
tx2
，则原问题等价于
f(t)maxt
3
a
1
t
2b
1
tc
1
(1t1)
，
32
令
g(t)ta
1
tb
1
tc
1
,t[ 1,1]
，则
11
4g(1)4g(1)88b
1
,8g ()8g()28b
1

22
11
24f(t)4g( 1)4g(1)8g()8g()

22
11
4g(1)4g(1)8g()8g()6
. 22

13
，此时
a
1
0,b
1
,c
1
0
.
44
4513
不难得到，此时
a6,b,c
.
42
1
故
f(x)
的最小值为.
4
因此，
f(t)
二、抓住主元，解决三元最值问题：
例2已知
x,y,z0
且
xyz1
，求
f(x,y,z)x2y 
32
10
z
的最大值和最小值.
3
思路分析：本题最大 值通过放缩较易下手，问题在求解最小值时难以控制.可以考虑扣住最
高次
x
，利用条 件化三元为二元，再抓主元
x
得到原问题最小值的求解策略.
解：（1）
f (x,y,z)x2y
32
3
1
zx
3
y
2
z(xyz)
，
333333
当且仅当
xy0,z1
时取等号.
（2）求< br>f(x,y,z)
的最小值，考虑运用逐步调整法，即假设
y
为定值，则
32
有
f(x,y,z)x2y
xz1y(0x1y)
，
2
101010

zx
3
x2y
2
(1y)
，
333
对
x
求导数有
f
x
'(x,y,z)3x
10
0
，所以当
x1y
时，f(x,y,z)
有最小值，此时
3
3232
z0,y1x
，故
f(x,y,z)
min
g(x)x2(1x)x2x4x2 (0x1)
的最
小值，而
g'(x)3x4x4(3x2)(x2)
，
2
2
处取到的最小值即为在区间
[0,1]
上最小值.
3
1421
，当且仅当
x,y,z0
时成立.
f (x,y,z)
min
g(x)
min

2733
101 4
综上，
f(x,y,z)
max

.
,f(x,y,z )
min

327
所以，
g(x)
在
x
练习1：设
a,b,cR
，并且存在

,

,



1,1

，使得
a

b

c

0
.
求
f


abc


的最小值.
abc

333
2
解：
Qa,

,


1,1

，

由抽屉原理，可知三个 实数
a,

,

中至少有两个相等.
（1） 三个实数完 全相等，







1,1

，则必有
abc0
，从而


a
3
b
3
c
3

a
3
b
3< br>(ab)
3


3ab(ab)

f





abc

9
.
abcabc



（2） 三个数不全相等，不妨设





，则必有
abc
，从而
22
2

a
3
b
3
c
3
 
(bc)
3
b
3
c
3

(b c)
2
b
2
bcc
2

2(b
2
c
2
)bc

f








abc(bc)bcbcbc
 
当
bc0
时，
f25
，当且仅当
bc0时取等号.
综上，
f
min
9
.

练习2：已知
a,b,c
是满足
abc
的正数，求函数
222
2222
a
3
b
3
c
3
f( a,b,c)
2
的最小值.
22
a(bc)b(ac)c(a b)
解：
Qb
3
bc
2
c
3
b2
c2b
3
bc
2
2c
3
b
2
c2b
2
c2bc
2
.
b
3
 c
3
b
2
cbc
2
.
（此不等式也可直接作差 因式分解得到）
3322
故
a(2b)a2ba(2b)
，
即
2a4b2ab22ab
.
同理，
2a4c2ac22ac
.
33322222
综上可 得，
22a7b7c2a(bc)22(baca)3(bccb)
……①
3322
3322
(bc)
2
bc
由
ab c
，得
a
.
2
2
222
(52)a
3
(42)a
2

bc
a
3
(22 1)a
2
(bc)b
2
ac
2
a
……② < br>2
1
2
b
2
c
2
a(bc)(bc )2bc(bc)2(b
2
cc
2
b)
. 注意到
a
22
3
322
则
(22)a(222)(bccb)< br>……③
将①②③三式相加，整理得

a
3
b
3
c
3

号.
221
2
[a(bc)b
2
(ca)c
2
(ab)]
.当且仅当
a2b2c
时取等
7
故
f( a,b,c)
的最小值为
221
.
7