后悔的一件事作文-田径运动会秩序册

2.4.8整除及余数判定基本法则
一个数能被2（或5）整除，当且仅当其末一位数能被2（或5）整除；
一个数能被4（或25）整除，当且仅当其末两位数能被4（或25）整除；
一个是能被8（或125）整除，当且仅当其末三位数能被8（或125）整除。
一个数被2（或5）除得的余数，就是其末一位数被2（或5）除得的余数。
一个数被4（或25）除得的余数，就是其末两位数被4（或25）除得的余数。
一个数被8（或125）除得的余数，就是其末三位数被8（或125）除得的余数。
3.9整除及余数判定基本法则
一个数能被3整除，当且仅当其各位数字和能被3整除；
一个数能被9整除，当且仅当其各位数字和能被9整除；
一个数能被3除得的余除，就是其各位数字和被3除得的余数；；
一个数能被9除得的余数，就是其各位数字和被9除得的余数。
7整除判定基本法则
一个数是7的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为7的倍数；
一个数是7的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为7的倍数。
11整除判定基本法则
一个数是11的倍数，当且仅当其奇数位之和与偶数位之和的差为11的倍数；
一个数是11的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为11的倍数。
13整除判定基本法则
一个数是13的倍数，当且仅当其末三位，与剩下的数之差为13的倍数。
奇偶特征
1.二个奇数之和差为偶数，二个偶数之和差为偶数，一奇一偶之和差为奇数；
2.两个数的和差为奇数，则它们奇偶相反，两个数的和差为偶数，则它们奇偶相同；
3.两个数的和为奇数，则其差也为奇数，两个数的和为偶数，则其差也为偶数。
经济利润问题
“利润率”的定义和计算公式：利润率=利润÷成本=（售价-成本）÷成本。
折扣的概念，如“二折”即现价为原价的20％，“九折”即现价为原价的90％.
常规计算问题
我们把类似20022002或者198198198这样的数叫做“循环数” ，考生一定要熟练掌握这种树
的因数分解，比如20022002=2002*10001，19819 8198=198*10011001，注意算清楚位数。
乘方位数
1. 底数留个位；
2. 指数末二位除以4留余数（余数为0则看作4）。
乘方余数
1. 底数除以7留余数；
2. 指数除以6留余数（余数为0则看作6）。
等差数列求和公式：和=（首项+末项）*项数2=平均数*项数=中位数*项数
等差数列项数公式：项数=末项-首项公差+1
等差数列级差公式：第N项-第M项=（N-M）*公差
两集合标准型
满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数
三集合标准型
︱A∪B∪C︱=︱A︱+︱B︱+︱C︱-︱A∩B︱-︱B∩C︱-︱C∩A︱+︱A∩B∩C︱
三集合整体重复型

在三集合的题型中，假设满足三个条 件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件
之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元 素数量为x，满足两个条件的元素数量为
y，满足三个条件的元素数量为z,根据条件可得到下面两个等 式：
W=x+y+z A+B+C=x*1+y*2+z*3
排列组合
加法原理：分类用加法 排列：与顺序有关
乘法原理：分步用乘法 组合：与顺序无关
1. 相邻问题---捆绑法：先考虑相邻元素，然后将其视为一个整体；
2. 不邻问题---- 抽空法：先考虑剩余元素，然后将不邻元素抽入所成间隙之中。
错位排列问题：有N封信和N个信封， 每封信都装在自己的信封里，可能的方法的种树记
做D
n
,则D
1
= 0，D
2
=1，D
3
=2，D
4
=9， D
5
=44…请牢记这五个数。
概率问题
概率=满足条件的情况数总的情况数
总体概率=满足条件的各种情况概率之和；
分步概率=满足条件的每个步骤概率之积。
某条件成立概率=1-该条件不成立的概率。
几何概率：满足条件的概率=满足条件的几何区域面积总几何面积；
条件概率：“A成立”时“B成立”的概率=A、B同时成立的概率A成立的概率；
概率期望：各个实现值乘各自的概率，最后再相加。
抽屉原理
最不利原则：考虑对需要满足的条件“最不利”的情形，最后+1即可。
溶液问题
溶液=溶质+溶剂；浓度=溶质溶液；溶质=溶液*浓度；溶液=溶质浓度。
浓度分别为的溶液a％、b％，质量分别为M，N，交换质量L后浓度都变成c％，则
（1）c％= a％*M+ b％* N

M+N
（2）M-L

L= L

N—L→ L= M*N M+N
1.溶液倒出比例为a的溶液，再加入相同的溶液，则浓度变成原来的（1+a）.
2.溶液加入比例为a的溶剂，再倒出相同的溶液，则浓度变成原来的11+a
工程问题：工作量=时间*效率；核心思想：转化归一（设“1”法）
牛吃草问题：核心公式：y=(N-x)*T.
1. y代表原有存量（比如“原有草量”）
2. N代表促使原有存量减少的变量（比如“牛数”）
3. T代表存量完全消失所耗用的时间
4. x代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”）。
牛羊混吃型
当题目中有牛有羊时，需要将其全部转换为牛或者羊，再代入公式进行计算。
自然消亡型：
如果解方程组算的x为负，说明存量不是自然增长而是自然消亡的
大小草场型
如果草场有面积的区别，如“M头牛吃W亩草”时，N用“MW”代入，此时N代 表单位
面积上的牛数。
钟表问题

1. 设钟表一圈分为了12格，则时针每小时转1格，分针每小时转12格。
2. 时针一昼夜转2圈，1小时转112圈；分针一昼夜转24圈，1小时转1圈。
3. 钟面上每二格之间为30°，时针与分针成某个角度一般都有对称的二种情况。
钟表问题追及公式：T =T
0
+111T
0
.其中：T为追及问题，即分针和时针“达到条件要求” 的
真实时间。T
0为静态时间，即假设时针不动，分针和时针“达到条件要求”的虚拟时间。< br>
快慢坏表问题本质：比例问题。解题关键：抓住“标准比”，按比例计算。
小数分数型
我们在研究“最大公约数”与“最小公倍数”的时候，一般都是在整理范围内进行 讨论。实
际操作当中，我们还可能碰到小数或者分数的情形，这时我们可以按下列步骤进行求解：
1. 将给定的小数或分数乘以同样的一个数N（可以不是整数），使之全部变为整数；
2. 求解第一步得到的这些整数的最大公约数与最小公倍数；
3. 将第二步得到的最大公约数与最小公倍数分别除以N，既得结果。
页码用字型
三位数的页码是考试的重点，牢记如下换算公式：页码=数字3+36
同余口诀型
“余同取余，和同取加，差同减差，公倍数做周期”
1. 余同：“一个数除以4余1，除以5余1，除以6余1”，则取1，表示为60n+1”
2. 和同：“一个数除以4余3，除以5余2，除以6余1”，则取7，表示为60n+7”
3. 差同：“一个数除以4余1，除以5余2，除以6余3”，则取-3，表示为60n-3”
选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍（即例中的60n）都满足条件。
注意：n的取值范围为整数，即可以去负值，也可以取零值。
日期加总型
当条件中 出现“连续多个日期之和”或“连续某个星期几的日期之和”时，这些日期本质上
都是等差数列，可以通 过计算其“平均数”来定位这些日期中的“中位数”从而完成答题。
日期推断型
在计算两个 日期之间一共有多少天的时候，我们应该先进行“整月计算”即先计算不同月的
同一日期相差多少天，然 后再根据条件要求进行修正。在进行“整月计算”的时候，我们先
假设每个月都是标准天数，即30天， 然后根据各月与30天的差异进行修正。
星期推断型
当题目要求我们推断某日是星期几的时 候，如果条件日期与提问日期相差不到一年，我们可
以利用上一题型的方法来计算相差日期。如果条件日 期与提问日期相差若干年时，我们一般
利用下面的简便方法来消除整年的影响；
如果所有的年 都是闰年，那么每年都是365天，而3657=52…1，那么问“365天之后（即
1年之后）星期 几”就等同于问“1天之后星期几”，问“N年之后星期几”就等同于问“N
天之后星期几”，即把任何 一年当做一天。而事实上，闰年跟平年比仅仅多了一个“2月29
日”，那么在进行实际计算的时候，我 们先假设“一年就是一天”，再计算两个日期之间包含
了多少个“2月29日”，再把这些天补上即可。
行程问题
路程=速度*时间
“变速运动”实质上就是“分段运动”，关键是抓住每 段运动的“路程=速度*时间”。此外，
各段路程之和等于总路程，各段时间之和等于总时间。
提前了多长时间出发，就相当于用时多了多长时间。
迟到多少时间，用时就多多少少时间；早到多少时间，用时就少多少时间。
行程问题基本比例 ：S
甲
S
乙
=v
甲
v
乙
*t
甲< br>t
乙

T若相等，S与v成正比；v若相等，S与t成正比；S若相等，v与t成反比。
间歇运动型
固定目标：先考虑对应的非间歇运动的时间，再加入休息时间即可。
移动目标：考虑与选项相近的一个整周期，代入其中进行计算。
V
t
=v
0
+at S=v
0
t+12 at
2
=(v
0
+v
t
)*t2
相遇追及型
相遇问题：相遇距离=（大速度+小速度）*相遇时间
追及问题：追及距离=（大速度- 小速度）*追及时间。
背离问题：背离距离=（大速度+小速度）*背离时间
环形运动型
反向运动：环形周长=（大速度+小速度）*相遇时间
同向运动：环形周长=（大速度- 小速度）*相遇时间
流水行船型
顺流路程=顺流速度*顺流时间=（船速+水速）*顺流时间
逆流路程=逆流速度*逆流时间=（船速-水速）*逆流时间
扶梯上下型
1.“扶梯上下型”本质上是“流水行船问题”，但有自己独特的题型和解法
2.“扶梯总长”在题目当中一般被描述为“扶梯露在外面的阶数”。
3.扶梯总长=人走的阶数*（1±
v
，顺行用加法，逆行用减法。
梯
v
入
）
队伍行进型
对头→队尾：队伍长度=（人速+队伍速度）*时间
队尾→对头：队伍长度=（人速- 队伍速度）*时间
往返相遇型
左右点出发：
第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1）；第N次追上相遇，路程差=全程*（2N-1）。
同一点出发
第N次迎面相遇，路程和=全程*2N；第N次追上相遇，路程差=全程*2N。
弃九推断
在整数范围内+、-、*、三种运算当中，我们可以使用“弃九法”来排除选项：
1. 在计算时，将计算过程中数字全部除以9，留其余数进行相同的计算。
2. 计算时，如果数字不在0-8之间，通过加上或减去9或9的倍数，到达0-8之间
3. 将选项除以9留其余数，与上面计算结果对照，得到答案。
植树型
1. 单边线型植树公式：棵树=总长间隔+1；总长=（棵树-1）*间隔。
2. 单边环型植树公式：棵树=总长间隔；总长=棵树*间隔。
3. 单边楼间植树公式：棵树=总长间隔-1；总长=（棵树+1）*间隔。
4. 双边植树问题公式：相应单边植树问题所需棵树的2倍。
排队型
假设队伍共有N人，A排在第M位，则A前面有（M-1）人，后面有（N-M）人。
爬楼型
从地面爬到第N层楼，要爬（N-1）层，从第M层楼爬到第N层楼，要爬︱M-N︱人。

截管型
将钢管截成N段，需要截（N-1）次。
比赛问题
N支队伍进行循环赛每支队伍需要和其他任意队伍进行一次比赛，所以每支队伍需要 进行
（N-1）场比赛，由于每场比赛都是2个队伍共同进行，所以总场应该为N(N-1)2
年龄问题
“年龄差不变”是题型的核心所在。
拆数求积型
将一个正整数 （≥2）拆成若干自然数之和，要使这些自然数的乘积尽可能的大，那么我们
应该这样来拆数，全部拆成 若干个3和少量2（0个2，1个2，2个2）之和即可。
空瓶换酒型
我们一般将“M个空瓶换N瓶酒”转化为“（M-N）个空瓶换N个（无瓶）酒”来完成答题。
乘船过河问题
核心公式：M个人过河，船上能载N个人，由于需要一人划船，故共需过河M- 1N-1次，
（分子、分母分别减“1”是因为需要1个人划船，如果需要n个人划船就要同时减去n）
青蛙爬井问题可转化为乘船过河问题，因此可以使用相同的公式。
勾股定理
勾股定 理：a
2
+b
2
=c
2
(其中a、b为直角边c为斜边)
常用勾股数 直角边
3
直角边
4
斜边
5
6
8
10
9 12 15
20
25
5
12
13
10
24
26
7
24
25
8
15
17
12 16
15 20
分割求解型
将一个整体图形分割为多个部分，利用整体与部分之间的关系来求解。
嵌套求补型
当两个规则图形存在“包含”关系的时候，“大规则图形”挖去“小规则图形”所 剩下的形
状往往是不规则的，其面积必然是两个规则图形的差，我们称这一类几何题型为“嵌套求补型”
等比放缩型
一个几何图形，若其尺度变为原来的m倍，则：
1. 所有对应角度不发生改变。
2. 所有对应长度变为原来的m倍。
3. 所有对应面积变为原来的m
2
倍。
4. 所有对应体积变为原来的m
3
倍。
几何最值型
1. 平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大。
2. 平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小。
3. 立体图形中，若表面积一定，越接近于秋，体积越大。
4. 立体图形中，若体积一定，越接近于秋，表面积越小。
三边关系型
三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
重复剔除型
1平均 分组时，一旦有N个组人数相同，最后都要除以A
N
N
以剔除重复情形。
2.N人排成一圈，有A
N
N
÷
N种串法。

3.N枚珍珠串成一条项链，有A
N
N
÷2
N种串法。
指数增长
N
如果一个量，每个周期后变成原来的A倍，那么N个周期后就是最开始的 A倍，1个周期
前应该是当时的1A.
总体平均数：总和=平均数*个数
条件若是给出“等差数列”，我们可以通过计算其“平均数”来得到数列的“中位数”
当数字较大时，我们可以假定平均数为0以得到各个数字的相对大小，从而简化计算。
在这种情况下，数字的相对总和也是为0的
不变数沿途数车
计算途中所见车辆的出发时间，从而确定可以遇到的车的数量。

基期与现期
概念含义 在资料分析中，涉及某个统计指 标发生变化时，经常是一个时期的量相对
于另一个时期的量发生变化。此时，作为对比基础的时期称为基 础时期（简
称基期），而相对于基期的另一个时期称为现在时期（简称现期）。例如表
述为“与 时刻Ⅰ相比，时刻Ⅱ的某量发生某种变化”时，时刻Ⅰ为基期，
而时刻Ⅱ为现期。
考查分析 资料分析中最常见的考查方式就是对不同时期的数据进行比较，因此基期
与现期是一组重要的基础概念。 但考试中，基本不会直接考查基期与现期，
而是作为理解增长率等概念的基础。在谈及变化时，一定要有 基期数据才
可以判断。
百分数与百分比
概念含义 百分数是表示一个数是另一个数 的百分之几的数，可叫百分率或百分比。
百分数通常不写成分数的形式，而采用符号%（百分号）来表示 。百分数
是指不同时期以百分数形式表示的相对指标（如：速度、指数、构成等）
考查分析
的变动幅度。
百分数与百分点是数据呈现的形式，前者对应增长率、比重等，后者对应
百分数的变化情况，二者的区别在于：
A． 百分数通常用来描述实际量的变化情况，例如旅游人数 、生产总值、
产量等，而百分点通常用来描述百分数。
B． 百分数的计算通常为“先减后除 ”，也即先做现期值与基期值的差，再
用差值与基期值相除得到；而百分点的计算通常为“只减不除”， 也即
直接将两个百分数直接想减并去除百分号，而不做除法。
拉动…..增长几个百分点=现期某部分增加值总体基期值*100
现期某部分增加值=拉动….增长几个百分点*总体基期值100
同比与环比
概念含义 同比是指和某一相同事情（比如去年同一时期）相比较而发生的量的增加。
环比增长 是指和上一个时期相比较而发生的量的增加，包括日环比、月环
比、年环比。
同比与环比是最 常见的两种比较方式，在考试中是以基础概念出现，考题
会直接涉及同比或环比的增长（或减少）情况。 二者的区别在于选择基期
的不同，但当谈及全年情况时，同比与环比实际上是一回事，例如“2010< br>年进口总值同比….”与“2010年进口总值环比…”表达意思一致。
考查分析
同比增长速度=本期数值-上一年同期数值上一年同期数值*100%
同比模型
模型1：已知某时期具体数值A及其同比增长速度r，待求上一年同期具体数值B。
计算公式“B=A1+r
模型2：已知某时期具体数值A及其同比增长速度r，待求该时期的同比增长量C。
计算公式“C=（A1+r）*r
比重与比值
概念含义 比重是指部分在整体中所 占的分量，通常以百分数表示，因此又称百分比。
比值是指二个同类量相比所得的值，即前项除以后项所 得的商。上述二者
都可以用比例来表示。如：A.在所销商品中，国货的比例最大。（此句中意
同比重） B.教师和学生的比例已经达到要求。（此句中意同比值）
考查分析

比重、比值是资料分析的常考概念，题目较多，但难度不高。

整体与部分模型
模型1：若某整体C由多个部分M
i
(i=1,…,n)组 成，则整体值等于各部分值之和。
计算公式：C=M
1
+M
2
+…+M
n

模型2：整体中的任一部分之值等于整体值减去其余各部分值。
计算公式：M=C-( M
1
+….+M
i-1
+ M
i+1
…+M
n
)
由此公式，可知任一部分所占比重等于1减去其余各部分所占比重。
所以部分的比重之和始终为1，因此不可能出现所以部分所占比重均上升的情形。
当某一部分 的增长率高于整体的平均增长率时，其所占比重上升。反之，当某一部分的增长
率低于整体的平均增长率 时，其所占比重下降。此结论常用于判定比重变化趋势。
模型3：由二部分A与B组成整体C。
计算公式：C=A+B
十字交叉法：量A与B构成总量A+B，其中量A的“平均值”为a， 量B的“平均值”为
b（此处“平均值”可以为增长率、平均分、价格、产量、浓度等），混合而成的A +B的“平
均值”为r(r必然介于a与b之间)，则AB=r-ba-r。一般写成如下形式：
A a r-b


r

B b a- r
当a、b表示增长率时，则得到的比例是未增长之前的比例 ，增长之后的比例还应乘以各自
的增长率。则A
’
B’=（r-b）(1-a)(a- r)(1+b)
倍数与翻番
概念含义 倍数是一个量与另一个量的比值；翻番则指数量翻倍 。二者都表示两个指
标之间的比值关系，但前者是算术级，后者是几何级。例如基础量为A，
若 另一量是基础量的n倍，则另一量值为n*A;若另一量是基础量翻n番，
则另一量值为2
n< br>×
A
考查分析 倍数是对两个值的一种比较方式，在资料分析多次考查。翻番通常是在判
断说法是否正确的题目中出现。
知识拓展：特别注意，“增长了n倍”与“为…的n倍”两者之差别；增长了n倍，则实际
变为 原来的n+1倍。因此在计算增长多少倍时，有两种计算方法：
方法1：现期值减去基期值得到增长量，增长量除以基期值得到增长倍数。
方法2：现期值除以基期值得到倍数，再减去1得到增长倍数。
平均数与中位数
概念含义 在一组数据中，所有数据之和除以数据的个数，所得到的数既为平均数。
一组数据按 从小到大（或从大到小）的顺序依次排列，处于最中间位置的
一个数就是中位数。若该组数据的个数为偶 数个，中位数则为最中间两个
数的平均数。
考查分析




平均数与中位数是资料分析的两个重要概念，反映了一组数据的平均水平，
在考试中 时有出现，难道不大。

增长量与增长率
概念含义 增长量是指现 期量与基期量之差，其中现期量高于基期量，用以表示具体
量的决定变化；增长率时增长量与基期之比值 ，用以表示具体量的相对变
化，又称增长幅度、增幅、增长速度、增速
考查分析 增长量与增 长率是资料分析中最重要的两个概念，是考查的热点与重点。
基于增长量与增长率的模型众多，是计算的 主要模型来源。在谈到增长率
时，一定要有基期，否则无法判定是否增长。这类增长陷阱在考试中常见。
知识拓展：增长量与增长率的类似概念分别为减少量与减少率。相对应情况对比如下：
增长量=现期量+基期量 减少量=基期量-现期量
增长率=增长量÷基期量×100%
现期量=基期量×（1+增长率）
基期量=现期量÷（1+增长率）
减少率=减少量÷基期量×100%
现期量=基期量×（1-减少率）
基期量=现期量÷（1-减少率）
题干中若出现“增长最多（少）”，是指“增长量最多（少 ）”；若出现“增长最快（慢）”，是
指“增长率最高（低）”。这两个概念的相似性是命题的常见陷阱 。
在知道现期值A与增长率r,则基期量=A1+r，由于r通常较小（≤10%），计算此分数较为
麻烦，也不适合估算。计算技巧为：
速算公式1：A1+r≈A(1-r)，用于已知现期量与增长率，待求基期量。
速算公式2：A1-r≈A(1+r)，用于已知现期量与减小率，待求基期量。
使用情况：r值较小，通常小于10%。
模型1：已知现期值A与增长率r，则增长量=Ar1+r
模型2：当题目比较两个增长率时 ，例如B相对A的增长率与D相对C的增长率进行比较
大小，可直接比较BA与DC的大小，而不需要计 算完整的增长率。
模型3：两期混合增长模型。对某个量，基期量为A，第一期的增长率为r
1
，第二期的增长
率为r
2
，则从基期到第二期的增长率为r=r
1
+r
2
+r
1
×r
2
此公式计算结果为精确 值，并非近似值。多期公式也可以讲起转化为两期混合增长模型求出。
当r
1
、r2
均为正数时，由公式还可得r＞r
1
×r
2
，
常用于选项正误判断。
模型4：等速增长模型。对某个量。基期量为A，第一期量 为B，第二期量为C，第一期与
第二期的增长率相同，则有A、B、C成等比数列。
计算公式：已知基期量A与第一期量B，则等速增长时，第二期量为C=B
2
÷A
计算公式：已知基期量A与第一期量B，则等速增长时，第二期量满足：C＞2B-A


指数与实际值
概念含义 实际值是指事物变化的绝对值，而指数通常用于衡量某种 要素相对变化的
指标量，表示的是相对变化情况，而非其绝对值大小，例如纳斯达克指数、
物价 指数、房地产平均价格指数、景气指数等等。
在指数定义中，通常先将基期的指数定为100，然后将其他时期的量除以基
考查分析
期量，所得比值在乘以100即为其对应的指数。
指数是资料分析的考查热点，无论作为内容 还是考查技巧，指数具有独特
的侧重方面。注意指数的趋势图不能单纯根据曲线斜率来判断增长快慢。
指数之所以能够反映出指标量的相对变化情况，是因为它具有如下两条性质：
性质1：相应两期指数的比=相应两期实际值的比
性质2：指数的增长率=实际值的增长率