工厂管理制度-轻工业环境保护研究所

数列的通项公式
一、知识梳理
1.数列的通项公式：如果数列
{a
n
}
的第
n
项与序号
n
之间的关系可以用一个公式 表示，那么这个公
式就叫这个数列的通项公式；记作:
a
n
f(n)
.
(n1)

S
1
a
2.数列的通项
a< br>n
与前
n
项和
S
n
的关系：
n
< br>
SS(n≥2)
n1

n
3.等差数列的通项公式：< br>a
n
a
1
(n1)d
，首项:
a
1< br>，公差:
d
，第
n
项:
a
n
；
4 .等比数列的通项公式：
a
n
a
1
q
n1
，首 项:
a
1
，公比:
q
，第
n
项:
a
n
；
二、题型精析
1.观察法求通项公式
6810
（1）
,,,,......
（2）
1,,,,......
（3）
,,,,......

24857911
246810
（4）
,,,,......
（5）
9,99,......999...9......
， （6）
0.9,0.99,......0.999...9......


315356399
nn
2.公式法求通项公式
（1）数列

a
n

中，
a
1
1, a
n1
a
n
2
，求
数列
{a
n
}
的通项公式.
；

11
（2）数列

a
n

中，
a
1
 ,a
n
a
n1

n2

,
求
数列
{a
n
}
的通项公式.
；
22
3.累加法与累乘法求通项公式
（1）累加法：形如
a
na
n1
f(n)
,（其中
f(n)
为可求和的数列）
例1.已知
数列

a
n

，其中
a1
1
，
a
n
a
n1
n(n2)，求
a
n
.



巩固练习：已知
数 列

a
n

，其中
a
1
1
，< br>a
n
a
n1
2n1(n2)
，求
a
n
.



（2）累乘法：形如
a
n
（其中
f(n)
为可求积的数列）
f(n)
，
a
n1
例2.已知数列
{a
n}
，其中
a
1
1
，
a
n
2
n
a
n1
(n2)
，求
a
n
.


巩固练习：已知
数列

a
n

，其中< br>a
1
1
，
a
n


1 6 < br>n1
a
n1
(n2)
，求
a
n
.< br>
n

4.构造数列法求通项公式
构造数列法：形如
a
n1
pa
n
q
（
p,q
为常数， 且
p0
，
p1
,
q0
）
（1）数列
a
n

中，已知
a
1
1
,
a
n1
2a
n
1(nN
*
)
，求数列< br>
a
n

的通项公式.
（2）数列

a< br>n

中，已知
a
1
1
,
a
n1
2a
n
3(nN
*
)
，求数列

a
n

的通项公式.



巩固练习：数列

a
n

中，
a
1
1,a
n1



5.已知
a
n
与
S
n
的关系求通项公式
已知数列

a
n

的其前
n
项和为
Sn
，求通项
a
n
.

（1）若
S
n
n
2
，求
a
n
； （2）若
S
n
2
n
，求
a
n
；




巩固练习：已知数列

a
n
的其前
n
项和为
S
n
，求通项
a
n
.

（1）若
S
n
3n
2
2n，求
a
n
； （2）若
s
n
3< br>n
2
，求
a
n
；





6.数列通项公式的综合应用
已知数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
n
2
24n( nN

)
，
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式； （2）当
n
为何值时，
S
n
达到最大？最大值是多少？


2 6
a
n
,
求数列

a
n

的通项公式.
3a
n
1

三、拓展演练

1.选择题
（1）数列3，12，30，60，…的一个通项公式是( )
9n(n1)n(n 1)(n2)
1ln
2
17n12
2
3
B.
a
n
5n6n4
C.
a
n

A.
a
n

D.
a
n


22
2
（2）下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )
A．an
2
－n＋1 B．a
nn－1nn＋

1
D．a
nn＋2
n
＝
n
＝
2
C．a
n
＝
2
n
＝
2

（3）若数列
a
n

的前
n
项和为
S
n
n
2
，则数列的通项公式是（ ）
A．
a
n
2n1
B．
a
n
2n1
C．
a
n
2n1
D．
a
n
2n1

（4）在等比数列

a
n

中，若
a
n
0
，
a
1
a
9
64
，
a
4
a
6
20
，则
a
n

（ ）
A．
2
n2
B．
2
8n
C．
2
n2
或
2
8n
D．
2
2n
或
2
n2

（5）数列

a
n

的通项公式为
a
n
3n
228n
，则数列

a
n

各项中最小项是 ( )
A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项
（6）已知数列

a
n

中，
a1
3
且
a
n
2a
n1
1
， 则此数列的通项公式为
A.
32
n1
B.
2
n
C.
2
n
5
D.
2
n
1

（7）数列

a
2 a
n
n

中，
a
1
1
，
an1

a
,(nN

)
，则
a
5

（ ）
n
2
A.
2121
5
B.
3
C.
3
D.
2

（8）数列

a
n

的通项公式是< br>a
n

1
nn1
(nN

)
，若
a
n
a
n1
113
，则
n
的 值为（
A.12 B.9 C.8 D.6
（9）已知等比数列
{a
2
n
}
的前
n< br>项和
S
n
2
n
1
，则
a
21
a
2
a
2
n
等于（ ）
A.
(2
n
1)
2
B.
1
3
(2
n
1)
C.
4
n
1
D.
1
3
(4
n
1)

3 6
）

（10）在数列

a
n

中，
a< br>1
1
，
a
n
0
，
a
n1a
n
4
，则
a
n

（ ）
22
A．
4n3

2.填空题
B．
2n1
C．
4n3
D．
2n1

1111
（1）数列
1,2,3,4,
的一个通项公式是
a
n=___________.
24816
（2）已知数列

a
n

中，
a
1
2,3a
n1
3a
n
2
，则
a
4
=_________.
（3）数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n 1
a
n
2n
(n
N

)，则
a< br>100
的值是_________.
（4）已知数列

a
n

中，
a
11,a
n1

2
a
n
1
(nN

)
，则通项
a
n
= __________.
31
（5）数列

a
n

的前
n
项和< br>S
n
1a
n
，则
a
n

.
4
1
（6）数列

a
n

中，
a
3
2
，
a
7
1
，又数列{}为等差数列， 则
a
n
=__________.
a
n
1
3.解答题
（1）数列

a
n

中，
a
1
3
，
a
10
21
，通项
a
n
是项数
n
的一次函数，
S
n< br>是前
n
项和，试求

a
n

的通
项 公式，
a
100
及
S
100
.








（2）设数列

a
n

为等差数列，数列

b
n

为等比数 列，
a
1
b
1
1
，
a
2
a
4
b
3
，
b
2
b
4
a
3
，求

a
n

，

b
n
的通项公式．



4 6

（3）数列

a
n
< br>的通项公式为
a
n
n
2
5n4
，求：
① 数列中有多少项负数？ ②
n
为何值时，
a
n
有最小值？并求出最小值.








（4）已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
2a
n
32
n
，
a
1









1
（5）设数列{a
n
}的前项的和
S
n
(a
n
1)(nN
*
)
.
3
① 求a
1
；a
2
；


② 求证：数列{a
n
}为等比数列．










5 6
2
， 求数列
{a
n
}
的通项公式及前
n
项和.

（6）已知数列{a
n
}，其前
n
项和为
S
n
① 若
S
n
2(a
n
1)
，求数列{a
n
}的通项公式．
② 若首项是1，
a
n
＝
a
n1
＋3n－2 (
nN

且n≥2 )，求数列{a
n
}的通项公式．
③ 若首项是1，
a
n
a
n1

1
(
nN

且n≥2 )，求数列{a
n
}的通项公式．
n(n1)
22
④ 若首项是1，各项均为正值，且
(n1)a
n

1
na
n
a
n1
a
n
0(nN

)
， 求数列{a
n
}的通项公式．


6 6