暑假作业-防暑降温费发放标准

精心整理
1．观察法（求出a1、a2、a3，然后找规律）
即归纳推理， 就是观察数列特征，找出各项共同的构成规律，然后利用数学归纳
法加以证明即可。
例1.设
a
1
1
，
a
n1
a
n
2 a
n
2b(nN

)
，若
b1
，求
a
2
,a
3
及数列
{a
n
}
的
通项公式．
解：由题意可知：
a
1
1111
，
2
a
2
a
1
2a
1
212211
，
a
3
a
2
2a
2
212 1311
.
因此猜想
a
n
n11
.
下面用数学归纳法证明上式．
（1）当n＝1时，结论显然成立．
（2）假设当n＝k时结论成立，即
a
k
k11
.
(3)则
a
k1
a
k
2a
k
21(a
k
1)
2
11(k1)11(k1)11
，
即当n＝k＋1时结论也成立．
由（1）、（2）可知，对于一切正整数
n
，都有
a
n
n11(nN

)
．（最后一句
总结很重要）
2
2
2
2．定义法
（
已知数列为等差或者 等比
）

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于 已
知数列类型的题目。
例2.已知等差数列

a
n
满足
a
1
a
2
10
，
a
4
a
3
2
，求

a
n

的通项公式。
解：设等差数列

a
n

的公差为
d
.
因为
a
4
a
3
2
，所以
d2
.
又因为
a
1
a
2
10
，所以
2 a
1
d10
，故
a
1
4
.
所以< br>a
n
42(n1)2n2
(n1,2,)
.

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3．公式法
若已知数列的前n项和
s
n
与
a
n
的关系，求数列

a
n

的通项
a
n
可用公式
求解。
（一定要讨论n=1，n≥2）

例3.设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
2S
n
3
n
3.

（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式。
解：（Ⅰ）由
2S
n
3
n
3

1可得：当
n1
时，
a
1
S
1
(33) 3
，
2
11
当
n2
时，
a
n
S
n
S
n1
(3
n
3)(3
n1
3)3
n1
(n2)

22
而
a
1
33
11
，

3,n1,
所以
a
n


n1

3,n1.

4．累加法
当递推公式为
a
n1
a
n
f(n)
时，通常解法是把原递推公式转化为
a
n1< br>a
n
f(n)
。
例4.数列
{a
n
}
满足
a
1
1
，且
a
n1
a
n
n1
（
nN
*
），则数列{}的前10项和
为
解：由题意得：
5．累乘法
当递推公式为
a
n1
a
n
f(n)
时，通常解法是把原递推公式转化为
用累乘法(逐商相乘法)求解 。
2n
a
n
，求
a
n
的通项公式。 例5.已知 数列

a
n

满足
a
1
,a
n 1

3n1
a
n1
f(n)
，利
a
n
解：由条件知
a
n1
n
，

a
n
n1
在上式中分别令
n1,2,3,,(n1)
，得
n 1
个等式累乘之，

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a
a
2
a
3
a
4
123n1
a
1



n



，即
n


a
1
a
2
a
3
a
n1
234n
a
1
n
即
又
a
1

22
a
n

33n
6.构造法（拼凑法）-共5种题型，第2、3种方法不 必掌握
1、当递推公式为
a
n1
pa
n
q
（其中
p,q
均为常数，且
pq(p1)0
）时，通常
解法是把 原递推公式转化为
a
n1
tp(a
n
t)
，其中< br>t
化为等比数列求解。
例题：已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1,a
n1
3a
n
1
， 求
{a
n
}
的通项公式。
解：由
a
n1
3a
n
1

得
a
n1

又
a
1

11
3(an
)

22
q
，再利用换元法转
1p
13


22
13
所以
{a
n
}
是首项为，公比为
3的等比数列
22
13
n1
3
n
所以
an
3

222
3
n
1
因此数列{a
n
}
的通项公式为
a
n

.
2
2、
当递推公式为
a
n1
pa
n
knb( 其中p,k,b均为常数，且pk0)
时，通常解法
是把原递推公式转化为
a
n1
x(n1)yp(a
n
xny)
，其中
x,y
的值由方程

pxxk
给出。
（了解即可，不必掌握）



pyxyb
例题：在数列
{a
n
}中，
a
1
=2，
a
n1
=
4a
n< br>3n1
，
求数列
{a
n
}
的通项
an
。
解：由
a
n1
4a
n
3n1

得
a
n1
(n1)4(a
n
n)

又
a
1
11

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所以 数列
{a
n
n}
是首项为
1
，公比为
4
的等比数列
所以
a
n
n4
n1
，即
an
4
n1
n
.
3、
当递推公式为
a< br>n1
pa
n
c
n
（其中
p,c
均为常 数，且
pc0
）时，通常解法
是把原递推公式转化为
a
n1p
a
n
1
a
n1
a
n
1
。 ①若，则


，此时数列
pc
c
n1
c c
n
c
c
n1
c
n
c
a
na
n
a
1
a1
1
{
n
}
是以
1
为首项，以为公差的等差数列，则
n
(n1)
，即
cc
c
ccc
a
n
(na
1
1)c
n1
。②若
pc
，则可化为
a
n1
p
a< br>n
1
t(t)(其中t)
形式
c
n1
cc
n
cp
求解。
（了解即可，不必掌握）

例题：已知数列 {
a
n
}中，
a
1
=1，
a
n1
=
2a
n
3
n
，求数列的通项公式。
解：由
a
n1
2a
n
3
n

得
a
n1
3
n1
2(a
n
3
n
)

所以数列
{a
n
3
n
}
是首项为
a
1
3
1
=
2
，
q2的等比数列
所以
a
n
3
n
=
22n1
，即
a
n
=
3
n
2
n

4、
当递推公式为
a
n1

pa
n
（
p,q,s
为常数，且
pqs0
）时，通常两边同时取
qan
s
11
1sq

。①若
ps
，则{}
是以为首项，
a
1
a
n1
pa
n
p
a
n
倒数，把原递推公式转化为
以
q
11qpa1
q(n1)
为公差的等差数列，则
(n1)
，即
a
n

。②若
ps
，
a
n
a
1< br>ppa
1
p
则可转化为
q
1s1
t(t)（其中
t
）形式求解。
a
n1
pa
n
p s
3na
n1
3
，且
a
n

（
n2
nN

），求数列{
a
n
}
2a
n1
n1
2
例10.已知数列{
a
n
}满足
a
1

的通项公式。
解：原式可变形为
2a
n
a
n1
(n1)a
n
3na
n1

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n1n12

……⑴
a
n
3a
n1
3
两边同除以
3
a
n
a
n1
得
构造新数列
{
n
1


}，使其成为公比
q
的等比数列
a
n
3
即
n 1n1


(

)
a
n
3a
n1

nn12
22


满足⑴式使
< br>

∴

1

a
n
3a
n1
3
33
n
11
1
1}
是首项为
1
，q=的等比数列
a
n
a
1
3
3
整理得
∴数列
{
n3
n
n11
n1
1
n
∴
1()()
∴
a
n

n
。
a
n
333
31
5、当递推公式为
a
n2

p
a
n1
q
a
n
（
p,q
均为常数）（又称二阶递归）时，将原
递推公式
a
n2

p
a
n1
q
a
n
转化为
a
n2-

a
n1
＝

（
a
n1
-

a
n
）.其中

、

由




p
解出，由此可得到数列｛
a
n1-

a
n
｝是等比数列。



q
例题：设数列

a
n

的前
n
项和 为
S
n
，
n

．已知
a
1
 1
，
a
2

35
，
a
3

，且当
24
1

n2
时，
4S
n2
5S
n
8S
n1
S
n1
．证明：
< br>a
n1
a
n

为等比数列；
2
< br>证明：因为
4S
n2
5S
n
8S
n1
S
n1
(n2)

所以
4S
n2
4S
n1
S
n
S
n1
4S
n1
 4S
n
(n2)

即
4a
n2
a
n
4a
n1
(n2)

因为
4a
3
a
1
4a
2

所以
4a
n2
a
n
4a
n1
< br>1
a
n2
a
n1
4a2a
n1
4 a
n1
a
n
2a
n1
2a
n1
a
n
1
2
因为

n2


1
4a
n1
2a
n
4a
n1
2a
n
2(2a
n1
a
n
)2
a
n1
a
n
2

精心整理
111
{aa}aa1< br>所以数列
n1
2
n
是以
2
2
1
为 首项，以
2
为公比的等比数列。