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求数列的通项公式和前N项和的几种类型总结
熟练掌握求数列通项公式常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用；
熟练掌握求数列前n项和常用的几种方法，并能够在理解的基础上灵活应用；
在一些复杂问题中，将求通项公式与求和综合运用，对分析问题能力，计算能力要求较高
重点应该提高对代数式的敏感，提高模式识别能力.
知识讲解
一、求数列的通项公式的方法
1：观察法：此方法适用于小题和大题中的先猜后证；
2：公式法
等差数列通项公式：
a
n
a
1
d (n1)
a
n
a
m
d(nm)

等比数列通项公式

3：递推关系
a
n
a
1< br>q
n1
a
n
a
m
q
nm


a
2
a
1
f(1)

aaf( 2)

32
累加法：
a
n
a
n1
f (n)






a
n
a
n1
f(n1)
累乘法：
a
n
f (n)
a
n1
a
n
a
2
a
3
 
aa
1
a
2

1

a
n
f(1)f(2)
a
n1
f(n1)
构造法：（1）
a
n
pa
n1
q(p0,p1,q 0,p,q为常数)
：
令
b
n

a
n


，则
b
n
为等比数列
a
n1


（2）
a
n
pa
n1
p
n
(p0,p1,p为常数)

令
b
n

a
n
,则
b
n
为等差数列
p
n
（3）a
n
pa
n1
q
n
(p0,p1,q0, p,q为常数)

令
b
n

a
n
,则转化为第一类
pn
（4）
a
n

sa
n1
(spq0,s ,p,q为常数)

pa
n1
q
令
b
n

1
,则转化为第一类
a
n
f(n)
（5）
a
n
a
n1

令
b
n
lga
n
,则用累乘法
4：退位相减法

S
1
(n1)
a
n



SS(n2)
n1

n
二、求数列的前n项和的方法
1、观察法： 此方法适用于小题和大题中的先猜后证；
2、公式法
等差数列前n 项和公式：
S
n

(a
1
a
n
)nddd
a
1
nn(n1)n
2
(a
1
)n

2222

na
1
(q1)

等比数列前n项和公式：
S
n


1q
n
< br>a
1

1q
(q1)


几个常用的等差数列求和公式，最好记住：
（1）
123n
n

n1

；（2）
1 35
2


2n1

n
2

（3）
2462nn

n1


3、倒序相加法：首尾对称类型
4、乘公比错位相减法
等差和等比组合数列 S
n
a
1
a
2
a
3
an
(1)
，
qS
n
a
2
a
3a
4
a
n1
(2)


a
1
(1q
n
)
(q2)

.
S
n
qS
n
a
n
a
n1
解出
S
n


1q

na(q1)

1

5、裂项相消法（分母可以写成两个数相减为常数）
11

1



n(n1)nn1



1

n1n


n1n< br>6、分组求和法（等差数列和等比数列相加）

例题精析

【例题1 】在数列{
a
n
}中，
a
1
3
，
an1
a
n


【例题2】已知数列

a< br>n

满足，
a
1
1,
前
n
项和< br>S
n


1
，求通项公式
a
n
.
n(n1)
n2
a
n
，求

a
n
的通项公式.
3

【例题3】数列

a
n

满足
a
n
3a
n1
2,a
1
2
，求
a
n
.
【例题4】已知等差数列
a
n

满足：
a
3
7
，
a
5
a
7
26
，

a
n

的前 n项和为
S
n
.
（Ⅰ）求
a
n
及
S
n
； （Ⅱ）令b
n
=
【例题5】求和：



【例题6 】已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
Sn
，且
S
n
2n
2
n,nN*
，数列< br>{b
n
}
满足
1
*
（nN），求数列
< br>b
n

的前n项和
T
n
.

2< br>a
n
1
11

12123

1< br>.
12n
a
n
4log
2
b
n< br>3,nN*
。
（1）求
a
n
,
b
n
；
（2）求数列< br>{
a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.



【例题7】已知等差数列
a
n

满足：
a
3
7
，
a
5
a
7
26
，

a
n

的前
n
项和为
S
n
．
（1）求
a
n
及
S
n
；

（2）令
b
n





1(
nN*
)，求数列

b
n

的前
n
项和
T
n
．
2
a
n
1

运用
1、等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，且
a
2
a
4
a
12
45
，则
S
11
( )
A．
165
B．
115
C．
75
D．
90

2、数列
1,2,2
2
,
A．
2
n1
,2
n1
的前n项和
S
n

（ ）
1
B．
2
n
1
C．
2
n1
2
D．
2
n
2

3、数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，若
a
n

A．
1
B．
1
，则
S
5

（ ）
n(n1)
51
1
C． D．

66
30
4、数列

a
n

满足
a
1
0
，
a
n1
a
n
n
，
nN
*
，则
a
2014

（ ）
A．
20132014
B．
20122013

C．
20131007
D．
20131006

5、设
S
n
是等差数列

a
n

的前n项和，已知
a
2
3
，< br>a
6
11
，则
S
7
等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D． 63

6、设数列

a
n

的 前
n
项和为
S
n
2
n1
2

（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）
b
n1
b
n


7、已知数列
{a
n
}
是一个等差数列，且
a
2
1
，
a
5
5
.
（1）求
{
a
n
}
的通项
a
n
；
（2）求
{
a
n
}
前n项和
S
n
的最大值.
*
8、在数列

a
n

中，
a
1
2,
a
n1
2a
n
1
，nN
，则
a
5
的值为 （ ）
log
2a
n2
，且
b
1
a
1
，求数列

b
n

的通项公式.
n1
A．5 B．11 C．23 D．47

2
9、等差数列

a
n

的前n项和为
S
n
，已知
a
m1
a
m1
a
m
0< br>，
S
2m1
38
，则
m
（ ）
A．38 B．20 C．10 D．9
10、已知数列

a
n

的首项
a
1
1
，
a
n1

（1）求数列

a
n

的通项公式；
（2）设
b
n
a
4 n3
a
4n1
，求数列

b
n

的 前
n
项和
T
n
.
2n1
11、设数列

a
n

满足
a
1
3a
2
3 a
3
...3a
n

a
n
，
nN*

a
n
1
n
,nN
*
.

3
（1）求数列

a
n

的通项;
（2）设
b
n


n
,
求数列

b
n

的前
n
项和
S
n
.
a
n
课后巩固：
1、数列

a
n
满足
a
1
a
2

A．
a
n
n
2
，
nN
*
，则
a
1
a
3

（ ）
9256113
B． C． D．
4164
16
2、数列

a< br>n

中，
a
1

31
,a
n
2(n2)
，则
a
2014

（ ）
5a
n1
A．

5
2
B．
C． D．
2
2
< br>3、已知数列

a
n

满足
a
1
 2
，
a
n1
a
n
10
(nN)
，则此数列的通项
a
n
等于（ ）
A．
n1
B．
n1
C．
1n

2
D．
3n

4、数列

a
n

的通项公式
a
n

A．98
1
nn1
，则该数列的前（ ）项之和等于9。（ ）
C．96 D．97 B．99
5、各项为正数的等 比数列

a
n

的公比
q1
，且
a2
,
1
aa
a
3
,a
1
成等差数列 ，则
34
的值是（ ）
2
a
4
a
5

A．
51
B．
2
5115
C． D．
22
5151
或
22
6、 数列

a
n

中,a
1
1,a
n1< br>2a
n
1则a
n

( )
A．
2
B．
21
C．
21
D．
2

7、数列

a
n

满足
a
1
3,a
n1
2a
n
32
n1
，则
a
n


A．
(3n1)2
n
B．
(6n3)2
n1
C．
3(2n1)2
n1
D．
(3n2)2
n1

8、数列

a
n< br>
中，若
a
1
2
，
a
n1
< br>A．

19
9、数列a
n
＝，其前n项之和为，则在平面直角 坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为
10
nn＋1
___ ___．
1
10、设函数f(x)＝x
m
＋ax的导数为f′(x)＝2x ＋1，则数列{} (n∈N
*
)的前n项和是________
fn

11、设数列

a
n

的前
n
项和为S
n
,
已知
a
1
1,S
n1
4a
n
2

（1）设
b
n
a
n1
2a
n
，证明 数列

b
n

是等比数列；
（2）求数列

a
n

的通项公式.

12、设等差数列

a
n

的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
4S
2
,
a
2n
2a
n
1

（1）求数列

a
n

的通项公式
（2）设数列

b
n

满足


nnnn1

a
n
，则
a
4


13a
n
21683
B． C． D．
5
19154
b
1
b
2

a
1
a
2

b
n
1
1
n
,nN
*
，求

b
n
的前
n
项和
T
n
.
a
n
2