畅想未来的作文-读后感格式怎么写

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，
求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
归纳细）




总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、
数学xx、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、
特征根法
二。四种基本数 列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其
xx形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法 是：累加和累乘，
这 二种方法是求数列通项公式的最基本方法。．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换
转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。



一、累加法
1．适用于： ----------这是xx的等差数列 累加法是最基本的二
个方法之一。
2．若，
则
两边分别相加得
例1 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得则

a(a a)(aa)(aa)(aa)a
1232nn11nnn12
[2 (n1)1][2(n2)1](221)(211)1

1n1)21](n2[(n1)(2)


n1)(n1n1)(2

21n1)(1)(n
2
n
所以数列的通项
公式为。
已知数列满足，求数列的通项公式。2 例

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解
解法一：由得则 所以 解法二：两边
除以，得， 则，故
aaaaaaaaaa
3n1n12n2nnnn121
))( )(()(


22n1nn


22n31nnn2n
33333333aa
11nn
21212 1213

()()()()


3333333332(n1)11111()1

2nn2n1n
333333

因此，
则
评注 ：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数
函数、分式函数，求通项.
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;
②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;
④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例3.已知数列中, 且,求数列的通项公式.
,
由已知得:解．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

化简有,由类型(1)有,
又得,所以,又,,
则
此题也可以用数学xx来求解.



二、累乘法
1.○。 ------------适用于： ----------这是xx的等比数列
累乘法是最基本的二个方法之二。
2．若，则
两边分别相乘得，
例4 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
例5.设是首项为1的正项数列，且（=1，2， 3，…），则它的通项
公式是=________.
解：已知等式可化为：
()(n+1), 即

时，

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

==.
评注：本题是关于 和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时
用求根公式）得到与的更为明显的关系式，从而求出.
练习.已知,求数列{an}的通项公式.
答案：-1.
评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式转化为
xx,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
三、待定系数法 适用于
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，
其定义域是自然 数集的一个函数。
1．形如,其中)型
（1）若c=1时，数列{}为等差数列;
（2）若d=0时，数列{}为等比数列;
（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造
辅助数列来求.



待定系数法：设,
与题设比较系数得,得．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

,所以所以有：
因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，

所以 即：.
规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公
式
逐项相减法 （阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,两式
相减有从而化为公比为c的等比数列,进而 求得通项公式. ,再利用类
型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.



例6已知数列中，，求数列的通项公式。
解法一：

a12(a1)

1nn
又是首项为2，公比为2的等比数列
，即
解法二：

a2a1

n1n
两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数
列，再用累加法的……
练习．已知数列中，求通项。
答案：

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

2．形如：(其中q是常数，且n0,1)
①若p=1时，即：，累加即可.
②若时，即：，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以.目的是把所求数列构造
成等差数列
即： ,令，则,然后类型1，累加求通项.

ii.两边同除以 . 目的是把所求数列构造成等差数列。
即： ,
令,则可化为.然后转化为类型5来解，
iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列
设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.
注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解法一（待定系数法）：设，比较系数得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以，即
两边同时除以得：，下面解法略 解法二（两边同除以）：

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

解法三（两边同除以）： 两边同时除以得：，下面解法略



3．形如(其中k,b是常数，且)
方法1：逐项相减法（阶差法）
方法2：待定系数法
通过凑配可转化为
解题基本步骤：
1、确定=kn+b
2、设等比数列，公比为p
3、列出关系式,即
4、比较系数求x,y

5、解得数列的通项公式
6、解得数列的通项公式
例8 在数列中，求通项.（逐项相减法）
解：，①
时，，
则,令 .两式相减得．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

利用类型5的方法知 即②
再由累加法可得. 亦可联立 ① ②解出.
例9. 在数列中，,求通项.（待定系数法）
解：原递推式可化为
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为
所以是一个等比数列，首项,公比为.即：
故.
4．形如(其中a,b,c是常数，且)
基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是
自然数集的一个函数。
例10 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得，
所以
由，得
则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解


5.形如时将作为求解
分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列为等比数列。
例11 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设
比较系数得或，不妨取，（取-3 结果形式可能不同，但本质相同）
3的等比数列则，则是首项为4，公比为 ，所以. ,求数列中，若,
且满足.练习 .
答案： )型其中p,r为常数四、迭代法 ( 12 已知数列满足，求
数列的通项公式。例 解：因为，所以
1)(n(2n2)n 1nn21
2(n1)3n233(n1)223nn
1)n2) ((n211n(3)n
]aa[aa
2nnn12n
2n (2)n332(n1)
a
1
1)n2)(3n2( n
2n3(n2)21)3(n
] [a
3n

1)(n(n2)n(33)
2n2)((nn1)3
a
3n




1)n(n1n

2
23!n
a

1
又，所以数列的通项
公式为。．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。



五、对数变换法 适用于(其中p,r为常数)型 p>0，
例14. 设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.
解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，
∴. 数列中，，（n≥2），求数列的通项公式练习
答案：

例15 已知数列满足，，求数列的通项公式。 解：因为，所以。 两
边取常用对数得 设（同类型四） 比较系数得， 由，得， 为公比
的等比数列，则，因此5所以数列是以为首项，以．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

则。




六、倒数变换法 适用于分式关系的递推公式，分子只有一项
例16 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，



七、换元法 适用于含根式的递推关系
例17 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，则
代入得

111
22
[14(b(b1)1)b]


n1nn
242416
即
因为，
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

八、数学xx 通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列
的通项公式，再用数学xx加以证明。
例18 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由及，得

8(11)88224aa

1222
2513)9 925(211)(2488(21)2483aa


2322
4949252(21)25(223)8044888(31)a a

3422
81491)(233)8149(23
由 此可猜测，下面用数学xx证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，

8(k1)aa

kk122
3)k1)(2(2k
22
8(k1)1](2k3) [(2k1) 

22
3)(2(2k1)k
222
1)k3)(2(2k1)k(2 


22
3)(2k(2k1)
2
13)(2k

2
3)k(2
2
11)1][2(k

2
1]k[2(1)
由此可知，当时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。
九、阶差法（逐项相减法）．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

1、递推公式中既有，又有
分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的方
法求解。
例19 已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，
求数列的通项公式。
解：∵对任意有⑴
∴当n=1时，，解得或
当n≥2时，⑵
⑴-⑵整理得：

∵各项均为正数，∴
当时，，此时成立
当时，，此时不成立，故舍去
所以
练习。已知数列中, 且,求数列的通项公式.
答案：
2、对无穷递推数列
已知数列满足，求的通项公式。20 例

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

解：因为 ①
所以 ②
用②式－①式得
则故
所以 ③
由，，则，又知，则，代入③得。
所以，的通项公式为



十、不动点法 目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为的不动点
或称为函数的不动点。
分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。
类型一：形如
例21 已知数列中，，求数列的通项公式。

解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-1
∴，……
类型二：形如
分析：递归函数为

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

（1）若有两个相异的不动点p,q时 ，将递归关系式两边分别减去不
动点p,q，再将两式相除得，其中，∴
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，
然后用1除，得，其中。
例22. 设数列满足,求数列的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.
解：对等式两端同时加参数t,得：
,
令, 解之得t=1,-2代入得
,,
相除得,即{}是首项为，
公比为的等比数列, =, 解得.
方法2：
，
两边取倒数得，
令b，则b,转化为累加法来求.
已知数列满足，求数列的通项公式。23 例

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

解：令，得，则是函数的两个不动点。因为
。所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
十一。特征方程法 形如是常数）的数列
形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程
为…①
若①有二异根，则可令是待定常数）
若①有二重根，则可令是待定常数）
再利用可求得，进而求得
例24 已知数列满足，求数列的通项
解：其特征方程为，解得，令，
由，得，



例25、数列满足，且求数列的通项。
解：……①
令，解得，将它们代回①得，
……②，……③，
,
③÷②，得．

求数列通项公式的十种方法,例题答案详解

则，∴数列成等比数列，首项为1，公比q=2
所以，则，



十二、基本数列

1．形如型 等差数列的xx形式，见累加法。
2.形如型 等比数列的xx形式，见累乘法。
3.形如型
（1）若（d为常数），则数列{}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通 过构造转化为型，通过
累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得，，分奇偶项来分求通项.