递推公式求数列通项的八大常见形式
武汉中南民族大学-长袜子皮皮读后感
新课标高考由递推公式求数列通项的八大常见形式
对于递推公式确定的数列的求解，通
常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等
比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数
列称辅助数列法。
1． 递推公式为（其中p，q均为常数，
）。
解法：把原递推公式转化为：
其中
例1.
已知数列
，再利用换元法转化为等比数列求解。
中，，求。
2.
可构造为形如
型递推式
的等比数列。
例5. 在数列中，，求通项公式。
，解：原递推式可化为
，上式即为是一个等比数列，首项
，比较系数可得：
，公比为。
所以。
即，故为所求。
3.
（1）可构造为形如
（A、B、C为常数，下同）型递推式
的等比数列。
（其中p，q均为常数，类型4 递推公式为
）。
（2）可构造为形如
引入辅助数列
（其中），得：
再应用类型1的方法解决。
例1. 已知数列中，，求。
例2. 已知数列中，，求。
4．=p+q
(p、q均为常数)（二阶递归）
=p
｛-
+q -＝（-）∴解出、因此
｝是G.P
型
特殊地
分析：∵
∴
∴
例1、，
是以
，
为首项，公比为
的等比数列
，求
例2：a
1
=1，a
2
= =-,求数列｛｝的通项公式。
-＝（-）解得：＝1、＝
-＝（-），
a
2
-a
1
= ∴-= ∴
（-）+┈+（a
2<
br>-a
1
）+a
1
=++┈++1=3-.
5.等差数列：
由此推广成差型递推关系：
累加：
=
，于是只要可以求和就行。
递推公式为
解法：把原递推公式转化为，
（特殊情形：⑴.（差后等差数列）⑵
利用累加法求解。
例1．已知｛｝满足，且，求
例2．已知｛｝满足，且，求
例3．已知｛｝满足，且，求
例4. 已知数列满足，求。
6．等比数列：
递推公式为
累乘：
类型2递推公式为
＝（-）+
∴＝3-
）（差后等比数列）
解法（1）
把原递推公式转化为，利用累乘法求解。
例1．已知｛<
br>例2．已知｛
｝满足
｝满足
，且，求
，且
，求
例3．. 已知数列满足，求。
7．倒数变换法：
形如
（为常数，且）的递推公式，可令
。则可转化为型；
例1：数列中，且，，求数列的通项公式.
8．对数变换法：
1．
递推式两边同取对数，得
令，则
，已转化为“型”，由累乘相
消法可得
满足，求。
例、已知
数列