a
1
5
1
1
为首项，以2为公比的等比数列，则
a
n
5
n
2
n1
，故
a
n
2
n1
5
n
。
nn1n
评注：本题解题 的关键是把递推关系式
a
n1
2a
n
35
转化为< br>a
n1
52(a
n
5)
，
nn
从而 可知数列
{a
n
5}
是等比数列，进而求出数列
{a
n< br>5}
的通项公式，最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
变式：
n
①已知数列
{a
n
}
满足
a< br>n1
3a
n
524，a
1
1
，求数列< br>{a
n
}
的通项公式。
2
②已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
2a
n
3n4n5，a
1
1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。


（5）对数变换法
n5
例5已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
23a
n
，
a
17
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
n5n5
解：因为
a
n1
23a
n
，a
1
7< br>，所以
a
n
0，a
n1
0
。在
an1
23a
n
式两边取
常用对数得
lga
n 1
5lga
n
nlg3lg2

设
lga
n1
x(n1)y5(lga
n
xny)

⑩
11
○
将⑩式代入
○
11式，得
5lga
nnlg3lg2x(n1)y5(lga
n
xny)
，两边消去
5lga
n
并整理，得
(lg3x)nxylg25xn5y< br>，则
lg3

x


lg3x5x

4
，故




xylg25y

y
lg3

lg2

164

代入< br>○
11式，得
lga
n1

由
lga
1< br>
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
(n1)5(lga
nn)

○
12
41644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
12式，
1 lg710
及
○
41644164

得
lga
n

lg3lg3lg2
n0
，
4164< br>lga
n1

则
lg3lg3lg2
(n1)
4164
5
，
lg3lg3lg2
lga
n
n
4164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
为首项，以5为公比的等
 
n}
是以
lg7
4164
4164
lg3lg3l g2lg3lg3lg2
n1
比数列，则
lga
n
n(l g7)5
，因此
41644164
所以数列
{lga
n

lga
n
(lg7
lg3lg3lg2
n1
lg 3lg3lg2
)5n
4164464
1
4
1
6
1
4
n1
n
4
(lg7lg3lg3lg2)5
[lg(7332)]5
1
4
1
16
1
4
1
4
1
16
1
4
n1
lg3lg3 lg2
1
16
1
4
n
4
1
16
1
4
lg(332)
n
4
1
16
1
4

lg(7332)5
n1
lg(332)
l g(7
5n1
3
lg(7
5n1
3
n1
5
n1
n
4
3
5
n1
1
16
2
)
5
n1
1
4
)
5n4n1
16
2
5
n1
1
4
则
a
n
7
5
3
5n4n1
16
2
5
n 1
1
4
。
n5
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关 系式
a
n1
23a
n
转化为
lg3lg3lg2l g3lg3lg2
(n1)5(lga
n
n)
，从而可知数列
41644164
lg3lg3lg2lg3lg3lg2
{lga
n
n}
是等比数列，进而求出数列
{lga
n
n}
的通 项
41644164
lga
n1

公式，最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
（6）数学归纳法
例6已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
a
n

8(n1)8
，a
，求数列
{a
n
}
的通项公式。 < br>1
(2n1)
2
(2n3)
2
9
解：由
a
n1
a
n

8(n1)
8
a
及 ，得
1
22
(2n1)(2n3)
9

8(1 1)88224

(211)
2
(213)
2
992525
8(21)248348
a
3
a
2


(221)
2
(223)
2
2525 4949
8(31)488480
a
4
a
3

(231)
2
(233)
2
49498181
a
2
a
1

(2n1)
2
1
由此可猜 测
a
n

，往下用数学归纳法证明这个结论。
2
(2n 1)
(211)
2
18
（1）当
n1
时，
a
1

，所以等式成立。
2
(211)9
(2k 1)
2
1
（2）假设当
nk
时等式成立，即
a
k

，则当
nk1
时，
2
(2k1)
8(k1)

(2k1)
2
( 2k3)
2
a
k1
a
k

(2k1)2
18(k1)

(2k1)
2
(2k1)
2
(2k3)
2
[(2k1)
2
1](2k3)
2
8(k1)

(2k1)
2
(2k3)
2
(2k1)
2
(2k3)
2
(2k3)
2
8(k 1)

(2k1)
2
(2k3)
2

(2k 1)(2k3)(2k1)
(2k1)
2
(2k3)
2
222

(2k3)
2
1

(2k3)
2< br>[2(k1)1]
2
1

[2(k1)1]
2由此可知，当
nk1
时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何
nN
都成立。
评注：本题解题的关 键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项
公式，最后再用数学归纳法加以证 明。
（7）换元法
*

例7已知数列
{a
n
}
满足
a
n1

1
(14a
n
1 24a
n
)，a
1
1
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
16
1
2
(b
n
1)

24
解：令
b
n
124a
n
，则
a< br>n

故
a
n1

1
2
1
(b
n1
1)
，代入
a
n1
(14a
n
124a
n
)
得
24
16
1
211
2
(b
n1
1)[14(b
n
1)b
n
]

241624
22
即
4b
n1< br>(b
n
3)

因为
b
n
124a< br>n
0
，故
b
n1
124a
n1
 0

则
2b
n1
b
n
3
，即
b
n1

可化为
b
n1
3
13
b
n

，
22
1
(b
n
3)
，
2
1
为 公比的等比数
2
所以
{b
n
3}
是以
b
1
3124a
1
3124132
为首项，以
列， 因此
b
n
32()
1
2
n1
111
()
n2
，则
b
n
()
n2
3
，即
124a
n
()
n2
3
，得
22< br>2
2111
a
n
()
n
()
n

。
3423
评注：本题解题的关键是通过将
124a
n
的换元为
b
n
，使得所给递推关系式转化
13
从而可知数列
{b
n
3}
为等比数列，进而求出数列
{b
n
3}< br>的通项公式，
b
n1
b
n

形式，
22
最后再求出数列
{a
n
}
的通项公式。
（8）不动点法
例8已知数列
{a
n
}
满足
a
n1
< br>21a
n
24
，a
1
4
，求数列
{a< br>n
}
的通项公式。
4a
n
1
解：令
x
21x2421x24
2
，得
4x20x240
，则x
1
2，x
2
3
是函数
f(x)
的4x14x1
两个不动点。因为

21a
n
24< br>2
a
n1
24a
n
121a
n
2 42(4a
n
1)13a
n
26
13
a
n< br>2
。所以数列

21a24
a
n1
3
n
3
21a
n
243(4a
n
1)9a< br>n
279a
n
3
4a
n
1

a
n
2

a2
a
1
2
4213< br>13
2
为首项，以为公比的等比数列，故
n
2()
n 1
，

是以
9
a
1
343a
n39

a
n
3

则
a
n

1
13
2()
n1
1
9
3
。 < br>评注：本题解题的关键是先求出函数
f(x)
个根
x
1
2 ，x
2
3
，进而可推出
21x2421x24
的不动点，即方 程
x
的两
4x14x1

a2

a
n1
2
13
a
n
2

，从而可知数列< br>
n

为等比数
a
n1
39a
n
3

a
n
3

列，再求出数列


a
n
2


的通项公式，最后求出数列
{an
}
的通项公式。
a3

n

7a
n
2
，a
1
2
，求数列
{a
n
}< br>的通项公式。
2a
n
3
例9已知数列
{a
n}
满足
a
n1

解：令
x
7x2
3x1
2
，得
2x4x20
，则
x1
是函数< br>f(x)
的不动点。
2x3
4x7
7a
n
 25a5
1
n
，所以
2a
n
32a
n< br>3
因为
a
n1
1
2111
a
n()
n
()
n

。
3423
评注：本题 解题的关键是通过将
124a
n
的换元为
b
n
，使得所给 递推关系式转化
13
从而可知数列
{b
n
3}
为等比数列 ，进而求出数列
{b
n
3}
的通项公式，
b
n1
b
n

形式，
22
最后再求出数列
{a
n}
的通项公式。
课后习题：
22，11L，
1．数列
2，5，
的一个通项公式是（ ）
A、
a
n
3n3
B、
a
n
3n1
C、
a
n
3n1
D、
a
n
3n3

2．已知等差数列

a
n

的通项公式为
a
n
32n
, 则它的公差为（ ）
A 、2 B 、3 C、
2
D、
3

3．在等比数列
{a
n
}
中,

a
116,a
4
8,
则
a
7

（ ）

A、
4

B、
4

C、
2

D、
2

4．若 等比数列

a
n

的前项和为
S
n
，且< br>S
10
10
，
S
20
30
，则
S
30


2
5．已知数列

a< br>n

通项公式
a
n
n10n3
，则该数列的最 小的一个数是
6．在数列{
a
n
}中，
a
1

于 ．

1

na
n
1
nN


，则数列

的前99项和等且
a
n1

n1a
n
2

a
n

7．已知
{ a
n
}
是等差数列，其中
a
1
31
，公差
d8
。
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）数列
{a
n
}
从哪一项开始小于0
（3）求数列< br>{a
n
}
前
n
项和的最大值，并求出对应
n
的值．




8．已
知数列

an

的前项和为
S
n
n
2
3n1
，
（1）求
a
1
、
a
2
、
a
3
的值；
（2）求通项公式
a
n
。





9．等差数列

a
n

中 ，前三项分别为
x,2x,5x4
，前
n
项和为
S
n，且
S
k
2550
。
（1）、求
x
和
k
的值；
（2）、求
T
n
=

1111

;
S
1
S
2
S
3
S
n