江苏中国银行-写人作文600字

实用标准文案
1
,数列通项公式的十种求法:



(1
)公式法(构造公式法)



n

例
1
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
2a
n
3 2
，
印
2
，求数列
｛a
n
｝
的通项公式。


a3 aa3
a
a
n n 1 n
n 1

nn 1
解:
a
n 1
2a
n
3 2
两边除以
2
，得
故数列｛扌｝是

2
* 1
2
“
2
，人」
2
“ 1
2
“
2
，

3
a
n
以a- 2 1为首项，以|为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得


刁
1 (n 1)-
，
3 1
n
所以数列
｛a
n
｝< br>的通项公式为
a
n

qn -)2
。


评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n 1
2a
n



是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出



｛a
n
｝
的通项公

式。



(2
)累加法



2
n
转化为贵
a
n
I，说明数列
a
n
1 (n
1)?
，进而求出数列
2
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
a
n
2n 1
，
a
1



1
，求数列
｛a
n
｝
的通项公
式。

解：由
a
n 1
a
n
2n 1
得
a
n 1
a
n
2n 1
则

a
n

)L (a
3
a
?
)
2 1 1
[2( n 1) 1] [2(n 2) 1] L ( 2 2 1) (2 1 1) 1
2[(n
1)
(n 2) L 2 1] (n 1) 1
(n 1)
(n 1) 1
2 -
n
2
(n 1)(n 1) 1
(a
n
a
n 1
)(a
n 1
a
n 2
(aa) a










n
2

2

所以数列
｛a
n
｝
的通项公式为

a
n
n
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
出
(a
n
a
n 1
) (a
n 1
a
n 2
)L
a
n 1
a) (a
a
n
2n 1
转化为
a
n 1
a
n
2n 1
，进而求
aj a
1
，即得数列
｛a
n
｝
的通项公式。
(
3 2
a
2
文档

实用标准文案
变式：已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
a
n
2 3 1
,
n
3
，求数列
｛a
n
｝
的通项公式。
(3
)累乘法
例
3
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
2(n 1)5 a
.
,印
n
3
，求数列
｛a
n
｝
的通项公式。
解：因为
a
n 1
2(n 1)5 a
.
，
a 3
，所以
a
n

n
0
,则加
2(n 1)5
n
，故
a
n
a
a
n
a
n
a
n 1
L
a
3
a
2

a
„
d
n 1
a
n 2 2
4
1
[2(n 1 1)5
1
1) 5
2
][2(1
n(n 1)
][2(n 2
1) 5
1
] 3
1)5
1
2
] L [2(2
2
n 1
[n(n 1) L 3 2] 5
(n 1) (n 2) L 21

3
n(n 1)
所以数列
｛a
n
｝
的通项公式为
a
n

3 2
n 1

n!.
5
弓
评注：本题解题的关键是把递推关系

n
2(n 1)5
a
n
转化为旦口
a
n
2(n 1)5
，进而求
n
出_—
L
— —
a
1
，即得数列
｛a
n
｝
的通项公式。
n 1 n 2
32aa
n 1
a
2 1
a
变式：已知数列
｛a
n
｝
满足
a
1
1
，
a
n
a
1
2a
2
3a
3
L (n
项公式。
1)a
n 1
(n 2)
，求
｛a
n
｝
的通
(
4
)待定系数法
例
4
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
2a
n
3 5
，印
6
，求数列
a
n
的通项公式。
n

文档

实用标准文案
解：设
a
n 1
x 5 2(a
n
x 5)
n 1n
④
将
a
n i
2a
n
3 5
代入④式，得
2a
“
3 5 x 5 2a
“
2x 5
，等式两边消去
nnn 1n
2a
n
，得
3 5
n
x5
n1
2x 5
n
，两边除以
5
n
，得
3 5x 2x,
则
x
a
n 1
5
n 1
2(a
n
5
n
)
⑤
1,
代入④式得
5
“ 1
1n
由
a
1
5 6 5 1 0
及⑤式得
a
n
5 0
,则一—
2
，则数列
｛a
.
5)
是以
a
n
5
1 n n 1 n 1 n
a
1
5 1
为首项，以
2
为公比的等比数列，则
a
n
5 2
，故
a
.
2
评注：本题解题的关键是把递推关系式
a
n 1
2a
n
3 5
转化为
am 5 2@ 5)
，
nn 1n
5
。
从而可知数列
｛a
n
5｝
是等比数列，进而求出数列
｛a
n
5｝
的通项公式，最后再求出数列
｛a
n
｝
的通项公式。
nn
变式：
①已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
3a
n
5 2 4
，
a
1
1
，求数列
｛a
.
｝
的通项公式。
n
②已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
2
2a
n
3n 4n 5, & 1
，求数列
｛a
n
｝
的通项公式。
(5) 对数变换法
例
5
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
n 5
2 3 a
n
，
a
1
7
，求数列
｛a
n
｝
的通项公式。
n 5
n 5
解：因为
a
n 1
2 3 a
n
，印
7
，所以
a
n
0, a
n 1
0
。在
a
n 1
2 3 a
n
式两边取

常用对数得
lg a
n 1
5lg a
n
n Ig3 Ig 2
文档

实用标准文案
设
Iga
ni
x(n 1) y 5(lg a
.
xn y)
巧
将⑩式代入辽式,得
5lg a
n
n lg 3 Ig 2 x(n 1)

5lg a
n
并整理，得
（lg3
y 5(lg a
n
xn y)
，两边消去
x)n x y lg 2 5xn 5y
，则
lg3
lg3 x 5x
，故
4
lg3
lg2
16
4
1)
lg3 lg 2
16
5(lg a
n

x y lg2 5y

代入
（I
式，得
lg
a
n
lg3
^
(n
由
lga
lg3
lg2
lg3
lg7
16
4 4
lg3
lg2
16
4
lg3 lg2
16
0
及式,
得
lg a
n

lg3
八
lg
lg2
lg a
n 1
(n 1)
3
4
则 ——
4 _____
n

4
lg3 lg2
16
lga
所以数列
｛lg a
n
也
3

4
4
lg a
n
(lg
7

n
也 乌是以
lg 7
曲 也

也为首项，以
5
为公比的等
16 4 4 16 4
3
比数列，则
lg%
曲
n
也必佃
7
曲也曲
）5
，因此
n 1
16 4 4
lg3 lg2
6
n

16 4
n 1
lg3 lg3 lglg3
)5 n
2
4 16 4 4
1
4
1
6

4
1
16
1
4r114
(lg7 lg 3 lg3
lg
2)5 lg3

1 1
4164
1
n 1

[lg(3 3 2)]5
n 1
lg(3
4
3
16
4
n
7
1 1 1 1 1

lg 3 lg
1
2
2
)


lg(7 3 3 2)5

4164n
1
1
lg(3 3 2)
5 1
n1

4164
5 n
n1
5
n1

lg(7 3
lg(7
5n 1
3
16

5n 4n 1
c
n 1
5n 14
3
n 1
16
2 )
4
5n 4n 1 5 1
2
4
)
5 1
n 1
则
a
n

7
3
16

2
4


文档

实用标准文案
n 5
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
g
a
n 1
2 3 a
n
转化为
lg3 lg3 lg2 lg3 lg3 Ig 2
lgam --(n 1)
去斗
5(lga
n
斗
n
字
牛)，从而可知数列
4 16 4 4 16 4
｛lg a
n

里
n
也
—｝
是等比数列，进而求出数列
｛lg a
n

里门 朋
—｝
的通项
n

4 16 4
n

4 16 4
公式，最后再求出数列
｛a
n
｝
的通项公式。
(6) 数学归纳法
8
例
6
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1
a
8(n 1)
n
(2n 1)
2
(2 n 3)
2

a
1
，求数列
｛a
n
｝
式。

解：由
8(n 1)
a

n 1
a
n
(2n 1)
2
(2 n 3)
2

及
a
1

8
9
，得

a
2
a
1
8(1 1) 8 8 2 24
(2
2 2

1 1) (2 1 3)
9 9 25 25

a
8(2 1) 24
8
3 48
3
a
2
(2
2 2
25

2 1)(2 2 3)
25 49 49
a
48 8 4
4
a
8(3 1) 80
3
(2
2 2
3 1)(2 3 3)
49 49 81 81
2
(2n 1) 1
(2n 1)
2

2
(1
)当
n 1
时，
a
2
8
1
(2 1 1) 1
，所以等式成
(2 1 1)
2

立。
2
(2
)假设当
n k
时等式成立，即
a
k
(2 k 1) 1
则当
n
k 1
时,
，
(2 k 1)
8(k 1)
a
k 1
a
k
(2 k 1)
2
(2k 3)
2


文档
往下用数学归纳法证明这个结

由此可猜测
a
n
论。
的通项公

实用标准文案
(2 k 1)
2

1 8(k 1)
2 2 2
(2 k 1) (2 k 1) (2 k 3)
[(2 k 1)
2

1](2k 3)
2

8(k 1) (2 k 1)
2
(2k 3)
2

(2k 1)
2
(2k 3)
2

(2k 3)
2

8(k 1)
2 2
(2k 1) (2k 3)
(2k 1)
2
(2k 3)
2

(2k 1)
2
(2k 1)
2
(2k 3)
2

2
(2 k 3) 1
(2 k 3)
2

[2( k 1) 1]
2

1
[2( k 1) 1]
2

由此可知，当
n k 1
时等式也成立。
根据（
1
）, （
2
）可知，等式对任何
n N
*
都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 项公
式，最后再用数学归纳法加以证明。
（
7
）换元法
例
7
已知数列
｛ a
n
｝
满足
a
n 1
— (1 4a
n
- 1 24a
n
）
,
a
,
1
，求数列
16
1
解：令
b
n
,1 24a
n
，则
a
n
亦
(b
；
1)
文档

n
项，进而猜出数列的通
｛a
.
｝
的通项公式。

实用标准文案
故
a
n 1
訓

1
24 (b
^ 1
1)
，代入
a
n 1
和
b
n
]
、
1 24a
n
)
得
4a
n
1)
和
2
4
24
(b
2
1)

4b
n 1
2
即
(b
n
3)
.1 24a
n

0
，故
b
n 1

.1 24a
n1
则
2b
n 1
b
n
3
，即
文档


b
n 1
1 2
bn
3_ 2

实用标准文案
可化为
b.
1
3 2(b
n
3)
,
_______ _____________ 1
所以
｛b
n
3｝
是以
b 3
、
1 24a
1

3 .1 24 1 3 2
为首项，以—为公比的等比数
¥ 2
n
2n1n 2n 2
列，因此
b
n
3 2(1)

(1)
，则
b
n
(2)

3
,即
J1 24a
n
(1)

3
，得
a
n


2(4)
n
(1)
n

评注：本题解题的关键是通过将
..1 24a
n
的换元为
b
n
,使得所给递推关系式转化
1 3
b
n 1
-b
n
㊁形式，从而可知数列
｛b
n
3｝
为等比数列，进而求出数列
｛b
n
3｝
的通项公式, 最后再求出
数列
｛a
n
｝
的通项公式。
(8
)不动点法
例
8
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n 1

21a
n
24
a
1
4
，求数列
｛a
n
｝
的通项公式。
4a
n
1

”人
解:令
x
21x 24
4x 1
口
2
，得
4x
21x 24 “

20x 24
0
,则捲
2
，
X
2

3
是函数
f (x)
的
两个不动点。因为

4x 1
21a
n
a
24
n 1
n 1
a
2
4a
n
1
21a
n
3 21a
n
24
3
21a
n
4a
n
1
2
24 2(4a
n
1) 13a
n
24 3(4a
n
1) 9 a
n
26 13 a
n
27 9 a
n
3
。所以数列


a
n
2
a
1
2
为首项，以
是以

a3
a
1
3
n


2(13；
1
1
3
。

则
a
n

9




评注：本题解题的关键是先求出函数




a
13
为公比的等比数列，故
9
a
n
2
a
n
3
f(x)
寸的不动点，即方程
2
21x 24
21x 24
x

4x 1
a
n
2
a
的两
个根
x-
i
2
,
2
x
3
，进而可推出
n 1
n 1

a3

13
色
，从而可知数列
9 a
n
3
2
为等比数
n
3

文档

实用标准文案




的通项公式，最后求出数列
｛a
n
｝
的通项公
列，再求出数列

a3
n

式。



7a
n
2
2
，求数列
｛a
n
｝
的通项公
例
9
已知数列
｛a
n
｝
满足
a
n

1
2a
n
式。



3
x
1
2
0
，得
2x
4x

解：令
x
，则
X 1
是函数
f(X)
厂的不动点。

2x 3


5a
n
5
，所以
1 3 1

因为
a
n 1

2a
n
3

2a
n


a
n
2
21
、
n

a()

n
24



评注：本题解题的关键是通过将
,1 24a
n
的换元为
b
n
，使得所给递推关系式转化



b
n 1
1b
n
|形式，从而可知数列
｛b
n
3｝
为等比数列，进而求出数列
｛
3｝
的通项公

b
n
式,


最后再求出数列
｛a
n
｝
的通项公

式。


课后习题:


1
.数列「
2
,
5,2 2
,
11L
,
的一个通项公式是(



a
n

3n 1
3
B
、
a
n

3n 1
C
、

A
、
a
n



2
.已知等差数列
a
n
的通项公式为
a
n
3 2n
，
则它的公差为






16, a
3
.在等比数列
｛a
n
｝
中
，
a
1
8,
则
a
7
4





30S
4
且
S
io
10
,
S
20
,则
30

.若等比数列
a
n
的前项和为
S
n
,


5
.已知数列
a
n
通项公式




a
n
、
3n 3
a
n
1
n
10n
3
，则该数列的最小的一个数是
na
n
n 1 a
n
6
.在数列
｛
a
n
｝
中，
a
1

且
a
* 1
n N
，则数列—的前
99
项和等
2
a
n
文档

实用标准文案
7
.已知
｛a
n
｝
是等差数列，其中
a
i
31
，公差
d
(1) 求数列
｛a
n
｝
的通项公式；
(2) 数列
｛a
n
｝
从哪一项开始小于
0
?
8
。
(3) 求数列
｛a
n
｝
前
n
项和的最大值，并求出对应
n
的值.
_
___
2
8
.已知数列
a
n
的前项和为
S
n
n 3n 1
(1
)求
a
i
、
a
?
、
a
3
的值;
(2
)求通项公式
a
n
。
9
.等差数列
a
n
中，前三项分别为
)
求
x
和
k
的值；


亠
1 1
1
)
求
T
n
-

S
S
1
S
2

3
文档

,
x,2x,5x
1
S
n
4
，前
n
项和为
S
n
,且
S
k
2550
。






















(1
、


(2

实用标准文案
数列
等差数列与等比数列的有关知识比较一览表
文档

实用标准文案

等差数列
①
a
n 1

等比 数列
递
a
n
a
?
a
〔

(
n
*

N
)

①
a
n 1

a
n
a
2
a
1
q

*
(
n N
)


②
a
n 1
推
③
a
n 1

a
n
d
a
n
a
n
a
n 1

(
n N
)
*

②邑
关
系

(
q 0, n N
)

(
n

2
)

a
n
③
n 1
a

a
n
a
n

a
*
(
n 2,n N


)


n 1
通
①
a
n
项
②
a
n

印
(n 1)d
(
n
*
N
)
*
①
a
n
a
n
h q
n 1
(
n
*
N
)
q o, p 0,n N
*

pn q
(
p,q
为常数
n(a
1
a
n
)

,n
N
)
*
②
a
n
p q
(
p,q
是常数

)

①
2S
n

(n
N
)

n 2
*
(a^
n
)
(
n N
)


求

①求积公式
a
i

i 1

和
②
n
S

na
n
q 1
na
1

n(n 1)
d

2

(
n

*
N
)
②
S
n
4(1 q)
1 q
n
公
式


q 1

(
n N
*
)



2
③
S
n
An
Bn
(
A, B
是常

数
*
,n N
)
g,q 1
③&
*
A Aq,q
n
1
(
n
N
，
A

0
)
a
$$
a
r
a



①若
p+q=s+r, p
、
q
、
s
、
r N
*
,
则

aa
①若
p+q=s+r, p
、
q
、
s
、
r
N
*
,
则
a
p
a
q
P q
a
$$
a
「
.
a
n
②对任意
c>0,c 1,
若
a
n
恒大于
0
，则
log
c n

为等
差

②对任意
c>O,c 1,
c
为等比数列
.

列
•
③
n 1n
aa
2
1
a
n
,

n
N n
2
.
J


*

③
a
n 1

a
n
1
2a
n
,n N ,n


2
.

④若
a
n


、
b
n
为两等比数列，则


a
n
b
n
为等比数列
.


主


④若
a

b
分别为两等差数列，
则


J
n

⑤若怛大于。，则数列
n

an
a
i
为等比数列
.
i 1



a
n
b
n
为等差数列
.




⑥若
b
n

⑦
S
n
,S
2

为正项等差自然数列,
贝
U

a
b
u
为等比数列
.
n




⑤数列 为等差数列
.
n
要
⑥若
b
n
为正项等差自然数列，

n n 3n

S
,
SS
2n
,
为等比数列



则
a
b
n
为等差
文档

实用标准文案

数列
•
⑦
n
,
2n
SS
S
S
n n m
⑧
n
n
a
i
i 1

n 2m
a
i
，
n>2m
J'
m 1




，
m
、
n
N
,
3n
SS
2n
,
为等差数列
M


n n m m
SS
“
a
p
*
0, p N .
m -
⑧ --- ----------- ,
n>2m
,
m
、
n
N
n n 2m
⑨
S
m n

S
m
q S
n
S
n
q S
m
.
性
⑨
S
m n
S
m
S
n
mnd
•
⑩ 若
S
m
S
n
,m n,
则
S
m n
0
・


①若
a
p
q,
a
q
p,
p
、
q



则
a
p
q
0
.


S
p
q,


S
q
P,


S
p q
(p q),
p
、
q
文档

N
，且
p q
⑩若
a
i
a
2
a
m
m n
贝
U
a
i
1
.
i 1
,
①
S
mn
S
m
(1 q

=
S
n
(1 q
n

②若
|q|则
lim
S
n
n
a
n
, m n,
2m
(n 1)m
、
q
q )
2n
q
q
(m 1)n
( )
)
、
•


a
i
i q

实用标准文案
求数列
｛a
n
｝
通项公式的方法
文档

实用标准文案
1
-
a
n 1
=
a
n
+
f(n)
型
2.
a
n 1

=
p
a
n
+
q
型(
p
、
q
为常数)
累加法：
a
n
= (
n
—
n 1
)

(
n 1
—
n 2
)

…

(
2
—
i
)
aa+aa++aa
q
方法：(1)
a
n 1

+ -------- =
p(a
n
------ )
,
p 1 p 1
数列的相关知识求
a
n
.

a
n 1
-
a
n
=
p(a
n
a
n 1
)
再用累加法求
a
n
.
q
再根据等
+
玄丄
(2)
=
f(n 1)
+
f (n 2)
+ …+
f (1)
+
印
a
n 1
a
n
q a
n
例 1.已知数列｛
a
n
｝满足
a
1
=1 ,
a
n 1
=
a
n
+
2
n
a
n
.
［解］
a
n
=
a
n
—
a
n 1
+ a
n 1
—
a
n 2
+

…
+ a
2
—
a
1
+ a
1
=
2
n 1

+
2
n 2

+ …+
2
1
+1

1 2
n
=
2
n
— 1
1 2
n
.a
n
=
2
— 1 (ne
N
+
)
-
a
n 1
3. ------
g(n)
型
a
n

a
n
a
n 1
a
2
累乘法：
a

n
-
—


a
n 1
a
n 2
a
31
1
文档

N
+
),

求
- + -----
n n 1 >
(3) —^ = —ir + —，先用累加法求 一
n
再求
a
n
.
ppp p
例 3.已知｛
a
n
｝的首项
a
1

=a (a 为常数)，
a
n

=2
a
n 1
+1 (n e
N
+

>2),
求
a
n
.
［解］设
a
n
—入=
2
(

a
n 1
—入)，则入=
—
1

•a
n
+1=2 (
a
n 1
+1 )
.｛
a
n
1
｝为公比为2的等比数列
n 1
•a
n

+1= (a+1 )
-2
.a
n

= (a+1 )
2
n 1

—1
4
.
a
n 1
=
p
a
n
+
f (n)
型(
p
为常数)
方法：变形得
a
n
f(n)
p p
a
n

则｛
n

｝可用累加法求出，由此求
a
n
.
p
n 1
例 4.已知｛
a
n
｝满足
a
1
=2 ,
a
n 1
=2
a
n
+
2
.求
a
n
.

(ne

实用标准文案
a

例2.已知数列｛
a
n
｝满足
n 1

a
n

n
(n e
N
+
),
a-
i
=1，求
a
n
.
a
n 1
a
n
2
n
+1
［解］
2
n 1
= ---

a
n

a
n 1
a
2


8
1

［解］
a
n
=
aa
n 1 n 2

a
1


=(n — 1) - n —2)T 1= ( n — 1) !


a
n

•
•｛ -n-｝
为等差数列
.
2
n

a
n 1
n
n
a
.a
n

= ( n — 1)! ( n e N
+
)

=
n 1 n
2 2
n
• • a
n
=n *2
文档

实用标准文案

5.
a
n 2
=
p
a
n 1

+
q
a
n

型(
p
、
q
为常数)
2
6•“已知
S
n
，求
a
n
”型 方法：
a
n

=
S
n

—
S
n

1
(注意
a
1
是否
符合)
、
特征根法：
x px q
3
(1)

X
i
X
2
时，
a
n
=
C
i
-X
i
+
C
2
x
2
(2)

x
1
x
2

时，
a
n

= (
G+C
2
R
)
-x?
例 5.数列｛
a
n
｝中，
a
i
=2，
a
2
=3，且 2
a
n
=
a
n 1
+
a
n 1
( n €
N
+
，n >2)，求
a
n
.
［解］
a
n 1
=

a
n
—
a
n 1
2
n
例 6.设
S
n

为｛
a
n
｝的前 n 项和，
S
n

= — (
a
n

— 1)，求
a
n

(n €
2
3
.当 n=1 时，
a
1
=

3
(n € N
+
)
(a
1
—)
1
2
--a
1
=3
x
1
x
2
1
n
［解］丁
S
n = —
(

a
n
—

)
1
x 2x 1
当n >2时，
a
2
•••a
n
= (
C
1

+
C
2

•)
1

=
C
1
+
C
2

•
n
=
n
S
—
S
n 1
C
1

C
2

G 2C
2
2 C
1

3 C
2
1
1
3
()
=
a
n
—

1
3
(
a
n 1
—

)
1
•••a
n
n 1(n N )
2
n
--a
n
=3
a
n 1
…
a
n
=
3
( n € N
+
)








































求数列
｛a
n
｝
的前
n
项和的方法
(
1
)倒序相加法
此种方法主要针对类似等差数列中
(
2
)公式法
此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等
文档

实用标准文案
a
n
a
1
a
n 1
a
2
L L
，
具有这样特点的数列.
例：等差数列求和

比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式.
公式：
文档

实用标准文案
S
n
a
l
a
2
L a
①等差数列：
n
Q
n
S

a
i
(a
i
d) L ⑻(n 1)d］
①




n(a
i
a
n
)
2

把项的次序反过来，则：

n(n i).
na
i
d
2
na
n
d
2
n(n i)


S




S
n
a
n
(a
n
d) L ［a
n
(n

i)d］
②






S
m n
S
m n

mnd

①
+
②得：

S
n
S S
*
n 2m
(n 2m, m, n N )





2S
n

6 4 4 4 4 44 7
个
4 4 4 4 4 48
a
i
a
n
(a
i
a
.
) L (a
i
a
n
)
n(a
i
a
n
)


②等比数列：

o



S
a
i
(i q
)a
i
i q
Q

S
n
a
n
q

i)

n
i

;
q
(q

o
S
ng a
n
)




n


n
m n
S
n
S
m
q
2






③
i+2+3+ .. +n
n(n
2



i)



i
2
2
2
3
2
L

2
n


1
—n(n i)(2n
6
333
i 2 3 L
(i 2 3 L
i)

3
n

n)
2



i
2 2
22
一
n(n i)
4

(
3
)错位相减法
此种方法主要用于数列
｛a
n
b
n
｝
的求和，
其中
(
4
)分组化归法
此方法主要用于无法整体求和的数列， 可将其通项
写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综

｛a
n
｝
为等差数列，
｛b
n
｝
是公比
为
q
的等比数列，
只需用
S
n
qS
n
便可转化为等比数列的求和，

但要 合求出所有项的和.

注意讨论
q=i
和
q
工
1
两种情况.

例：试化简卜列和式：

例：求数列
i
,
i
-,i
2
i i

2 4

文档

实用标准文案




S
n
1 2x 3x
2
L n x
n 1
(x 0)


解：①若
x=1
，贝
y
S
…
+n =
n(n 1)
n
=1+2+3+

2


2
n 1

②若
x
工
1,
则
S
n
1 2x 3x L
nx


xS
n
x 2x
2
3x
3
L nx
n




两式相减得：



(1 x)S
n
1 x X
2
+
…
+
x
n 1
nx
n




n

nx


n

S
nx
n
n
1 x


(1 x)
2

1 x





(5
)奇偶求和法



此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的


数列，要求
S
n
，就必须分奇偶来讨论，最后进行综



合

口・



例：求和



S
n
13 5 7 L (1)
n1
(2 n 1)



解：当
n = 2k (k N
+
)
时
,



S
n
S
2k
(1 3) (5 7)



L
[(4
k
3) (4 k 1)]





2k n
文档

1
1 1

+
2 4
的和
.
解：•••
a
n
1
1 1

L
2 4
2
n

1

1
1

(》
n

2
1
1; 2
* 1

••S
1 1 1
n
1 (1

-)

2
(1 -
2
-)L
4

1 1 1
(1 L
—n 1
)



2 4

1 1
(2 1) (2 ) (2 )
2 2
1

2n (1
1
L (2

1
2
n 1
)
1
)
2
-L
—n 1
4 2
1
2n

2
2
n1

(6
)裂项相消法
此方法主要针对
1 1 1
这样的求和，其中
｛a
n
｝
是等
aa
?
a
3
a
n 1
a
n
差
〔
a
2
数列.
例：
｛a
n
｝
为首项为
a
1,
公差为
d
的等差数列，求
1 S
n
1
1 —— L
1

a
〔
a
?
a
2
a
3
a
3
a
4
a
n 1
a
n
解:
1
1
g
a
k
d a
k
d)
d a
k
(a
k
a
k
a
k 1
a
k
(a
k
d)
a
k
a
k 1

实用标准文案
当
n 2k 1(k N )
时
,


1
L

1 1
(
S
n
S
2k 1 2k
Sa
2k
2k
[ (
4 k 1)]

d
1

n 1
a

a
n
)





2k 1
n
综合得：
S
n
( 1)n

S


[(

丄）（
1
-)

]
d
印
a
2
a
2
a
3
1
1 1 L (
)
a
n 1
a
n

n 1
n
1 1 1 1 1 1
,(
一—)
( _)
d a
?
d a
2
a
3

a
i
[a
i
(n 1)d]
（7）
分类讨论
此方法是针对数列
{
a
n
}
的其中几项符号与另外的项不
同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求

（
8
）归纳一猜想一证明
此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项
求出各项之和的数列， 先用不完全归纳法猜出
S
n
的表达式，然后用数学归纳法证明之
•

文档

实用标准文案
1
例：已知等比数列
｛
a
*
｝
中，
a
i
=64 , q=
—，设
b
n
=log
2
a
*
,
222 2
例：求和
S
n
=
1
+
3
+
5
+
-
+
(2n
解：
S
1

1)
2
求数列
｛|
b
n
|｝
的前
n
项和
S
n
.
1
,
S
2
10
,
S
3
35
,
S
4
84
,
S
5
165
，…
解：
a
n
=
a
!
q
n 1
=
2

7 n
•••b
n

=
log
2
a
n

=
7 n
(1 )当
n
<7 时，
b
n

>
0
1
此时，
S
n
=—丄
n
+^
n
2
13
2
1
2
S
n

=
— n(4n 1)
(待定系数法)
3
1
2
证明：(1)当
n
=1 时，一
n(4n 1)
=1=
S
1

3
n
=1时成立.
1
2
(2)假设当
n
=k 时，
S
k

=
-k(4k 1) 3
则
n
=k+1时，
2
(
2
)当
n
>
7
时，
b
n
<0
S
k1
=
S
k
+
(2k 1)
2

1
2
13
此时，
S
n

=
— n ----- n
+42
(
n
>8
)
2 2
13
F
一
一
n
+
— n
(
n
<7
)
2 2
2
k 1
=
——[2(k 1) 1][2(k 1) 1]
3
1
n
=k+1 时，成立.
一切
n
€
N
,
*
由(1 )、(2 )知，对
二
S
n = *

U
2
13
1
2

S
n
=
—n(4n 1)
.
3
文档