情人节是几月几日-一丘之貉

§3．1 数列（1）——数列的通项表示
黄冈中学 潘际栋
一．教学目标：
1．通过教学使学生理解数列的概念，了解数列的表示法，能根据通项公式写出数列的项．
2．通过数列定义的归纳概括，初步培养学生的观察、抽象概括能力，渗透函数思想．
3．通过有关数列实际应用的介绍，激发学生学习研究数列的积极性．
二．教学重点：
1．理解数列概念；
2．用通项公式写出数列的任意一项．
三．教学难点：根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式．
四．教学方法：发现式教学法
五．教学过程：
（一）新课引入：
1．关 于国际象棋的传说：棋盘第1格放1粒麦粒，第2格放2粒，第3格放4粒，依次类推，
每格放的麦粒数 都是前一格放的麦粒数的2倍，直到第64格……
从第一格开始麦粒数依次为1，2，
2
，
2
，……，
2
< br>2．正整数1，2，3，4，……的倒数排列成一列数：1，
2363
111
， ，，……
234
我班学生的学号由小到大排成一列数：1，2，3，4，……，71 3．
2
的精确到1，0．1，0．01，0．001，……排列成一列数：1，1．4，1 ．41，1．414，……
4．-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂……，排成一列数：-1，1，-1，1，-1，1，……
5． 无穷多个1排列一列数：1，1，1，1，1，1
（二）新课讲解：
1．数 列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的每个数都叫这个数列的项．记作
a
n，
在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，
序号为< br>n
的项叫第
n
项（也叫通项）记作
a
n
．

数列的一般形式：
a
1
，
a
2
，
a
3
，……，
a
n
，……，简记作

a
n

．

2．通项公式的定义：如果数列
a
n

的第
n
项
a
n
与< br>n
之间的关系可以用一个公式表示，那么这
个公式就叫这个数列的通项公式．例如，数列 ①的通项公式是
a
n
=
n
（
n
≤7，
n N

），数
列②的通项公式是
a
n
=
1
（
nN

）
n
说明：（1）
a
n

表示数列，
a
n
表示数列中的第
n项，
a
n
=
f(n)
表示数列的通项公式；
（2） 数列的项与它的项数是不同概念，数列的项是指这个数列中某一确定的数，是一个函
数值，也就是相当于
f(n)
，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量，
相当于
a< br>n
中的
n
．
（3）次序对于一个数列是十分重要的，有几个相同的数 ，由于它们的排列次序不同，构成的数列就
不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质区别的． 如2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而
{2,3,4,5, 6}
不论
按怎么样的次序排列都是一个集合．
（4） 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一．例如，
a
n
=
(1)
=

n

1,n2k1
(kZ)
；
< br>1,n2k

（5）与所有的函数有解析式不一样，并不是所有的数列都有通项公 式，
例如，数列1，1．4，1．41，1．414，……没有通项公式。
3．数列的函数特征与图象表示：
序号：1 2 3 4 5 6
项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这 一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射．从
函数观点看，数列实质上是定义域为正整 数集
N

（或它的有限子集）的函数
f(n)
当自变
量n
从1开始依次取值时对应的一系列函数值
f(1),f(2),f(3),
…… ，
f(n)
，……
．
通常
用
a
n
来代替< br>f

n

，
其图象是一群孤立点．
例如：数列①的 图象表示点（1，4），（3，6），（4，7），（5，8），（6，9），（7，10）
．
（图略）
4．数列分类：
（1）按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；
（2）按数列项与项之间的大小关系分：
①递增数列：一个数列，如果从第二项开始每 一项都不小于它前面的一项（即
a
n1
≥a
n
），
这样的 数列叫做递增数列．如本节开始的（1）（3）；
②递减数列：一个数列，如果从第二项起，每一项都 不大于它前面的一项，即（即
a
n1
≤a
n
）
这样的数列 叫做递减数列．如本章开始的（2）；
③摆动数列：一个数列，如果从第二项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项，
这样的数列叫摆动数列，如本节开始的（4）；
④常数列：一个数列，如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列，如本节开始的（5）．
5．例题分析：
例1．根据下面数列

a
n

的 通项公式，写出它的前5项：
n
； （2）
a
n
=
(1)
n
n
．

n1
12345
解：（1），，，，； （2）
1
，
2
，
3
，
4
，
5
．
23456
（1）
a
n
=
例2．根据数列前4项，写出它的通项公式：
（1）1，3，5，7，…；
22
1
3
2
1
4
2
1
5
2
1
（2），，，，…；
35
24
1111
（3）
，，

，，…；
12233445
（4）9，99，999，99999，…．
(n1)
2
1
(1)
n
n
解：（1）
a
n=2
n1
； （2）
a
n
= ； （3）
a
n
= ；（4）
101

n1
n(n 1)
说明：用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律．观察、分析问题的特点是重要的，观察要有规律，要能观察出特点，观察出项与项之间的关系，规律．利
用我们 熟知的一些基本数列（如自然数列，奇偶数列，自然数的平方数列，简单的指数数列等），
建立合理的联 想，转化而达到问题的解决．
还必须熟练地掌握一些基本数列的通项公式，比如下面这些数列均 属于基本数列，它们的
通项公式要记住：
（1） 数列-1，1，-1，1，……的通项公式是
a
n
(1)

n

（2） 数列1，2，3，4，……的通项公式是
a
n
n

（3） 数列1，3，5，7，……的通项公式是
a
n
2n1

（4） 数列2，4，6，8，……的通项公式是
a
n
2n

（5） 数列1，2，4，8，……的通项公式是
a
n
2
n1

（6） 数列1，4，9，16，……的通项公式是
a
n
n
2

1111
，，，……
的通项公式是
a
n

234n
1
例3．已知数列

a
n

的通项公 式是
a
n
=
n(n2)
，写出这个数列的前5项，并判断220是 不
2
（7） 数列
1，
是这个数列的项，如果是，是第几项？
解：此数列的前5项：
a
1

由220 =
3153 5
，
a
2
4
，
a
3

，
a
4
12
，
a
5

，
222
1
n(n2)
得
n
2
2n4400
，
2
即
(n22)(n20)0
，又因为
nN

，所以
n20
，
故
220
是该数列的第
20
项．
六．课堂练习：1．
P
110
练习1、2．
2．已知数列：
2
，
5
，
22
，
11
，… …，则
25
是这个数列的第几项？
七．课堂小结：1．数列的概念，数列的通项公式的概念；
2．求数列的项；
3．求数列的通项公式．
八．课后作业：
P
110
习题3．1 第1、2题
九．板书设计：
课题
1．数列定义： 例题讲解
2．通项公式的定义： 例1
3．数列的函数特征
例2
与图象表示
4．数列分类：
1
递增数列 ○
2
递减数列 ○
3
摆动数列 ○
4
常数列 ○
例3