中秋图片大全-幸福的时刻

几种常见的数列的通项公式的求法
一． 观察法
例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：
（1）9，99，999，9999，… （2）
1
14916
,2,3,4,
（3）
1,
2510 17
2
,
3
1
,
2
212
,
（ 4）
,,
523
34
,,

45
解：（1） 变形为：10
1
－1，10
2
―1，10
3
―1，104
―1，…… ∴通项公式为：
a
n
10
n
1

2n
n
2
;
（4）
a
n
(1)
n1

;
（3）
a
n

（2）
a
n
n
2
.点评：关键是找出各项与项数n的关系。
n1n1
n1
二、公式法
例2： 已知数列{a
n
}是公差为d的等差数列，数列{b
n
}是公比为q的(q∈R且q≠1)的等比数列，若函数 f (x) = (x－1)
2
，且a
1
= f (d－
1)，a
3
= f (d+1)，b
1
= f (q+1)，b
3
= f (q－1)，(1)求数列{ a
n
}和{ b
n
}的通项公式；
解：(1)∵a
1
=f (d－1) = (d－2)
2
，a
3
= f (d+1)= d
2
，∴a
3
－a
1
=d
2
－(d－2)
2
=2d，
∴d=2，∴a
n
=a
1
+(n－1)d = 2(n－1)；又b
1
= f (q+1)= q
2
，b
3
=f (q－1)=(q－2)
2
，
b
3
(q2)2
2
－－
∴=q，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴b
n
= b·q
n1
=4·(－2)
n1


2
b
1
q
例3. 等差数列

an

是递减数列，且
a
2
a
3
a
4
=48，
a
2
a
3
a
4
=12，则 数列的通项公式是（ ）
(A)
a
n
2n12
(B)
a
n
2n4
(C)
a
n
2n12
(D)
a
n
2n10


(a
3
d) a
3
(a
3
d)48
解析：设等差数列的公差位d，由已知< br>
，
3a12

3
解得


a
3
4
，又

a
n

是递减数列， ∴
d2
，
a
1
8
，∴
a
n
8(n1)(2)
2n10
，故选(D)。

d2


a
n

的首项
a
1
1
，公比
0q1
，设数列

b
n

的通项为
b
n
a
n1
a
n2< br>，求数列

b
n

的通项公式。例4. 已知等比数列解析：由题意，
b
n1
a
n2
a
n3
，又

a
n

是等比数列，公比为
q

∴
b
n1
a
n2
a
n3
q
， 故数列

b
n

是等比数列，
b
1
a< br>2
a
3
a
1
qa
1
q
2q(q1)
，∴
b
n
q(q1)q
n1
q
n
(q1)

b
n
a
n1
a< br>n2
点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得 首项及公差公比。
三、 叠加法
例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。
解 易知
a
n
a
n1
2n1,
∵
a
2
a
1
3,

a
3
a
2
5,
2
a
4
a
3
7,

……
a
n
a
n1
2n1,

各式 相加得
a
n
a
1
357

(2n1 )
点评：一般地，对于型如
a
n1
例6. 若在数列
解析：由< br>a
n1
∴
a
n
n
5(
nN
)

a
n
f(n)
类的通项公式，只要
f(1)f( 2)f(n)
能进行求和，则宜采用此方法求解。

a
n
< br>中，
a
1
3
，
a
n1
a
n< br>n
，求通项
a
n
。
a
n
n
得
a
n1
a
n
n
，所以
a
n
a
n1
n1
，
a
n1
a
n2n2
，…，
a
2
a
1
1
，
将以上各式相加得：
a
n

a
1
(n 1)(n2)1
，又
a
1
3
所以
a
n
=

n(n1)
3
2

1

四、叠乘法
例7：在数列｛
a
n
｝中，
a
1

=1, (n+1)·
a
n1
=n·
a
n
，求
a
n
的表达式。
解：由(n+1)·
a
n1
=n·
an
得
例8. 已知数列
a
n1
n
a
，
n

a
n
n1
a
1
=
a
2< br>a
3
a
4
··
a
1
a
2
a
3
…
1
a
n
123n11

所以
a
n

=

nnn
a
n1< br>234

a
n

中，
a
1

1
，前
n
项和
S
n
与
a
n
的关 系是
S
n
n(2n1)a
n
，试求通项公式
a
n
。
3
解析：首先由
S
nn(2n1)a
n
易求的递推公式：
(2n1)a
n
( 2n3)a
n1
,
a
n
2n3


a
n1
2n1

a
n1
2n5
a
1


2

将上面n—1个等式相乘得：
a
n
(2n3)(2n5)(2n7)

313

a
1
(2n1)(2n1)(2n3)

75(2n1)(2n1)
a
n2
2n1a
1
5
a
1
n

(2n1(2n1)
.
点评：一般地，对于型如
a
n 1
=
f
(n)·
a
n
类的通项公式，当
f(1) f(2)f(n)
的值可以求得时，宜采用此方法。
五、S
n
法利用
a
n
S
n
S
n1
(
n
≥2)
例9：已知下列两数列
{a
n
}
的前 n项和s
n
的公式，求
{a
n
}
的通项公式。（1）
S
n
n
3
n1
。 （2）
s
2
n
n1

解： （1）
a
3
1
S
1
111
a
n
=
S
n
S
n1
=
(nn1)

(n1)
3
(n1)1

=3
n
2
3n2
此时，
a
1
2S
1
。∴
a
n
=3
n
2
3n2
为所求数列的通项公式。
（2）
a
1
s
1
0
，当
n2
时
a
ns
n
s
n1
(n
2
1)[(n1)2
1]2n1
由于
a
1
不适合于此等式 。
a

0(n1)
n


1(n2)
点评：要 先分n=1和
n2
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一。

2n
六、待定系数法：
例10：设数列
{c
n}
的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c
1
=2，c
2
=4，c
3
=7，c
4
=12，求通项公式c
n



ab2

q2
adbq4
解：设
c)dbq
n1




a2d bq7


d1
cn
n1
n
a (n1


2


b1
n
2


a3dbq
3
12


a1
例11. 已知数列

c
b
n

中，
c
1

1b
，
c
b
n
bc
n1

1b
，
其中b是与n无关的常数，且
b1
。求出用n和 b表示的a
n
的关系式。
解析：递推公式一定可表示为
cb(c
的形式。由待定系数法知：

b


b
n

n1


)
1b


b1,


b
1b
2
,c
n< br>
b
1b
2
b(c
b
n1

1b
2
)

bb
2
b
n1
故数列



c
b

bb
2
c
n1
n

1
2

2
b
2
n< br>
1b
2


是首项为
c
1
< br>1b
2

b
2
1
，公比为
b
的 等比数列，故
bb1b1
n1

c
bb
n

b
2
1

2
∴

点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和 公式为某一多项式，一般地，若数列
{a
n
}
为等差数列：则
an
n1n
，若数列
{a
n
}
为等比数列，则
a
n
Aq
，
s
n
AqA(Aq0,q1)
。
s
n
bn
2
cn
（b、ｃ为常数）
b nc
，
七、辅助数列法
例12：已知数
{a
n
}
的递推关系为
a
n1
解：∵
a
n1
∴
bn
2a
n
1
，且
a
1
1
求通项
a
n
。
2a
n
1
∴
a< br>n1
12(a
n
1)
令
b
n
a< br>n
1
则辅助数列
{b
n
}
是公比为2的等比数列
b
1
q
n1
即
a
n
1(a
1
1)q
n1
2
n
∴
a
n
2
n
1

例13：在数列
解析 ：在
a
n2

a
n

中，
a
1
1
，
a
2
2
，
a
n2
< br>2
a
n1

1
a
n
，求
a
n
。
33

211
a
n1
a
n< br>两边减去
a
n1
，得
a
n2
a
n1
(a
n1
a
n
)

333
11
n1
∴

a
n1
a< br>n

是以
a
2
a
1
1
为首项， 以

为公比的等比数列，∴
a
n1
a
n
( )
，由累加法得
33
1
1()
n1
1
11
3
=
3
[1(
1
)
n1
]1=
7

3
(
1
)
n1

a
n
=
(a
n
a
n1
)(a
n 1
a
n2
)(a
2
a
1
)a< br>1
=
()
n2

()
n3
…
()11
=
1
3
3343443
1
3
例14： 已知数列｛
a
n
｝中
a
1
1
且
a
n1

a
n
（
nN
），求数列 的通项公式。
a
n
1
，
解：∵
a
n1

a
n
a1
11
1
∴

n
1
， 设
b
n

a
n
a
n
1a
n1
a
n
a
n
< br>，则
b
n1
b
n
1

故｛
b
n
｝是以
b
1
11
1
1
为首项，1为公 差的等差数列 ∴
b
n
1(n1)n
∴
a
n


b
n
n
a
1


点评：这种方法类似于换元法, 主要用于已知递推关系式求通项公式。
第12讲 数列的求和方法

（一）知识归纳：







1．拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数 数列等等），然后分别求和.
2．并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组） 得到一个新的且更容易求和的数列.
3．裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.
4．错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各 项相减，这是仿照推导等比
5．反序求和法：将一个数列的倒数第k项（k=1，2，3，…，n）变为 顺数第k项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、
（二）学习要：
1．“数列求和 ”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些 常用
数列前n项和公式的方法.
相减等），这是仿照推导等差数列前n项和公式的方法.
的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中，“拆项”、“并项”、“裂项”方法使用率比较高，“拆项”的典型例子是数列

3

“
S
n
“裂项”的典型例子是数列“
S
n

1223

n(n1)
”的求和；111



1223n(n1)
”的求和；“并项”
的典型例子是数列“
S
n

123456(1)
n1
n
”的求和.
2．“错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求解决下述数 列的求和问题：若
{a
n
}
是等差数列，{
b
n
} 是等比数列，则数列{
a
n
b
n
}的求和运用错位求和方法.
[例1]解答下述问题：
I）已知数列
{a
(2n)
2
（
n
}
的通项公式
a
n

(2n1)(2n1 )
，求它的前n项和.
（II）已知数列
{a
1
n
}< br>的通项公式
a
n

2n
[n(n1)]
2
,
求它的前n项和.
（III）求和：
S
n
1n2(n 1)3(n2)

n1;

（Ⅳ）已知数列
a
n
(n1)(
9
10
)
n
,求{a
n
}的前n项和S
n
.

（II）设函数
f(x)
2x 3
3x
,作数列{b}:bf(
1
n1
1,b
n
b
)(n2),

n1
求和：
W
n
b1
b
2
b
2
b
3
b
3
b
4
(1)
n1
b
n
b
n1
.

[例3]已知数列
{a
项和
S(
a
n< br>1
n
}
的各项为正数，其前n
n
满足S
n
2
)
2
，
（I）求
a
n
与a
n1(n2)
之间的关系式，并求
{a
n
}
的通项公式；（II） 求证
1
S

11
S


2.

12
S
n





4