安徽省人口职业学院-小学教师师德总结

数学竞赛讲义第一节
一．高中数学竞赛介绍
一试
考试时间 为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，
满分120分。其中填空题8 道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、
20分。
加试（二试）
考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题
40分，后两道每题 50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、
组合数学。


二．答题策略

保证1试所有知识点都练习过的基础上，2试选择平面几何+1题的方式去练习。



三．考试知识点
一试
全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完 全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规
定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方 法的要求上略有提高，其中概
率和微积分初步不考。
二试
1、平面几何
基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距
离的平方和最小的点 --重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
几何不等式。
简单的等周问题。了解下述定理：
1 201 20

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法、向量方法。
平面凸集、凸包及应用。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数及周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
第二数学归纳法。
递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
函数迭代，求ｎ次迭代，简单的函数方程。
ｎ个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
复数的指数形式，欧拉公式，棣美弗定理，单位根，单位根的应用。
圆排列，有重复的排列及组合，简单的组合恒等式。
一元n次方程（多项式）根的个数，根及系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
简单的初 等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，
欧几里得除法，非负最小完全 剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点
及其性质。
3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
体积证法。
2 202 20

截面，会作截面、表面展开图。
4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
5、其它
抽屉原理。
容斤原理。
极端原理。
集合的划分。
覆盖。

四、初中数学竞赛大纲

1、实数
十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判
定。
素数和合数，最大公约数及最小公倍数。
奇数和偶数，奇偶性分析。
带余除法和利用余数分类。
完全平方数。
因数分解的表示法，约数个数的计算。
有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。
2、代数式
综合除法、余式定理。
拆项、添项、配方、待定系数法。
3 203 20

部分分式。
对称式和轮换对称式。
3、恒等式及恒等变形
恒等式，恒等变形。
整式、分式、根式的恒等变形。
恒等式的证明。
4、方程和不等式
含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。
含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。
含绝对值的一元一次不等式。
简单的一次不定方程。
列方程（组）解应用题。
5、函数
y=|ax+b|,y=|ax²+bx+c|及y=ax²+bx+c的图像和性质。
二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函
数。
6、逻辑推理问题
抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。
简单的组合问题。
逻辑推理问题，反证法。
简单的极端原理。
简单的枚举法。
7、几何
四种命题及其关系。
三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角
不等关系。
面积及等积变换。
三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。



4 204 20

五．数学竞赛题解题逻辑
高考题的解题逻辑：






数学竞赛的解题逻辑：






六．2试各题型的主要解题思想
1.平面几何






2.不等式







3.组合








4数论



5 205 20

七．其他一些常用的数学竞赛解题思想
数形结合




赋值





特殊到一般





分类讨论





构造函数




建模



点线面转化



递推




极限

6 206 20

数学竞赛讲义第二节
三角形五心的性质和练习

三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．

一． 重心（ ）
1、 重心到顶点的距离及重心到对边中点的距离之比为2：1。


2、 重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。


3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。
证明方法：
设三角形三个顶点为 (x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),(x
3
,y
3
) 平面上任意一点为（x，y） 则该点
到三顶点距离平方和为：
(x
1
-x)
2
+(y< br>1
-y)
2
+(x
2
-x)
2
+(y
2
-y)
2
+(x
3
-x)
2
+(y
3
-y)
2

=3x
2
-2x(x
1
+x< br>2
+x
3
)+3y
2
-2y(y
1
+y2
+y
3
)+x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+y
1
2
+y
2
2
+ y
3
2

=3[x-13*(x
1
+x
2
+x
3
)]
2
+3[y-13*(y
1
+y
2+y
3
)]
2
+x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
-13(x
1
+x
2
+x
3
)
2
-13(y
1
+y
2
+y
3)
2

显然当x=(x
1
+x
2
+x
3
)3,y=(y
1
+y
2
+y
3
)3（重心坐标 ）时
上式取得最小值x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
+y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
-13(x
1
+x
2
+x
3
)
2
-13(y
1
+y
2
+y
3
)
2

最终得出结论。
4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，
即其坐标为
（ ）


5、三角形内到三边距离之积最大的点。
6、在△ABC中，若
（ ）
，则M点为△ABC的
重心，反之也成立。
7 207 20

7、设△ABC重心为G点，所在平面有一点O，则
（ ）


1
222
8、AD＝
4
(2AB＋2AC－ BC)；(三角形中线公式)

2

例题1：AD，BE
，
CF
是△
ABC
的三条中线，
P
是任意一点.证明：
在△< br>PAD
，△
PBE
，△
PCF
中，其中一个面积等于另外两个 面积的
和.











例题2：
设凸四边形ABCD的对角线AC及BD相交于O， △OAB、
△OBC、△OCD、△ODA的重心分别为E、F、G、H，则S
EFGH
∶S
ABCD
＝__________.











9
2
例题3：
BD和CE是△ABC的两条中线，求证：BD＋CE＞
8
BC

22


8 208 20

例题4：
设P是△ABC内任意一点，G是它的重心，若PG的延长
线分别及边BC、CA、AB或其延长线交于 A'、B'、C'，则在
A'PB'PC'P
,,
A'GB'GC'G
中至少 有一个不大于1，也至少有一个不小于
1.






二．外心（ ）
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，及斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
（4）等边三角形外心及内心为同一点。
性质2：∠BOC=2∠A，（或∠BOC=2(180°-∠A)）.
性质3：∠OAC+∠B=90°



性质4：点O是平面AB C上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么
点O是⊿ABC外心的充要条件是：

9 209 20

性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即 为三角形外接
圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。


性质6：点O是平面ABC上一点，那么点O是⊿ABC外心的充要条件


性质7：正余弦定理和三角形外接圆半径公式






性质8：四点共圆的判定方法







例题5在△ABC的边AB，BC，CA上分别取点P，Q，S.证明以△APS ，
△BQP，△CSQ的外心为顶点的三角形及△ABC相似.



10 2010 20

例题6. 锐角△ABC的外心为O，线段OA、 BC的中点分别为M、N。
∠ABC=4∠OMN，∠ACB=6∠OMN。求∠OMN。






例题7.在锐角△ABC中，
ADB C
于
D
，
DEAC
于
E
，
DFAB< br>于
F
，
O
为△ABC的外心.
求证：（1）
AEF
∽
ABC
(2)
AOEF








三．内心（ ）
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
2、∠BIC=90°+∠BAC2．

11 2011 20

3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则


4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：

5、在△ABC中，若三个顶点分别是A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，C(x
3
，y
3
)，
那么△ABC内心I的坐标是：


6、(欧拉定理)△ABC中，R和r 分别为外接圆为和内切圆的半径，O
和I分别为其外心和内心，则OI
2
=R
2
-2Rr．

7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半
径

8、 双曲线上任一支上一点及两交点组成的三角形的内心在实
轴的射影为对应支的顶点。

9、△ABC中，内切圆分别及AB，BC，CA相切于P，Q，
R，则AP=AR =(b+c-a)2， BP =BQ =(a+c-b)2,
CR =CQ =(b+a-c)2,
r=[(b+c-a)tan(A2)]2。
12 2012 20

10、三角形内角平分线定理：
△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别
交BC、AC、AB于Q、R、P，则





例题8.
如图所示，⊙
O
1
及⊙
O
2
相交于
A,B
两点，且
O
2
在⊙O
1
的圆周上，弦
O
2
C
交
⊙
O2
于
D
。证明：
D
是
ABC
的内心.
C
A
D
O
2
B



O
1
例题9
如图，在
ABC
中，点
D
、
E
是
ABC
，
ACB
的三等分线的交点，当
A60
时，求
BDE
度数












例题10如图，
I
是
ABC
的内心，
AI
的延长线交
ABC
的 外接圆于
D
，
求证：
DIDBDC
（重要结论）
B
A
I
13 2013 20
D
C

< br>1
(ABAC)
，
O,I
分别为
ABC
的外2
心，内心，
BAC
的外角平分线交⊙
O
于
E
，
AI
的延长线交⊙
O
于
D
，
DE
交< br>BC
于
H
.
1
求证：（1）
AIBD
;(2)
OIAE

2
例题11.如图所示，
ABC
的三边满足关系
BC
E
A
O
B
H
D


I
C

例题12.设I是△ABC的内心，CI的延长线及边AB和外接圆分
别交于D和K，求证:
111

IDIKCI

CIID
⑵1
IDDK
⑴





四．垂心（ ）
1、锐角三角形的垂心 在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶
点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内
心是它旁心三角形的垂心；
14 2014 20

3、 垂心H关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上。

4、 △ABC中，有六组四点共圆 ，有三组(每组四个)相似的直角
三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。
5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心
(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圆是等圆。

7、 在非直角三角形中，过H的直线交AB、AC所在直线分别于P、
Q，则
8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2
倍。

9、 设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则
∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、 锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆及外
接圆半径之和的2倍。


15 2015 20

11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心； 锐角三角形的内
接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。



12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点
落在三角形的外接圆上。


13、 设锐角⊿ABC内有一点P，那么P是垂心的充分必要条件是




例题13. 在
ABC
中，若
AB5, BC6,CA7
，
H
为垂心，求
AH
的长。




例题14.锐角
ABC
中，已知
H
为垂心，
AD
为
BC
边上的高，
E
为
BC
中点，若
ADBC5
，试求
HDHE
的长.






O,O
1
,O
2
分别是
ABC
,
ACD
,
BCD
例题15.已知
R tABC
中，
CD
是斜边
AB
上的高，
的内心。
求证：（1）
O
1
OCO
2
(2)
OCO
1
O
2

16 2016 20

例题16.如图，
AB
、
BC
、
CD
分 别及圆
O
相切于
E
、
F
、
G
，
A BBCCD
，连结
AC
A
及
BD
相交于点
P< br>，连结
PF

D
求证：
PFBC

P


E


O


B

F







五．旁心（ ）
性质1 ：三角形的一条内角平分线及其他两个角的外角平分线交于
一点，该点即为三角形的旁心。
性质2：旁心到三角形三边的距离相等。
性质3：三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。
性质4：直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。
性质5：旁切圆半径公式：




例题17.已知△ABC的内切圆⊙I及BC边切于D，D E是⊙I的直
径，AE的延长线交BC边于F，求证：BD＝CF.



17 2017 20
G
C

六．五心练习题
1.△ABC中，若∠A、∠B、∠C的平分线及外接圆分别交于P、Q、
R，则AP＋BQ＋ CR＞BC＋CA＋AB
















2.已知△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆半径，试
求∠A的度数.










18 2018 20

3.设G、I分别是△ABC的重心和内心，且C I⊥GI，又BC＝a,CA
abc2ab

＝b,AB＝c，求证：
3 ab
.







4. 已知△ABC内接于⊙O，P、Q、R依次是圆弧BC、CA、AB的中
点，PR交AB于D，PQ交A C于E.
求证：DE＝BD＋CE










19 2019 20

5. △ABC的外心为O，AB=AC，D是AB中点，E是△ACD的重心.
证明OE丄CD.








6. 若
AB C
的重心为
G
，
AG2
，
BG3
，
C G5
，求
ABC
的面积.

20 2020 20