高中信息技术说课稿-茶馆的读后感

常见数列通项公式的求法
1.定义法
：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。
2
例1．等差数 列

a
n

是递增数列，前n项和为
S
n
，且
a
1
,a
3
,a
9
成等比数列，
S< br>5
a
5
．求数列
3

a
n
的通项公式.
a
n
=n

5
S,(n1)
2 .公式法
：已知
S
n
（即
a
1
a
2a
n
f(n)
）求
a
n
，用作差法：
a
n

S
1
S,(n2)
。
nn1

例2：
已知数列
{a
n
}
的前
解：（1）当n =1时，
a
1
n项和s
n
，
s
n
n2
1
求
{a
n
}
的通项公式。
s
1
0
，当
n2
时
a
n
s
n
s
n1
(n
2
1)[(n1)
2
1]2n1

由于
a
1
不适合于此等式 。 ∴
a
n
(n1)

0




2n1(n2)
31
n-1
练习：数列{a
n
}满足a
n
=5S
n
－3，求a
n
。 答案：
a
n
= （－ ）
44
3.累加法
：
若
a
n1
a
n
f(n)
求
a
n
：
a
n
(a
n
a
n1
)(a
n1
a
n2
) (a
2
a
1
)
a
1
(n2)
。 < br>例3：
（1）数列{a
n
}满足a
1
=1且a
n=a
n－1
+3n－2（n≥2），求a
n
。
1
（2 ）数列{a
n
}满足a
1
=1且a
n
=a
n－1< br>+
2
n
（n≥2），求a
n
。
解：（1）由a< br>n
=a
n－1
+3n－2知a
n
－a
n－1
=3n－2，记f（n）=3n－2= a
n
－a
n－1

则a
n
= （a
n
－a
n－1
）+（a
n －1
－a
n－2
）+（a
n－2
－a
n－3
）+… （a
2
－a
1
）+a
1

=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a
1

=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1 （n+2）（n－1）3n
2
－n
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2] －2（n－1）+1 =3× －2n+3=
2

2
111
（2） 由a
n
=a
n－1
+
2
n
知a
n
－a
n－1
=
2
n
，记f（n）=
2
n
= a
n
－a
n－1

则a
n
=（a
n
－a
n－1
）+（a
n －1
－a
n－2
）+（a
n－2
－a
n－3
）+… （a
2
－a
1
）+a
1

=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a
1
111111
=
2
n
+
n
－
1
+
n
－
2
+…+
2
2
+1=
2
－
2
n

22
31
11
aaa
a=-

练习：
已知数列

a
n

满足
1
，
n1，求
a
n
。答案：
n
n
2
2n
2nn
aaaa
4.累乘法：
已知
n1
f(n)
求
a
n
，用累乘法：
a
n

n

n 1

2
a
1
(n2)
。
a
n
a
n1
a
n2
a
1
例4：在数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1, (n+1)·
a
n1
=n·
a
n
，求
a
n
的表达式。
解：由 (n+1)·
a
n1
=n·
a
n
得
a
n 1
n

，
a
n
n1
123n111
a
n
a
2
a
3
a
4
a

所以
a
n

=
··
…
n
=
 
nnn
a
1
a
1
a
2
a
3< br>a
n1
234
1

a
1

练习：
已知数列

an

中，
答案：
a
n
1
，前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系是
S
n
n(2n1)a
n
，试求通项公式
a
n
。
3
=
1
.
< br>(2n+1(2n-1)
5.已知递推关系求
a
n
，用构造法（构造等 差、等比数列）。
（1）形如
a
n
ka
n1
b、
a
n
ka
n1
b
（
k,b
为 常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比
为
k
的等比数列后，再求
a
n
。
n
①
a
n
ka
n1
 b
解法
：把原递推公式转化为：
a
n1
tp(a
n< br>t)
，其中
t
换元法转化为等比数列求解。
例5. 已知数列< br>
a
n

中，
a
1
1
，
a
n1
2a
n
3
，求
a
n
. q
，再利用
1p
解：设递推公式
a
n1
2an
3
可以转化为
a
n1
t2(a
n
 t)
即
a
n1
2a
n
tt3
.故递推公式为
a
n1
32(a
n
3)
,令
b
n
a
n
3
，则
b
1
a
1
34
,且
以

b
n

是以
b
1
4
为首项，2为公比的等比数列，则
b
n
42< br>n1
b
n1
a
n1
3
2
所b
n
a
n
3
2
n1
,所以
a< br>n
2
n1
3
.
a
1
p
a
n
1
n1

②
a
n
ka
n1
b
n
解法
：一般地，要先在原递推公式两边同除以
q
，得：
n
q
n1
q
q
n
q
a
p1
bb
引入辅助数列

b
n

（其中
b
n

n
），得：再应用
a
n
ka
n 1
b
的方法解决.
。

n1n
n
qq
q
511
n1
,
a
n1
a
n
( )
，求
a
n
。
632
11
n1
2nn1
n1
解：在
a
n1
a
n
()
两边乘以
2
得：
2a
n1
(2a
n
)1

323
22
n
n
令
b
n
2a
n
，则
b
n1
b
n
1
, 应用例7解法得：
b
n
32()

3
3
b1
n
1
n
3()2()
所以
a
n

n
n
23
2
n
练一练①已知
a
11,a
n
3a
n1
2
，求
a
n
；②已知
a
1
1,a
n
3a
n1
2，求
a
n
；
例6. 已知数列

a
n

中，
a
1

（2）形如
a
n

例7：
a
n

a
n1
的递推数列都可以用倒数法求通项 。
ka
n1
b
a
n1
1
3a
n 1
1
1
3
,a
1
1
解：取倒数：


a
n
a
n1
a
n1
3an1
1

1

11
1
a
 (n1)3
1(n1)3
是等差数列，


n3n2
a
n
a
1

a
n

a
n
练习
：
已知数列｛
a
n
｝中
a1
1
且
a
n1

（
nN
），求 数列的通项公式。
a
n
1
，

2

常见数列求和公式及应用
1、公式求和法
n(a
1
a
n
)
n(n1)
na
1
d

22
(q1)

na
1

n
⑵等比数列求和公式 ：
S
n


a
1
(1q)
a
1
a
n
q

(q1)

1q
1q
⑴等差数列求和公式：
S
n

另外，还有必要熟练掌握一 些常见的数列的前
n
项和公式.正整数和公式有：

k
k1n
n(n1)
；
2

k
k1
n
2

n(n1)(2n1)
6
；

k
k1n
3
[
n(n1)
2

]
2
1
23n
，求
xxxx
的前n项和.
log
2
3
11
log
3
xlog
3
2 x
解：由
log
3
x
log
2
32
11
(1
n
)
n
x(1x)
2
23n
2
＝1－
1
由等比数列求和公式得
S
n
xxxx
＝＝
1
2
n1x
1
2
例1：已知
log
3
x
2、倒 序相加法
S
n
a
1
a
2
……a
n1
a
n


则
2S
n


a
1
a
n



a
2
a
n1

…

a
1
a
n

…

S
n
a
n
a
n1
……a
2
a
1

x
2
例2：已知
f (x)
，则
f(1)f(2)
2
1x
2

1

f

f(3)

2


1

f

f(4)

3

1

f




4

< br>1


x
2
x
2
1
x


1


1
解：∵由
f(x)f


2
222
x1x1x1x


1

1


x


1
1



1



1

1
式
f(1)

f(2)f




f(3)f




f(4)f

1113
2


2



3



4


2< br>
11
变式训练：如已知函数f(x)对任意x∈R都有
f(x)f(1x )
，
S
n
f(0)f()

2n
23n 2n1
*
f()f()
+…
f()f()
f(1)
，（
nN
），求
S
n

nnnn
3、裂项相消法
11

11





；
(2n1)(2n1)2

2n12n 1

1
1111
n1n
；
()
；nn1
n(nk)knnk
111
,,,,
的前n 项和. 例3
：
求数列
1223nn1
一些常见的裂项方法：
3

解 ：设
a
n

1
nn1
111
则
S
n


1223nn1
＝
(21)(32)(n1n)
＝
n11

练习：已知
a
n

n1n

2
12 n

，又
b
n

，求数列{b
n
}的前n项的和.
n1n1n1
a
n
a
n1
4、错位相减法设数列

a
n

的等比数列，数列

b
n

是等差数列，则数列

a
n
b
n

的前
n
项和
S
n
求解，均
可用错位相减 法。
例4：求
S
n
12x3x4x……nx
23n 1

例5：设
{a
n
}
是等差数列，
{b
n
}
是各项都为正数的等比数列，且
a
1
b
1
 1
，
a
3
b
5
21
，
a
5< br>b
3
13
（Ⅰ）求
{a
n
}
，
{b
n
}
的通项公式；（Ⅱ）求数列


a
n

的前
n
项和
S
n
．

b
n

4


12dq21，
解：（Ⅰ）设

a
n

的公差为
d
，

bn

的公比为
q
，则依题意有
q0
且

2


14dq13，
解得
d2
，
q2
．所以
a
n
1(n1)d2n1
，
b
n
q
n1
2
n1
．
（Ⅱ）
352n32n1
a
n
2n1

n1
．
S
n
1
1

2

n2

n1
，①
2222
b
n
2
52n32n1
2S
n
23
n3

n2
，②
2 22
2222n1
②－①得
S
n
22
2

n2

n1

2222
1
n1
2n3
2n1
1

2n1

11
2

n1
6
n1
．
22

1
2



n2


n1
2 2
1
2
2
2

2

22
1
2
2462n
练习：3.求数列
,
2
,
3
,,
n
,
前n项的和.
2
222
小结：错位 相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列

c
n

的公比
q
；②将两个等式相减；
1
③利用等比数列的前
n
项和的 公式求和.
5、分组求和法
例6、已知数列

a
n
< br>的通项公式为
a
n
23n1,
求数列

an

的前
n
项和.
n
S
n
a1
a
2


a
n


2< br>1
2



2
2
5




2
n
3n1


212n
n

2

3n1



=
22

2

25


3 n1


.
=

122
3
2
1
n1
=
2nn2.

22
练习：求和：
2536+47+……+n(n+3)


12n


4