上海验车-绿野仙踪读后感

..
求数列通项公式的常用方法
类型1、
S
n
f(a
n
)


S
1
(n1)
解法：利用
a
n


与
a
n
S
n
S
n1< br>f(a
n
)f(a
n1
)
消去
SS (n2)
n1

n
S
n

(n2)< br>或与
S
n
f(S
n
S
n1
)
(n2)
消去
a
n
进行求解。
例 1 已知无穷数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，并且
a
n
S
n
1(nN
*
)
，求

a
n

的通项公式？
1
1

1



a
n1
S
n1
S
n
a
n
a
n1
，


a
n1
a
n
，
S
n< br>1a
n
，又
a
1

，
a
n

.
2
2

2

n
变式1. 已知数列
a
n

中，
a
1

S
n
n (2n1)a
n
，求
a
n

1
，前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系是
3
变式2. 已知数列
{a
n
}
的前
n
项 和为
S
n
，且满足
2S
n
2a
n
n 3(nN
*
)
．
求数列
{a
n
}
的通项公式
变式3. 已知数列
{a
n
}
的前n项和
S
，其中
{b
n
}< br>是首项为1，
(n1)b
n

n
公差为2的等差数列. 求数列
{a
n
}
的通项公式；
变式4. 数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，
a< br>1
1
，
a
n1
2S
n
(nN
*
)
．求数列

a
n

的通项
a
n

变式5. 已知数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且满足
2S
n
2a
n
 n3(nN
*
)
．
求数列
{a
n
}
的通项公式；
1
2
S(a2)
nn
8
变式6. 已知在正整数数列< br>{a
n
}
中，前
n
项和
S
n
满足< br>
1
a
n
30
b
{a}
（1）求证：< br>n
是等差数列 （2）若
n
2
，求
{b
n
}
的前n项
和的最小值
.. .

..
类型2、
a
n1
ka
n
b
型（其中
k、b
为常数，
kb0
，
k1
）
解：设
a
n1
mk(a
n
m)
∴
a
n1
ka
n
kmm

比较系数：
kmmb
∴
∴
∴
{a
n

m
b
k1

b
b
}a
1

k1

k1
是 等比数列，公比为
k
，首项为
a
n

bb
(a< br>1
)k
n1
k1k1

bb
)k
n1

k1k1

∴
a
n
(a
1

例1 已知数列

a
n

中,
a
1
1
,
a
n
2a
n1
1(n2)
,求
a
n

的通项公式.
【解析】:利用
(a
n
x)2(a
n1
x)
,
a
n
2a
n1
x
,求得
x1
,
a
n
12(a
n1
1)
,


a
n
1

是首项为
a
1
12
,公比为2的等比数列,
即
an
12•2
n1
,
a
n
12
n,
a
n
2
n
1

变式1.已知数
{a
n
}
的递推关系为
a
n1
a
n
4
，且
a
1
1
求通项
a
n


类型3、
a
n1
a
n
f(n)
型，（
f(n)
可求前
n
项和），
利用
a
n
a1
(a
2
a
1
)(a
n
an1
)
求通项公式的方法称为累加法。
例1.已知
{a
n< br>}
的首项
a
1
1
，
a
n1
a
n
2n
（
nN
）求通项公式。
*
2
3
解：
a
n
a
n1
2(n1)

a
n1
a
n2
2(n2)

a
n2
a
n3
2(n3)
……
a
3
a
2
22

.. .

..

a
2
a
1
21

a
n
a
1
2[12(n1)]n
2
n

2
ann1

n
∴

变式1.已知数列< br>{a
n
}
满足
a
n1
a
n
2 n1，a
1
1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
变式2. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n 1
a
n
23
n
1，a
1
3
， 求数列
{a
n
}
的通项
公式。
变式3. 已知数列
{a
n
}
中,
a
1
1
,a
n
3
n1
a
n-1
(n2)
求数列

a
n

的通项
公式.
变式4. 已知数列
a
n

满足
a
1
1
，

a
n1
a
n

1
求

an

的通项公式。

n(n1)
，
类型4
a
n1
ka
n
anb
型

解：可 设
a
n1
A(n1)Bk(a
n
AnB)

∴
a
n1
ka
n
(k1)An(k1)BA


(k1)Aa
ba
a
B

A
k1
(k1)
2

(k1)BAb
k1
，∴

解得：
∴
{a
n
AnB}
是以a
1
AB
为首项，
k
为公比的等比数列
∴
a
n
AnB(a
1
AB)k
n1

A、B代入即可
n1
a(aAB)kAnB
将
n1
∴
例1. 已知：
a
1
1
，
n 2
时，
a
n

1
a
n1
2n1< br>2
，求
{a
n
}
的通项公式。
.. .

..
解：
1
a
n
AnB[a
n1
A(n 1)B]
2
设
a
n

1111
a
n 1
AnAB
2222


1
A2

2



1
A
1
B1
2

2
∴



A4

解得：

B6

∴
a
1
463

1
∴
{a
n
4n6}
是以3为首项，
2
为公比的等比数列
1
a
n
4n63()
n1
2
∴
a
n

3
2
n1
4n6
∴
n
akaq
类型5
n1
型 （
q0
）
n
a
n1
k
a
n
1

n
n1
n1
q
q
q

q
q
等式两边同时除以得
C
n

a
n
k1
CC< br>q
n
则
n1
q
n
q
∴
{C
n
}
可归为
a
n1
ka
n
b
型 令
n
a
{a}
a2a2
a1
n1
例1. 已知
n
中，
1
，
n
（
n2
）求
n
。
a
n
a
n1

n1
1
n
a2a2
nn1
由得
22

n
a
n
a
n
1
}
(n1)
nn1
n
n
an22
n
2
2
2
∴ 成等差数列， ∴

{
n
aAaBq
n
类型6
n1
（
A、B、q
为常数，下同）型，
.. .

..
n1n
a

qA(a

q)
的形式. 可化为
n1n

例1.在数列

a
n

中，
a
1
1,a
n1
2a
n
43n1
,求通项公式
a
n

解：原递推式可化为：
a 

3
n
2(a

3
n1
)< br> ①
n1n
较系数得

4
比，
.
①式即是：< br>a
n1
43
n
2(a
n
43
n 1
)
则数列
{a
n
43
n1
}
是 一个等比数列，其首项
a
1
43
11
5
，公比是 2.
∴
a
n
43
n1
52
n1

n1n1
a4352
即
n
.
变式1. 已知 数列
{a
n
}
满足
a
n1
2a
n32
n
，
a
1
2
，求数列
{a
n
}
的通项
公式。
变式2. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
2a
n
35
n
，a< br>1
6
，求数列

a
n

的通项公
式。
变式3. 已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
3a
n
52
n
4，a
1
1
，求 数列
{a
n
}
的通项
公式。
类型7、
a
n1
f(n)a
n
型。
（1）若
f(n)
是常数时，可归为等比数列。
.. .

..
（2）若
f(n)
可求积，利用恒等式
a
n
a
1
项公式的方法称为累乘法。
例1：已知：
a
1

a
a
2
a
3

n
(a
n
0,n2 )
求通
a
1
a
2
a
n1
1
2n 1
a
n
a
n1
3
，
2n1
（n2
）求数列
{a
n
}
的通项。
a
na
n1
a
n2
a
3
a
2
2n1 2n32n5533





解：
a
n1
a
n2
a
n3
a
2
a1
2n12n12n3752n1

∴
a
n
a
1

31

2n12n1

变式1. 已知
a
1
1
,
a
n
n(a
n1
a
n
)
(nN
*
)
,求数列< br>
a
n

通项公式.
变式2. （2004年全国I第15 题，原题是填空题）已知数列
{a
n
}
满足
a
1
 1，a
n
a
1
2a
2
3a
3
( n1)a
n1
(n2)
，求
{a
n
}
的通项 公式。
变式3. 已知数列

a
n

满足
变式4. 已知
{a
n
}
中，

类型8、
a
n1< br>
a
1

2
n
a
n1
a
n
3
，
n1
，求
a
n
。
a
n1

n
a
n
n2
且
a
1
 2
求数列通项公式。
ca
n
(c0,d0)

a
n
d
1d11

的形式的方法叫倒数变换. 取倒数变成
a
n1
ca
n
c
例1 已知数列

a
n

(nN
*
)
中,
a
1
1
,
a
n1

公式.
【解析】:将
a
n1

a
n
2a
n
1
a
n
,求数列

a
n

的通项
2 a
n
1
取倒数得:
11
2
,
a
n 1
a
n
11
2
,

a
n1
a
n

1

1

是以
1
为 首项,公差为2的等差
a
1

a
n

.. .

..
数列.
1
1
12(n1)
,

a
n

.
a
n
2n1
a
n
4
4
a
n1
（
n2
）求
a
n
。 例2 已知
{a
n
}
中，
a
1
4
，
解：
a
n1
22
4
2(a
n
2)

a
n
a
n

a
n
111

∴
a
n1
22( a
n
2)2a
n
2
（
n1
）
1
∴
a
n1
2
即

111
b
n

a
n
22
（
n1
）设
a
n
2

b
n1
b
n

1
(n1)
2

∴
{b
n
}
是等差数列
111n
2
(n 1)
a
n
2
22

n
∴
a
n
2a
1
2


例3. 已知数列 ｛a
n
｝满足：a
1
＝，且a
n
＝
数列｛a
n
｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－
等比数列，其首项为1－
n•3
n
＝
n
（n
3－1
3
2
3nan－1
（n2，nN

）
求
2a
n－1
＋n－1
1n－1
nn
）
＝
（1－
，因此｛1－｝为一个< br>3a
n－1
a
n
a
n
11
1
1n< br>＝，公比，从而1－＝
n
，据此得
a
n
33
3
a
1
a
n
1）

变式1.已知数列｛
a
n
｝中
a
1
1
且
a
n1

a
n
（
nN
）
，
，求数列的通
a
n1
.. .

..
项公式。
变式2.数列

a
n

中，
a
1
1
，
a
n1

2a
n
,( nN

)

a
n
2
变式3.在数列｛
a
n
｝中，
a
1

=1,
(n1)a
n1
na
n
，求
a
n
的表达式。
变式4. 数列
{a
n
}
中，
a
n1
2
n1a
n

n1
2a
n
，
a
12
，求
{a
n
}
的通项。
2
2S
n
a
n

2S
n
1
变式5. 已知
{a
n
}
中，
a
1
1
，其前
n
项和
S
n
与
a
n
满足
（
n2
）
1
}
（1）求证：
S
n
为等差数列 （2）求
{a
n
}
的通项公式
{

类型9、a
n2
pa
n1
qa
n
（其中p，q均为常数 ）。
(特征根法)：对于由递推公式
a
n2
pa
n1qa
n
，
a
1


,a
2


给出的数
列

a
n

，方程
x
2
pxq0
，叫做数列

a
n

的特征方程。
若
x
1
,x
2
是特征方程的两个根， （1）当
x
1
x
2
时，数列

a
n

的通项为
a
n
Ax
1
n1
Bx< br>2
n1
，其中A，B由
n1
a
1

< br>,a
2


决定（即把
a
1
,a
2
,x
1
,x
2
和
n1,2
，代入
an
Ax
1
n1
Bx
2
，得
到关于A、B 的方程组）；
（2）当
x
1
x
2
时，数列
< br>a
n

的通项为
a
n
(ABn)x
1< br>n1
，其中A，B由
a
1


,a
2

决定（即把
a
1
,a
2
,x
1< br>,x
2
和
n1,2
，代入
a
n
(AB n)x
1
n1
，得到
关于A、B的方程组）。
3、
a< br>n2
Aa
n1
Ba
n
型，可化为
.. .

..
a
n2


a
n1
(A

)(a
n1


a
n
)
的形式。
例11 在数列{
a
n
}中，
a
1
1,a< br>2
2
，当
nN
，
a
n2
5a
n1
6a
n
① 求通项公式
a
n
.
解：①式可化为：
a
n2


a
n1
(5

)(a
n1


a
n
)< br>
比较系数得

=-3或

=-2，不妨取

=-2.①式可化为：
a
n2
2a
n1
3(a
n1
2a
n
)

则
{a
n1
公比为3.
n1
a2a43
∴
n1
.利用上题结果有：
n
2a
n
}
是一个等比数列，首项
a
2
2a1
=2-2（-1）=4，
a
n
43
n1
5 2
n1
.
例1 数列

a
n

：3a
n2
5a
n1
2a
n
0(n0,n N)
，
a
1
a,a
2
b
,求
a
n

解（特征根法）：的特征方程是：
3x
2
5x20
。
x
1
1,x
2

,
2
n1
a
n
Ax
1
n1
Bx
2
AB()
n1
。又由
a
1
a,a
2
b
，于是
3
2
3

aAB

A3b2a
2

故
a
n
3b2a3(ab)()
n1


2

3
bAB

B3(ab)

3< br>
变式1. 已知数列

a
n

中，
a1
1
,
a
2
2
,
a
n2
a
n1
a
n
，求
a
n
。
key:a
n

731
n1
()
。
443
2
3
1
3
变式2. 已知数列

a
n

满足
a
1
1,a
2
3,a
n2
3a
n1
2a
n
(nN
*
).< br>求数列

a
n

的通项公式；
.. .

..

r
(p0,a
n
0)
类型10
a
n1
pa
n
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为
a
n1
pa
n
q
，再利用
待定系数法求解。
2
的通项公式.

(a0)
，求数列

a
n

例1 已知数列｛< br>a
n
｝中，
a
1
1,a
n1
an
2
解：由
a
n1
a
n
两边取对数得< br>lga
n1
2lga
n
lg
，
1
a
1
a
1
a
a
n
a()
2n1
令
b
n
lga
n
，则
b
n1
2b< br>n
lg
，再利用待定系数法解得：
2
变式1. 【2002年高考题 】若数列{
a
n
}中，
a
1
=3且
a
n 1
a
n
（n
1
a
1
a
是正整数），则它 的通项公式是
a
n
=


类型11周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
1

2a,(0a)
n

6

n
2
，若
a
1
，则
a
20
的值为


7

2a1 ,(
1
a1)
nn

2

例1若数列

a
n

满足
a
n1
___________。
变式【2005文5】已知数列
{a
n
}
满足
a
1
0,a
n1

（)
A．0

类型12平方（开方）法
.. .
a
n
3
3a
n
1
(nN
*)
，则
a
20
=
B．
3
C．
3
D．
3

2

..
2
a
a
a3a
【例1】 若数列{
n
}中，
1
=2且
nn1
（n
2
），
求它的通项公式是
a
n
.
2
a3a
解 将
nn1
22
aa
两边平方整理得
nn1
3
。数
列{
a
n
2
}是以
a
2
1
=4为首项，
an
2
a
1
2
(n1)33n1
。
a
n
3n1
。

..
3为公差的等差数列。
因为
a
n
＞0，所以
.