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高中数学解题八种思维模式
和十种思维策略
引言
“数学是思维的体操”
“数学教学是数学(思维)活动的教学。”
学习数学应该 看成是学习
数学思维过程
以及
数学思维结果
这二者的综合，因而可
以 说数学思维是动的数学，而数学知识本身是静的数学，这二者是辩证的统一。作为思
维载体的数学语言简 练准确和数学形式具有
符号化、抽象化、结构化
倾向。

高中数学思维中的重要向题
它可以包括:
高中数学思维的基本形式
高中数学思维的一般方法
高中数学中的重要思维模式
高中数学解题常用的数学思维策略
高中数学非逻辑思维(包括形象思维、直觉思维)问题研究;
高中数学思维的指向性(如定 向思维、逆向思维、集中思维和发散思维等)研究;
高中数学思维能力评估：广阔性、深刻性、灵活性、敏捷性、批判性、 创造性
高中数学思维的基本形式
从思维科学的角度分析，作为理性认识的人的个体思维题可以分成三 种：逻辑思维、
形象思维、直觉思维
一
数学逻辑思维
的基本形式1、概念是 逻辑思维的最基本的思维形式，数学概念间的逻
辑关系，a同一关系b从属关系c交叉关系以及d对立关 系e矛盾关系 12、判断是逻辑
思维在概念基础上的发展， 它表现为对概念的性质或关系有所肯定或否定，是认识概念
间联系的思维形式。 3、推理是从一个或几个已知判断推出另一个新判断的思维形式，
是对判断间的逻辑关系的认识。
二
数学形象思维
的基本形式 1图形表象是与外部几何图形的形状相一致的脑中示意< br>图，2图式表象是与外部数学式子的结初关系相一致的模式形象。 3形象识别直感是用
数学表象 这个类象（普遍形象）的特征去比较数学对象的个象，根据形象特征整合的相
似性来判别个象是否与类象 同质的思维形式。4模式补形直感是利用主体已在头脑中建构
的数学表象模式1，对具有部分特征相同的 数学对象进行表象补形，实施整合的思维形式。
5形象相似直感是以形象识别直感和模式补形直感为基础 基础的复合直感。6 象质转换直
感是利用数学表象的变化或差异来判别数学在对象的质变或质异的形象 特征判断。7图形

想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造。8图式 想象是以数学直感
为基础的对数学图式表象的加工与改造。9关于联想和猜想，它们既是数学形象思维中 想
象推理不同表现形式，也是数学形象思维的重要方法。
三
数学直觉思维
的基本形式 1、直觉是运用有关知识组块和形象直感对当前问题进敏
锐的分析、推理，并能迅速发现解决向题的方向或途径的思维形式。 2。灵感（或顿悟）
是直觉思维的另一种形式。直觉思维是一种敏锐、 快速的综合思维，既需要知识组块和
逻辑推理的支持，也需形象、经验和似真推理的推动。
意识又可分为显意识与潜意识。直感是显意识，而灵感是潜意识。
思维的基本规律
一反映同一律：等值变形，等价变换
二思维相似律：同中辨异，异中求同
数学思维的特性
一数学思维的概括性 数学思维能揭示事物之间抽象的形式结构和数量关系 这些本质
特征和规律，能够把握一类事物共有的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽象
性是互为表里、互为因果的。
二数学思维的问题性 数学思维的问题性是与数学知识的问题性相联结 的，定理、证明、
概念、定义、理论、公式、方法中的队任何一个都不是数学的心脏，只有问题是数学的
心脏。数学解题的思维过程是数学问题的变换过程，数学问题的推广、引申和应用过程，
是新的 数学问题发现和解决的过程，也是数学思维的深化过程和数学知识的发展过程。

三数学思维的相似性 数学思维的相似性是思维相似律在数学思维活动中的反映。解决数
学问题 的根本思想在于寻求客观事物的数学关系和结构的样式， 从已解决的问题中概括
出思维模式，再用模式去处理类似问题。 并进而形成新模式，构成相似系列，即各种概
念、命题与方法的相似链。
数学思维的材料与结果

数学思维的材料就有外部材料与内部材料的区分
外部材料是指数学思维的对象，即现实世界中存在的数量关系、空间 形式以及由此
引申发展的 各种结构关系。例如各种具体的思维目标：数学的概念、命题、定理、公式、
法则，数学问题初始状态中 的图形、符号和语言文字等。
内部材料是指思维主体已有的数学知识和经验，是储存于人脑的认知结 构中的信息
块。其中数学知识信息块由一些明晰的数学概念和关系结构组成，而数学经验信息块是
一种带有模糊性质的思维“相似块”。
数学思维能力的评价标准
广阔性：
发散思维

深刻性：
收敛思维—集中思维和分析思维
灵活性：
辨证思维，进退互用，正难则反，倒顺相通
敏捷性：
直觉思维，转化化归，识别模式，反应速度，熟练程度

独创性：
创新思维—直觉思维和发散思维中，解题方法新颖独特
。
批判性：
独立思考，善于提问，总结回顾，调控思维进程

等六个方面，是高中
数学思维能力的评价标准





高中数学思维的关联系统

关联系统的三个方面包含的主要内容是：
数学关系—数学知识，数学经验和数学语言等；
心理关系—动机与意志，情感、情境与兴趣，性格与态度，精神与作风等；
社会条件一社会与时代的政治、经济、文化背景与主体的关系及其影响。

高中数学思维的一般方法
(一) 观察与实验
(二) 比较、分类与系统化
(三) 归纳、演绎与数学归纳法
(四) 分析与综合
(五) 抽象与概括
(六) 一般化与特殊化
(七) 模型化与具体化
(八) 类比与映射

(九) 联想与猜想

高中数学中的重要思维模式
一逼近模式
把问题归结为条件与结论之间因果关系的演绎；选择适当的方向逐
步逼近目标。
正向逼近一顺推演绎法、逆向逼近一逆求分析法、双向逼近一分析综合法
或两头夹法、反面逼近- 反证法、模糊逼近一尝试探索法、近似逼近一极限法等。

二叠加模式
采用化整为 零、以分求合的思想对问题进行横向分解或纵向分层实
施各个击破而使问题获解的思维方式。其思维程序 是：（1）把问题归结为若干种并列情
形的总和或者播入有关的环节构成一组小问题；（2）处理各种特 殊情形或解决各个小问
题，将它们适当组合 、叠加而得到问题的一般解。爬坡法、逻辑划分法（分类、分域进
行讨论和枚举、穷举都是它的别称）、 中途点法、 辅助定理法等都是此类，4容斥原理、
抽屉原理与重叠原则，以及负向的叠加可称为叠减， 在某种程度上也 体现了登加模式的
思想。

三变换模式
变换模式是通过适 当变更问题的表达形式使其由难化易、由繁化
简，从而最终达到解决问题的思维方式。其思维程序是： （1）选择适当的变换，等价
的或不等价的（加上约束条件）， 以改变问题的表达形式， （2）连续 进行有关变换，
注意整个过程的可控制性和变换的技巧，直至达到目标状态。所谓等价变换，是指把原< br>问题变更为新问题，使两者的答案完全相同。不等价变换则指新问题扩大或缩小了原问
题的允许值 范围。包括代数变换—代数式的恒等变形、代数换元法、方程与不等式的同
解变换与可控制变换等；三角 变换—三角式的恒等变形、三角换元法、万能变换等，几
何变换—合同变换（即平移、对称与旋转）、相 似变换（包括位似变换）、反演变换等。
四映射模式
映射模式是把问题从本领域（或关 系系统）映射到另一领域，在另
一领域中获解后再反演回原领域使问题解决的思维模式， 它与变换模式 在本质上是一致
的，但变换通常是指从一个数学集合到它自身的映射。几何法：把数、式的问题归结为< br>形的问题加以解决；解析法：把几何问题归结为代数问题加以解决； 复数法与向量法一
把几何或代数、三角问题归结为复数或向量向题加以解决； 模拟法：把数学问题转化 为
物理问题或其他学科问题加以解决，其他如极坐标法、参数法等也属于映射模式的范围。
五方程模式
方程模式（又称函数模式）是通过列方程（或方程组）与解方程（或
方程 组）来确定数学关系或解决问题的思维方式。方程模式是反映客观事物数量关系的
一种重要数学模型，它 是沟通已知元素与未知元素之间的辩证联系的一种基本方法。 其
思维程序是： （1）把问题归结为确定一个或几个未知量； （2）列出已知量与未知量
之间按照条件必须成立的所有 关系式（即方程）；（3）解所得的方程或方程组得出结果。

方程模式的思想通常适用于 解决有关方程、函数与不等式等方面的许多问题，这是因为
这三种数学对象之间存在某种相似和性，在一 定条件下是可以相互转化、相互为用的。

六交轨模式
交轨模式是通过分离问题的条件以形成满足每个条件的未 知元
素的轨迹（或集合），再通过叠 加来确定未知元素而使向题解决的思维方式。交轨是一种
特殊的叠加，通常的叠加是求出集合才的并，而 交轨的叠加是求出集合的交。交轨模式
与方程模式也具有部分相通的关系，方程组与不等式组等内容既可 以用交轨观点去看待，
也可以用方程观点去分析，它们之间的区别仅是观察问题时所强调的侧重面的不同 。交
轨模式下的具体模式主要有：1、轨迹相交法：它包括双轨迹模式、相似形模式、辅助图
形 模式及三轨迹模式等。双轨迹模式是：“把问题简化为作一个点。然后把条件分为两体
部分，使每一部分 变成未知点的一条轨迹；而每一条轨迹必须是 一条直线或者是一个
圆”。2、交集法一把向题的解归结 成由几个条件所决定，每一个条件都可以确定出某种
元素的一个集合，这些集合的交集元素就是所求的解 。
七退化模式
退化模式是运用联系转化的思想，将问题按适当方向后退到能看清
关系或悟出解法的地步，再以退求进来达到问题结论的思维方式。其思维程序是： （1）
将问题从整体 或局部上后退，化为较易解决的简化问题、类比问题或特殊情形、极端情
形等，而保持转化回原问题的联 系通途； 〈2〉用解决退化问题或情形的思想方法，经
过适立当变换以解决原问题。如 降维法：从高维向低维后退。包括数据、数量的简化：
空间问题转化为平面问题，方程同题的消元、降次，行列式的降阶、 去边等。 类比法：
联想形式类似的熟悉问题与原问题作性质或解法的 比较对照，从中悟出相似性联系以达
到转化。 特殊化方法：从一般向特殊后退。即从问题的特殊情形或 个别情况入手，观察
性质或方法的变化规律，得出正确的解题途径。 极端化方法：将问题退到极端情形 ，即
考察极端元素耳或临界位置，往往能找到对解决问题有用的奠基因素以实现解题方法的
过渡 。
八递归模式
递归模式是通过确立序列的相邻各项之间的一般关系以及初始值
来确 定通项或整个序列的思维方式。它适用于定义在自然 数集上的一类函数，是解决数
学向题的一种重要逻辑模式，在计 算机科学中有着重要的应用。其思维程序是： （1）
得出序列的第一项或前几项； （2）找到一个或几个关系式，使序列的一般项和它相邻
的前 若干项联系起来； （3）利用上面得到 的关系式或通过变换求出更为基本的关系式
（如等差、等比关系等），递推地求出序列的一般项或所有项 。一般地，在递推关系转换
成基本关系时，用迭代方法就能消去全部中间项而得到序列的通项公式。
高中数学解题常用的数学思维策略

(一)
以简驭繁
。数学知识 的发展是由简单到复杂，繁衍发展以至推演成为各
门数学学科的。解题时的思维反应主要是学会浓缩观察 数学形式结构，从总体的粗线条
上把握题目的数学图式 ；或者将题中有关的概念或方法转化为较简的情 形入手解决。数

学中的换元法、代换法、变换法、递推法、母函数法及解方程中的消元、 降次方法等就
是体现这个策略的解题方法
(二)
进退互用
。‘先足够地退到我们所容易看清楚 的地方，认透了钻深了，
然后再上去（ 华罗庚语）。主要方式有：从一般向特殊后退；从抽象向具体后退，从高维
向低维后退和从较强命题向较 弱命题后退。 数学归纳法、经验归纳法、类比法、递推法、
降维法、放缩法等数学方法或解题方法就是 进退互用的辩证思维在具体方法中的 一些总
结。
(三)
数形迁移
。在 解决数学问题时，若把一个命题的条件或结论给出的数量
关系式称为式结构，而把它在几何形态上的表现 （图像或图形等）称为形结构， 数（或
式）和形之间的相互迁移、转化的表现形态主要有：A、6由形 结构迁移至式结构，解析
几何是体现这种研究的典范。B、由式结构迁移至形结构，这就是通常所说的数 形联想或
几何方法，可使求解过程显得简洁直观。 C、式结构或部分式结构之间的迁移，这是等
价的式结构间的相互转换，常能发现隐含条件和认识各种变式间的本质联系与统一性，
或者通过局部类 比或相似联想的诱发解题线索以解决问题。D、形结构或部分形结构之间
的迁移，几何变换就是利用了某 种不变性来实现形与形之间的沟通。如类比接法、关系
映射反演原则、模拟法、坐标法、交集法、抽屉原 则、几何变换法、构造法、待定系数
法等数学方法和解题方法均在一定意义上属于这个思想范畴。
(四)
化生为熟
。人们认识事物的过程是一个渐进的逐步深化的过程，往往会
呈现相对的阶段性 ，在数学中就是所研究的问题总会有较为熟悉和比较生疏之分。 这
样，在认识一 个新事物或解决一个新问题时，往往会用已认识的事物性质和问题特征去
比较对照新事物和新问题，设法 将新问题的分析研究纳入到已有的认识结构或模式中来。
化生为熟的目的是遇新思陈，推陈出新，起到用 同求异，化难
为易的作用。数学解题方法中的变更问题法或化归法、模式法、放 缩法、构造法、类比
法等都含有化生为熟的指导思想。
(五)
正难则反
。 解决数学间题时，一般总是先从正面入手按照习惯的思维途
径去进行思考，这就是正向思维。如果这种思 维方式对于特定的数学问题形成了一种较
为强烈的意识，则就是一 种定向思维。人们常常借助于一些具体的模式和方法先加强这
种思维定势，而使许多数学问题得到解决。 但是往往也会遇到从正面入手较繁或较难的
情况，或出现一题些逻辑上的困境。这时，就要从辩证思维的 观点出发，克服思维定势
的消极面，从问题或其中的某个方面的反面入手去进行思考， 采取顺繁则逆、 正难则反
的思维策略。就是说，当用顺证不易解决时就考虑用反证法或逆推法；当正向思维不能
奏效时就采用逆向思维去探索；当推理中出现逻辑矛盾或缺陷时，就尝试从反面提出假
设，通过背向思维 进行论证。
(六)
倒顺相通
。 解数学题往往会用顺推，从条件出发之推出 某些关系或性质

去逼近结论，或者用逆求，由结论去寻找使它成立的充分条件，直至追溯 到已知事项，
但是最有效和简捷的解题途径是这两者的有机结合。 倒顺相通策略的运用有两种表现形< br>式。一种是侧重于整体性的思考，即抓住两头，盯着目标，寻求压缩中间环节的解题捷
径；一种是 侧重于联通性的思考，即两头夹击，沟通中间，达到目标的总体思路，也可
以在解题过程中的局部加以使 用。分析综合法 就在此列。
(七)
动静转换
。 动和静（数学中常表述为定）是事物状态表现 的两个侧面。
在数学中，一方面动和静在一个参照系统中 是相对的，可以转化的。另一方面，对于同
一事物可以追寻形成静止状态以前的运动过程；或者反过来， 从运动表现中推出事物将
会达到的相对静止局面。因此，在解决数学问题时，可用动的观点来处理静的数 量和形
态，即以动求静，也可以用静的方法来处理运动过程和事物，即以静求动，数学中的变
换 法，局部固定法，几何作图中的轨迹相交法等就是动静转换策略的具体运用。
(八)
分合相辅
。 从辩证思维的角度观察，任何事物的构成都具有“一中有多、
多中有一” 的性质，从而任何事物都是可以分割或分解的·反映在数学思维策略上，就是在
解题过程中可以将求解问 题进行分割或分解，转化成一些较小的 且易于解决的小问题，
再通过相加或合成，使原问题在整体上得 到解决，这就是化一为多，以分求合的思想方
法。有时也可以反过 来，把求解问题纳入到较大的合成问题中，寓分于合，以合求分，
使原问题迎刃而解。因此，分与合相辅相成、互寓互用、转化统一， 是辩证思维的重要
策略之一。 分合相辅的主要表现形式是：综合与单一间的分合；整体与部分间的分合 ；
无限与有限间的分合等。数学中微积分方法的思想就是思维中的一与多、分与合、有限
与无限 及离散与连续间的辩证关系的体现。数学解题方法中的枚举法、叠加法、中途点
法， 几何中的形体割补法，代数与三角中的拆项、添项法等都是分合 相辅策略的具体
运用。
(九)
引参求变
。数学中的常量和变量是相互依存，并在一定 条件下可以相互
转化的。而参数（或参变量）是介于常量和变量之 间的具有中间性质的量。二 参变量
的本质虽然属于变量，但又可把 它看成常数。正是由于参数的这种二重性和灵活性，在
解决数学问题时，引进了参数就能表现出较大的能动作用和活力。引参求变的思维策略
是 将求解问题转 化为参数问题加以解决，它是解决各种数学向题的有力武器（通常提到
参数就局限于解析几何中的参数方 程的理解 是非常片面的）。 而数学中的待定系数法、
参数过渡法与参数方程法等都是体现引参求变思想的具体解题方法。
(十)
以美启真
。教学美的含义是丰富的，数学概念的简单性、统一性，结构
系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中
的奇异性等都是 美的具体内容，上面的论述归结起来，可以认为数学美的主要内容有五
个 方面，即简单性、对称性、相似性、和谐性（或统一性）与奇异性。 ‘以美启真“是指
用 美的思想去开启数学真理，用美的方法去发现数学规律、解决数学问题 。

追求简单性，探求解题捷径
。“多数学问题，虽然其表现形式地可能较为复杂，
但其本质总是存 在简单的一面。因此，如果能用简区单的观点、简化的方法对间题进行
整体处理或实施分解、变换、降性 维、减元等转化的策略，则往往能找到解题的简易途
径。
造成对称性，简化解题方法
。有些问题用对称的眼光去观察， 通过形象的补形
造成对称，或者用对称变换调整元素关系，则这样问题就可得到简化。
运用 相似性，引申发散问题
。由于相似的因素、相似的条件统能够产生相似的关
系或相似的结果。因 此，在数学解题中常可利工程用相似性的启示，找到正确的解题思
路，并能运用联想、类比、猜 想等方法推广原命题，发现新知识，形成问题链。
利用和谐性，变更化归问题
。解数学问题的关键在于问题形式的变换与化归，而
变换化 归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐 与统一。因此，利用和谐性，就是
设法将问题通过等价或不等价 （加上控制条件）的转化，通过映射、分解、叠加等手段，
使问题的 条件和结论在新的协调的形式下相互沟通，达到问题的解决。

构思奇异性，突破常规思维< br>。奇异性的存在使得在解某些问题时，构造反例、寻
求特例、采取反证递推途径或极端化手法能够 发挥意料不到的作用。逆向思维、正难则
反思想在解题中的运用就是对奇异性的通俗理解，它与数学发现 中的奇异创新只是层次
上的差别，而其思想实质是共通的。