汽车电影院-一年级入学教育教案

睿 博 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： LH- rbjy0002 副校长组长签字： 签字日期：
学 员 编 号 ：LH-rbjy15046 年 级 ：高二 课 时 数 ：3
学 员 姓 名 ： 杨畑畑 辅 导 科 目 ：数学 学 科 教 师 ：张华清

课 题
课 型
授课日期及时段
教 学 目 的
重 难 点
数列
□ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课
课 次
第 2 次
2015年 9月 19 日 15 ：00 — 17 ：00 .（D）
通过分析一些实际的问题会求数列公式以及前n项和。
公式的记忆以及通项公式的求解。
教 学 内 容
教学内容
数列通项及求和
主干知识整合：
1．数列通项求解的方法
(1)公式法 ；(2)根据递推关系求通项公式有：①叠加法；②叠乘法；③转化法．(3)不完全归纳法即

S
1
n
＝1
从特殊到一般的归纳法；(4)用
a
n
＝


S
n
－
S
n
－1
n≥2
2．数列求和的基本方法：
(1)公式法；(2)分组法；(3)裂项相消法；(4)错位相减法；(5)倒序相加法．
► 探究点 一 公式法
如果所给数列满足等差或者等比数列的定义，则可以求出
a
1
，
d
或
q
后，直接代入公式求出
a
n< br>或
S
n
.
已知{
a
n
}是等差数列，a
10
＝10，前10项和
S
10
＝70，则其公差
d
＝________.
► 探究点二 根据递推关系式求通项公式
如果所给数列递推关系式，不可以用叠加法或叠乘法，在填空题中可以用不完全归纳法进行研究．
5
a
n
－13
例2 (1)已知数列{
a
n< br>}满足
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝(
n
∈N
*
)，则数列{
a
n
}的前100项的和为_____ ___．
3
a
n
－7
(2)已知数列{
a
n}，{
b
n
}满足
a
1
＝1，
a
2< br>＝2，
b
1
＝2，且对任意的正整数
i
，
j
，
k
，
l
，当
i
＋
j
＝
k
＋
l

求解．

1
2010
(a
i
b
i
)
的值是________． 时，都有
a
i＋
b
j
＝
a
k
＋
b
l
，则< br>2010

i1
5
a
n
－135×2－135×3 －13
*
(1)200 (2)2012 【解析】 (1)由
a
1
＝2，
a
n
＋1
＝(
n
∈N)得
a
2＝＝3，
a
3
＝＝
3
a
n
－73×2－73× 3－7
5×1－13
1，
a
4
＝＝2，则{
a
n< br>}是周期为3的数列，所以
S
100
＝(2＋3＋1)×33＋2＝200.
3×1－7
(2)由题意得
a
1
＝1，
a
2
＝2，
a
3
＝3，
a
4
＝4，
a
5＝5；
b
1
＝2，
b
2
＝3，
b
3< br>＝4，
b
4
＝5，
b
5
＝6.归纳得
an
＝
n
，
b
n
＝
n
＋1；设
c
n
＝
a
n
＋
b
n
，
c
n
＝
a
n
＋
b
n
＝
n
＋
n
＋1＝2
n
＋1，则数列{
c
n
}是首项为
c< br>1
＝3，公差为2的等差数列，
问题转化为求数列{
c
n
}的 前2010项和的平均数．
1
2010
12010×
(a
i
b
i
)
＝所以×
2010

2010
i1< br>► 探究点四 数列的特殊求和方法
数列的特殊求和方法中以错位相减法较为难掌握，其中通项 公式{
a
n
b
n
}的特征为{
a
n
}是等 差数列，{
b
n
}
是等比数列．
例4 在各项均为正数的等比数 列{
a
n
}中，已知
a
2
＝2
a
1
＋3，且3
a
2
，
a
4,
5
a
3
成等差数列．
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)设< br>b
n
＝log
3
a
n
，求数列{
a
n
b
n
}的前
n
项和
S
n
.
【解答】 (1)设{
a
n
}公比为
q
，由题意得
q
>0，
6


a
＝－
5
，
或

1
q
＝－

2

1
3＋4021
2
＝2012.

a
2
＝2
a
1
＋3，
且


3
a
2
＋5
a
3
＝2a
4
，


a
1
q
－2＝3，
即

2

2
q
－5
q
－3＝0，


a
1
＝3，
解得


q
＝ 3


(舍去)，
所以数列{
a
n
}的通项公式 为
a
n
＝3·3
n
－1
＝3
n
，
n
∈N
*
.
(2)由(1)可得
b
n
＝log< br>3
a
n
＝
n
，所以
a
n
b
n
＝
n
·3
n
.
所以
S
n
＝1 ·3＋2·3
2
＋3·3
3
＋…＋
n
·3
n
，①
3
S
n
＝1·3
2
＋2·3
3
＋ 3·3
4
＋…＋
n
·3
n
＋1
.②
②－ ①得，2
S
n
＝－3－(3
2
＋3
3
＋…＋3n
)＋
n
·3
n
＋1

＝－(3＋3
2
＋3
3
＋…＋3
n
)＋
n
·3
n
＋1
，
＝－
31－3
n
1－3
3
＋
n
·3
n
＋1
＝(1－3
n
)＋
n
·3n
＋1

2

1

3

＝＋

n
－

3
n
＋1
.
2< br>
2

32
n
－1
n
＋1
所以数列 {
a
n
b
n
}的前
n
项和为
S
n
＝＋3.
44




















2.证明数列是等差或等比数列的方法
(1)等差数列 < /p>

①定义法：
a
n
＋1
－
a
n
＝
d
(
n
∈N
*
)；
②等差中项法：2
a
n
＋1
＝
a
n
＋
a
n
＋2(
n
∈N
*
)．
(2)等比数列
①定义法：
a
n
＋1
＝
q
(
n
∈N
*
)；
a
n
*
②等比中项：
a
2
n
＋1
＝
a
n
·
a
n
＋2
(
n
∈N)．
例1 (1)[2011·广东卷] 等差数列{
a
n
}前9项的和等于 前4项的和．若
a
1
＝1，
a
k
＋
a
4< br>＝0，则
k
＝
________.
(2)已知各项均为正数的等比数 列{
a
n
}，
a
1
a
2
a
3＝5，
a
7
a
8
a
9
＝10，则
a< br>1
a
2
…
a
9
＝________.
3
(1)10 (2)50 【解析】 (1)由
S
9
＝
S
4
，所以
a
5
＋
a
6
＋
a7
＋
a
8
＋
a
9
＝0，即5
a
7
＝0，所以
a
7
＝0，
2
1
由
a< br>7
＝
a
1
＋6
d
得
d
＝－，又a
k
＋
a
4
＝0，
6

1

1

即
a
1
＋(
k
－1)

－

＋
a
1
＋3×

－

＝0，

6

6

3

1

即(
k
－1)×

－

＝－，所以
k< br>－1＝9，所以
k
＝10.
2

6

1< br>(2)由等比数列的性质知
a
1
a
2
a
3
＝ (
a
1
a
3
)·
a
2
＝
a
＝5，
a
7
a
8
a
9
＝(
a
7
a
9
)·
a
8
＝
a
＝10，所以
a
2
a
8
＝50，
3
3
2
3
8
3
所以
a
1
a
2
…
a
9
＝
a
＝(
a
2
a
8
)＝50.
2
9
5
9
求数列的通项公式的几种方法

课堂讲解
一、选择题
1．等差数列
{a
n
}中,a1
a
4
a
7
39,a
3
a
6
a
9
27,则数列{a
n
}前9
项
的和S
9
等于（ ）
A．66

2、若
{a
n
}
是等差数列，首项
a
1
0,a
2003
a
2004
0,a
2003
.a
20040
，则使前n项和
S
n
0
成立的最大自然数n
是（ ） A、4005 B、4006 C、4007 D、4008
B．99 C．144 D．297

3、设
S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项之和，且
S
6< br>S
7
,S
7
S
8
S
9
，则下 列结论中错误的是（ ）
A、
d0
B、
a
8
0
C、
S
10
S
6
D、
S
7
,S
8
均为
S
n
的最大项 4、已知数列
{a
n
}
满足
a
1
0,an1

a
n
3
3a
n
1
(n N
*
)
，则
a
20
=（ ）
3

2
A、0 B、
3
C、
3
D、
5．设S< br>n
是等差数列

a
n

的前n项和，若
A．1 B．－1 C．2 D．
1

2
a
5
5
S
,则
9

（ ）
a
3
9S
5
6．若
lg2,lg(2
x
1),lg(2
x
3)
成等差数列，则
x
的值等于（ ）
A．1 B．0或32 C．32 D．
log
2
5

7．数列

a
n

的通项公式
a
n

A．98 B．99 C．96
1
nn1
，则该数列的前（ ）项之和等于9。
D．97
8．在等差数列

a
n

中，若
S
4
 1,S
8
4
，则
a
17
a
18
a< br>19
a
20
的值为（ ）
A．9 B．12 C．16 D．17
9、△ABC中，
a
、
b
、c分别为∠A、∠ B、∠C的对边.如果
a
、
b
、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面
积为
3
，那么
b
=
2
（ ）A、
13
B、
13

2
C、
23
D、
23

2
10．在 公比为整数的等比数列

a
n

中，若
a
1
a
3
6,a
2
a
4
12,
则该数列的第 3项为（ ）
A．
6122448
B． C． D．
5555
11. 如果-1，a,b,c,-9成等比数列，那么( )
=3,ac=9 =-3,ac=9 C.b=3,ac=-9 =-3,ac=-9
12．等差数列
{a
n
}
,
{bn
}
的前
n
项和分别为
S
n
,
Tn
,若
A

S
n
a
2n

,则
n
=（ ）
T
n
3n1
b
n
22n12n12n1
B C D
33n13n13n4
二、填空题

1、等差数列{
a
n
}中，
S
n
是{
a
n
}的前
n
项和，
S
6
=7,
S
15
=16，
a
11
=
2．等差数列中,若
S
m
S
n
(mn),
则
S
mn
=_______。
3. 在等比数列中，若
S
10
＝10，
S
20
＝ 30，则
S
30
＝ .

三．解答题
1．已知数列

a
n

中，
a
n
0, S
n
a
1
a
2
a
n
，且
a
n






2．数列

a
n

的前n项和为S
n
，且S
n
=2a
n
-1，数列

b
n

满足
b
1
=2，
b
n1
a
n
b
n
.
（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）求数列

b
n

的前n项和为T
n




6S
n
，求
S
n
。
a
n
3

3．设数列

a
n

前项和为
S
n
,且
(3m)S
n
2ma
n
m3

(nN

),
其中m为常数,m
3.

（1）求证: 数列

a
n

是等比数列;
（2 ）若数列

a
n

的公比
qf(m)
,数列
b
n

满足
b
1
a
1,
b
n

差数列，求
b
n
.



4．已知数列
{a
n
}中,a
1
1,前n项和为S
n
,对于任意的
n2(nN

)
，
3S
n< br>4,a
n
,2
（1）求
a
2
，
a
3
，
a
4
的值；
（2）求通项
a
n
；

3
S
n1
总成等差数列.
2

1< br>
3
f(b
n1
)(nN

,n2),
求证:

为等
2

b
n


5．已知数列
{a< br>n
}
满足
2a
n1
a
n
a
n 2
(n1,2,3,)
,它的前
n
项和为
S
n
，且
a
3
5
，
S
6
36
．
（Ⅰ）求
a
n
；
（Ⅱ）已知等比数列
{b
n< br>}
满足
b
1
b
2
1a
，
b< br>4
b
5
a
3
a
4
(a1)
，设数列
{a
n
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
．









6．已知数列
{a
n
}
是等差数列，且
a
1
2,a
1
a
2
a
3
12.

（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）令
b< br>n
a
n
x
n
(xR).
求数列

b
n

前n项和的公式








7．设正数数列{
a
n
}的前n项和Sn
满足
S
n

（I）求数列{
a
n
} 的通项公式；
（II）设
b
n


1
(a
n
1)
2
.求：
4
1
,记数列{b
n
}
的前n项和为T
n
，求T
n
a
n
a
n1

8．设数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
，若

S
n

是首项为S
1
各项均为正数且公比为
q
的等比数列.
（ Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式
a
n
（用S
1
和
q
表示）；
（Ⅱ）试比较
a
n
 a
n2
与2a
n1
的大小，并证明你的结论.