国庆板报-望岳原文

姓名____________ ______年____月_____日 第___次课 专题：如何求数列的通项公式
一．观察法：
1.
数列 通项公式
1,2,3,4,5,......
1,3,5,7,9,......
2,4,6,8,10,.......
1,4,9,16,........
1,2,4,8,.........
-1,1,-1,1,........
9,99,999,9999,.......
2.写出下列数列的一个通项公式：
（1）0，1,3,7,15，.....: (2)
(3)-2,
16
1
4
，，3，，.....: 3
3
3
5
10
17
,
-
,,.... ....: (4)1,0,1,0,.........:
4< br>9
16
二．叠加法：（适用于递推公式为
a
n1
a
n
f(n)，nN

，但必修验证
a
1
）
11
3.已知数列

a
n

满足
a
1,a
n1
a
n

2
，求数列

a
n

的通项公式。
2nn






【类例练习】
4..已知数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n
a
n1







5.已知数列
a
n

满足:
a
1
1
，
a
n1
a
n
3
n
n
，（
n2， nN)
.求数列

a
n

的通项公式。
1
，（
n2，nN)
.求数列

a
n
< br>的通项公式。
n(n1)




6.已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，
an
a
n1



三．
累乘法：（形如a
n1
a
n
f(n)
，
求
a
n
）用累乘法：
a
n

1
n1n
(n2)，求数列

a
n

的通项公式。
a
n
a
n1
a
L
2
a
1
(n2)
。
a
n1
a
n2
a
1
（nN

)
.求数列

a
n

的通项公式。 7.已知数列

a
n

满足:
a
1
1
，a
n1
2
n
a
n
，


【类例练习】

8.已知数列

a
n
满足:
a
1
1
，
a
n





9.已知数列

a
n

满足
a
1





n1

（n2,nN)
.求数列

a
n

的通项公式。 < br>a
n-1
，
n
2
n
a
n
，求
a
n
，
a
n1

3
n1
10.已 知数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n
a
1
2a
2
3a
3
....(n1)a
n-1
，（
n2,nN)
.求数列

a
n

的通项公式。







四．待定系数法：（适用于：
a
n1
pa
n
f(n)
，其中注意：f(n)的构造,有常数，一次、二次、指数函数及方程....
（一）
a
n1
pa
n
q
型（q为常数）
11.若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n1









【类例练习】
12.若数列

a
n

满足:
a
1
-3
，
a
n
 2a
n-1
1，（n2)
，求数列

a
n
< br>的通项公式。



（二）
a
n1
p a
n
q
n型（f(n)=qn）
13.若数列

an

满足:
a
1
1
，
a
n13a
n
2n
，求数列

a
n

的 通项公式。



14若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n1
2a
n
-n
，求数列

a
n

的通项公式。
1
a
n
1
，求数列

a
n

的通项公式。
2

15若数列

an

满足:
a
1
1
，
a
n12a
n
-4n
，求数列

a
n

的 通项公式。



16若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n1
2a
n
-2n4
，求数列

a
n

的通项公式。



17设数列

a
n

中，
a
1
1,a
n1
3a
n
2n1
，求

a
n

的通项公式。


（三）
a
n1
pa
n
q
n
型（f(n) =
q
n
）
18若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n1
2a
n2
n1
，求数列

a
n

的通项公式。



n1
19若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
n1
4an
4
，求数列

a
n

的通项公式。

n1n
20（2007天津理）在数列

a
n

中，
a
1
2，a
n1


an


(2

)2(nN)
，其中
< br>0
．
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；




（四）
a
n1
pa
n
qan1
,(p、q为常数，
q0
）
21若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
23
，
a
n2
3a
n1
-2a
n
，求数列

a
n

的通项公式。




22若数列

a
n

满足:
a
1
1
，
a
2
3
，
a
n2
 a
n1
2a
n
，求数列

a
n
的通项公式。


r
(p0,a
n
0)
解法：等式两边取对数后转化为
a
n1
pa
n
q
，再 利用待定系数法求解。 （五）
a
n1
pa
n

2 3已知数列｛
a
n
｝中，
a
1
1,a
n1




1
2
的通项公式.
a
n
(a0)
，求数列

a
n

a
24若数列{
a
n
}中，
a
1
=3且
a
n1
a
n
（n是正整数），求数列

a
n
的通项公式；
2




（六）倒数法

a
n1

f(n)a
n
解法：这种 类型一般是等式两边取倒数后换元转化为：
a
n1
pa
n
q< br>。
g(n)a
n
h(n)
a
n1
(n2)< br>，求数列

a
n

的通项公式。
a
n1
1
25若数列

a
n
< br>满足:
a
1
2
，
a
n




26已知数列｛a
n
｝满足：
a
n



27已知数列｛a
n
｝满足：a
1
＝



28.已知数列

a
n

满足:首项
a
1

a
n1
,a
1
1
，求数列｛a
n< br>｝的通项公式。
3a
n1
1
3na
n－1
3
（n2，nN

）
，且a
n
＝，求数列｛a
n
｝的通项公式；
2a
n－1
＋n－1
2
2a
n< br>2
(nN

)
， ，
a
n1

a
n
1
3

n

(1)求数列

a
n

的通项公式。 (2)求数列

的前n项和
S
n


a
n




29.在数列{
a
n
}中，
a
1



1

，并且对任意
nN,n2
都有
a
n
a
n1
a
n1
a
n
成立，．
3
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式 ；

六．利用
a
n



S
1
(n1)
（注意：必须验证：n=1是否成立；
a1
S
1
）

S
n
S
n1(n2)
2
30.已知：数列

a
n

满足:
a
1
1
，
S
n
na
n
(n2)
，求数列

a
n

的通项公式





3S
n
31已知：数列

a
n

满足:
a
n
(n2)
，求 数列

a
n

的通项公式
3S
n
1


七．特征方程法
2
a< br>n1


1

pa
n
q
px q
，可作特征方程
x
,当特征方程有且仅有一根
x
0
时, 则

是等差数列;
ax
rxh
ra
n
h

n0


a
n
x
1


是等比数列。

a
n
x
2

当特 征方程有两个相异的根
x
1
、
x
2
时，则

32已知 a
1
=2， a
2
=3，
a
n2< br>2a
n1
a
n
，求
{a
n
}
通项公式



33已知数列
{a
n
}
满足性质：对于
nN,a
n1




34已 知数列
{a
n
}
满足：对于
nN,
都有
a
n1





35数列
{a
n}满足a
1
1且8a
n1
a
n
16a
n 1
2a
n
50(n1).
记
b
n
a
n
4
,
且
a
1
3,
求
{a
n
}
的通项公式.
2a
n
3
13an
25
.
（1）若
a
1
5,
求
a
n
;
（2）若
a
1
3,
求
a
n
;

a
n
3
1
a
n

1
2
(n1).

（Ⅰ）求b
1
、b
2
、b
3
、b
4
的值； （Ⅱ）求数列
{b
n
}
的通项公式及数列
{a
n
b
n
}
的前n项和
S
n
.

36 已知数列
{a
n
}
满足
a
1
2,a
2< br>3,a
n2
3a
n1
2a
n
(nN*
)
，求数列
{a
n
}
的通项
a
n< br>。








3 7已知数列
{a
n
}
满足
a
1
2,a
n





八．奇偶分析法。
a
n1
2
(n2)
，求数列
{a
n
}
的通项
a
n

2a
n1
1
38
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
2
，
a
n 1
a
n
2n1
，求数列
{a
n
}
的 通项公式






39
已知数列< br>{a
n
}
满足
a
1
2
，
a
n1
•a
n
23
n
，求数列
{a
n
}
的通项公式




f(1),(n1)


f(n)
Lga
n
f(n)
求
a
n
，用作商法：
a
n


九作商法：
已知
a
1
ga
2
g
。
,(n2)


f(n1)
40数列
{a
n
}
中，
a
1
1,
对所有的
n2
都有
a
1
a
2
a
3
a
n
n
2
，则
a
3
a< br>5

______




十．猜想归纳证明法
当我们在求数列通项时没想到比较好的方法时，猜想法不失为一种权 宜之计。运用猜想法解题一般涉及到三
个步骤：（1）利用所给的递推式求出
a
1,a
2
,a
3
,
……，（2）猜想出满足递推式的一个通项公式
a
n
，（3）用数学归纳
法证明猜想是正确的。
n1n
41、（2007天津理）在数列

a
n

中，
a
1
2，a
n1


a
n


(2

)2(nN)
，其中

0
．
（Ⅰ）求数列

a
n

的通项公式；

参考答案：
随堂练习：（一）
1)-5 2)5150 3)52 4)52 5)180 6)12 7)24 8)-2010
随堂练习：（二）
一．选择题：
1．D 分析：
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和，若
S< br>7
7a
4
35,
∴
a
4

5
．
2．C 分析：在等差数列

a
n

中，
a
2
a
8
8
， ∴
a
1
a
9
8
，则该数列前9项和
S
9

3．A 分析：:由等差数列的求和公式可得
9(a
1
a9
)
36
.
2
S
3
3a
13d
1
,可得a
1
2d
且
d0
< br>S
6
6a
1
15d3
所以
S
6
6 a
1
15d
27d3

,故选A.
S
12
12a
1
66d90d10
4．B 分析：
a
n

是等差数列，
a
1
a
3< br>a
5
3a
3
9,a
3
3,a
69.
∴
d2,a
1
1
，则这个数列的前6项和等于
6(a
1
a
6
)
24
，选B.
2
5．C 分析：

二．填空题：

5a
1
20d15
d3
，故选C.

5a
1
25d30
6．
1
分析: 设首项为
a
1
，公差为
d
，由题得

5a
1
10d10

a
1
2d2
9d4d 14d1



10a
1
45d5

2a
1
9d1
7．4 分析: 略.
8．28 分析: 略．
9．7, 49 分析: 略．
三．解答题：

a
1
2d11

10．解：（1）

解得:
d3,a
1
5,a
n
3n2
.
98
9ad153
1

2
11.解:
1 21221
a
2
a
5
a
1
d4d2a< br>1
5d4,又a
1


d,a
n
(n1)

n
333333

21
a
n
33,

n33
得
n50
33
12．解:

6aa
16
66.

aa22.
Q
a
n

为等差数列
.

S
6

16
2
又a
g
a21，

a 、a
是二次方程
x
2
22x210
的两根
1616

又公 差
d0.

a
6
a
1
.

a
1
1,a
6
21.
由
a
6
a
1


61

g
d21
得
d
21-1
4,
5

通项公式
a
n
4n3
13．
a
n
2
1

n
n4
14. （1）由
a
n
3a
n1
31,及a
4
365知a
4
3a
3
313 65,则a
3
95

同理求得a
2
=23, a
1
=5
a
n


a
n


}
为一个等差数列
,
于是设
xny

3
n
3
n

a
n
(xny)3
n


,又由a
1
5,a
2
23,a
3
95
(2)
Q
{


5a
1
(xy)3


知

23a
2
(2x y)9



95a
3
(3xy)27< br>


11
求得

,x1,y
22

a
n
1111
)3
n
,而a
n(n)3
n
满足递推式
2222

1
因此

2
(n
111
)3
n
先求b< br>n
(n)3
n
的前n项和,
222
111
记T n(1)3
n
(2)3
2
(n)3
n

222
111
则3Tn(1)3
2
(2)3
3
(n)3
n1
222
由上两式相减
(3)an
(n