冰心的诗集-三严三实学习心得体会

人教版五年级下册数学每单元知识整理
第一单元 观察物体
1、长方体（ 或正方体）放在桌子上，从不同角度观察，一次最多能看到3个面（或说
成：最多同时能看到3个面）。
2、给出一个（或两个）方向观察的图形无法确定立体图形的形状。 由三个方向观察
到的图形 就可以确定立体图形的形状并还原立体图形。（先由上面确定立体图形的形状，
再由左（右）和前（后） 确定立体图形有几层，每层有几行几列。）
3、从一个方向看到的图形摆立体图形，有多种摆法。 < br>4、从多个角度观察立体图形:先根据平面图分析出要拼搭的立体图形有几层；然后确
定要拼搭的 立体图形有几排；最后根据平面图形确定每层和每排的小正方体的个数。


例：1会画三视图（画一画）
从正面看 从左面看 从上面看

2、 会搭积木
例如：如右图是从上面看到的搭积木的形状，请你画一画。






从正面看 从侧面看 从上面看

第二单元：因数与倍数
【在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是自然数（一般不包括0）】
1、熟记概念：
（1）在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数（或者商）的
倍数，除 数（或者商）是被除数的因数。在整数乘法中，因数是积的因数，积是因数
的倍数。
例如：12÷2=6 → 12是2（或者6）的倍数，2（或者6）是12的因数。
2×6=12→ 12是2（或者6）的倍数，2（或者6）是12的因数。
一个数因数的个数是有限的，一个数倍数的个数是无限的。例如：12的最小因数
是（ 1 ），最大的因数是（ 12 ）。
一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。一个数的最小倍数 是它本身，没有
最大倍数。例如：18的最小倍数是（ 18 ）。
一个不为0的自然数，既是它本身的最小倍数，又是它本身的最大因数。
例：⑴一个数的最大因数等于它的最小倍数。（ × ）
⑵一个数（0除外）的最大因数等于它的最小倍数。（ √ ）
⑶一个数的最大的因数和最小倍数都是18，这个数是（ 18 ）。

2、整数中 ，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）。偶数就是我们以前说的双数。
不是2的倍数的数叫做奇数， 也就是以前我们说的单数。
3、2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数。
5的倍数的特征：个位数是0或5的数。
3的倍数的特征：一个数各个数位上的数的和是3的倍数。
2和5的倍数的特征：个位上是0的数。
3和 5的倍数的特征：个位是0或者5的并且各个数位上的数字之和能被3整除的
数。
2和3的倍 数的特征：个位是0、2、4、6、8并且各个数位上的数字之和能被3整除
的数。2、3、5的倍数的 特征：个位是0并且各个数位上的数字之和能被3整除的数。
4、一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。
例如：2的因数：1、2。3的因数：1、3。5的因数：1、5。7的因数：1、7。
所以，2、3、5、7都是质数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
例如：4的因数：1、2、4。6的因数：1、2、3、6。所以4和6都是合数。
5、 求 一个数的因数的方法:(1)列乘法算式找；(看哪两个数相乘的积是要求的数，这两
个数就是这个数的 因数。要从自然数1开始，一对一对去找不要遗漏。) （2）列除法
算式找。（这个数除以那些整数， 商是整数而没有余数，那么商和除数就是这个数的因
数。） 例：18的因数有哪几个？
6、求一个数的倍数的方法：(1)列乘法算式找；(用这个数乘以不是0的自然数得到的
积就是这个数 的倍数，要从自然数1开始。) （2）列除法算式找。(哪个数除以这个数，
商是整数而没有余数，那么那个数就是这个数的倍数。)
例： 4的倍数有哪些？50以内8的倍数有哪些？

7、倍数和倍的区别：倍可以运用于整数、小数、分数，而倍数只能运用于整数。
例:15是3的5倍，可以说15是3的倍数。1.5是0.3的5倍，
不能说1.5是0.3的倍数。

8、如果两个数都是一个数的倍数，那么这两个数的和（差）也是这个数的倍数。
例如：14是7的倍数，21是7的倍数。14和21的和也是7的倍数。
64是8的倍数，32是8的倍数。64和32的差也是8的倍数。
9、个位上是0、2、4、6、8 的数都是2的倍数。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数
（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。
例：按2的倍数的特征，自然数分成（ 奇数 ）和（ 偶数 ）。最小的偶数是
（0），最小的奇数是（1 ）。
所有的自然数，不是奇数就是偶数。（ √ ）
10、奇数偶数的性质
关于奇数和偶数，有下面的性质：
（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；
（2）奇数+奇数=偶数；偶数+奇数=奇数；任意多个偶数的和都是偶数；
（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；
（4）除2外所有的正偶数均为合数；
（5）相邻偶数最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半。
（6）奇数×奇数=奇数；偶×数偶数=偶数；奇数×偶数=偶数；
（7）偶数的个位上一定是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9。
（8）奇数×奇数=奇数
质数×质数=合数
11、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。质数只
有（ 2 ）个因数。
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。合数至少有（ 3 ）
个因数。
1只有一个因数，所以1不是质数，也不是合数。
12、按因数的个数，把非零的自然数分成 1、质数和合数 。
最小的质数是（2），2是唯一的偶质数。最小的合数是（ 4 ），
20以内的质数有2、3、5、7、9、11、13、17、19.
20以内合数有：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20.
100以内质数表：

例：①10以内既是奇数，又是合数的数是（ 9 ）。
②在7、17、27、37、47、57、67、77、87、97这10个数中，
质数有： 7、17、37、47、67、97。合数有27、57、77、87。

③判断：所有的质数都是奇数，所有的合数都是偶数。（ × ）
两个质数的和是偶数。（ × ）
两个质数相乘，积是合数。( √ )
例 ：最小的奇数是1；最小的偶数是0；最小的质数是2；最小的合数是4；8是一位
数中最大的偶数；9 是一位数中最大的奇数；1不是质数，也不是合数。连续的两个质
数是2、3。
13、把一个合数写成几个质数相乘的形式就是分解质因数。例如：把30分解质因数。
方法 一：树状图式分解法。（先把30分解成两个数（1除外）相乘的形式，30分解成
2×15, 2是质 数，不需要再分解，15是合数，需再进行分解，15可以分解成3×5.直
到所有因数都是质数为止。
方法二：短除法。除数和商都不能是1，因为1不是质数。把除数和商写成相乘的形
式。
1、树状图式分解法。 2、 短除法。

30

3 15
2 15

5
3 5
2 30
30=2×3×

5
30=2×3×5



第三单元：长方体和正方体
熟记概念


(2)长方体和正方体（立方体）的特征

面 棱 顶点
有6个面；
有12条棱；
相对的两个面完全相同；
相对的4条棱长度相等（特殊情
每个面是长方形（特殊情况
况下有8条棱长度相等 ）。
下有两个相对的面是正方形）。
有6个面；
6个面完全相同；
每个面是正方形。
有12条棱；
12条棱全部相等。
长方体
有8个顶点
正方体
（3）相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。

（4） 正方体是长、宽、高都相等的特殊长方体。（如右图）





体积：物体所占空间的大小。常见的体积单位：立方厘米（cm³）、立方分米（ dm³）、立方米（m³）。
棱长为1cm的正方体，体积是
1cm³
；棱长为1d m的正方体，体积是
1dm³
；棱长为1m的
正方体，体积是
1m³
。
容积：箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积。常见的容积单位：升（L）、毫升（mL）。
底面积：长方体或正方体地面的面积。


1、长方体是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
2、在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3、相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
4、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
5、正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。它是一种特殊的长方体。
6、长方体或正 方体6个面的总面积，叫做它的表面积。长方体或正方体底面的面积叫
做底面积。
7、物体所占空间的大小叫做物体的体积。
8、箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。
长方体或正方体容器容积的计算方法，跟体积的计算方法相同。
但要从容器里面量长、宽、高。
（所以，对于同一个物体，体积大于容积。）

9、计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写成L和ml。
10、长方体和正方体都有：8个顶点，12条棱，6个面。
11、长方体的棱长总和=（长＋宽＋高）×4
正方体的棱长总和=棱长×12
长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
正方体表面积＝棱长×棱长×6
无底（或无盖）长方体表面积= 长×宽＋（长×高＋宽×高）×2
S=2（ab＋ah＋bh）－ab S=2（ah＋bh）＋ab
无底又无盖长方体表面积=（长×高＋宽×高）×2 S=2（ah＋bh）
没盖的正方体表面积＝棱长×棱长×5
长方体体积（容积）＝长×宽×高V=abh

正方体体积（容积）＝棱长×棱长×棱长V=a
3

长方体(或正方体)体积＝底面积×高 V=sh
长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h 宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
生活实际：油箱、罐头盒等都是6个面
游泳池、鱼缸等都只有5个面
水管、烟囱等都只有4个面。
注意1：用刀分开物体时，每分一次增加两个面。（表面积相应增加）
注意2：长方体或正方 体的长、宽、高同时扩大几倍（正方体的棱长扩大a倍），则表面积扩大a2
倍，体积扩大a3倍。
（如长、宽、高各扩大3倍，表面积就会扩大到原来的9倍，体积就会扩大到原来的27倍）。
注意3：一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，但体积不一定相等。
注意4：长方体与正方体关系
把长方体或正方体截成若干个小长方体（或正方体）后，表面积增加了，体积不变。
12、知道长方体的棱长和、表面积、体积求其它量的方法：
（1）方程法：设要求的量为X，按公式列方程。
（2）算术法：如：长方体的长=棱长总和÷4－宽－高
正方体的棱长=棱长和÷12
长方体的长=体积÷宽÷高
正方体的棱长的平方=表面积÷6
13、单位换算（换算方法：大单位×进率=小单位 小单位÷进率=大单位
大到小除以进率，小到大乘进率）
长度单位：
1千米 =1000 米 1 分米=10 厘米
1厘米=10毫米 1分米=100毫米
1米=10分米=100厘米=1000毫米
（相邻单位进率10）
面积单位：
1平方千米=100公顷
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1公顷=10000平方米（平方相邻单位进率100）
体积、容积单位：
1立方米=1000立方分米 1立方分米=1升
1立方分米=1000立方厘米 1立方厘米=1毫升
1升=1000毫升
质量单位：
1吨=1000千克
1千克=1000克

人民币：
1元=10角 1角=10分 1元=100分
时间单位
1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒
15、将石头或物体放入水箱中算物体体积的方法：
（1）知道两次水的深度：
石头的体积=长×宽×（放入后的水深-放入前的水深）
（2）知道放入前或放入后的体积
石头的体积=放入后的体积－放入前的体积

第四单元：分数的意义和性质
1、分数的意义：一个物体、一物体等都可以看作一个整体，把 这个整体平均分成若干
份，这样的一份或几份都可以用分数来表示。
2、单位“1”：一个整 体可以用自然数1来表示，通常把它叫做单位“1”。（也就
是把什么平均分什么就是单位“1”。）
3、分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫做分数单位。如45
的分数 单位是15。
把4米长的绳子平均剪成5段，每段长是（45）米，【在分数的后面有单位时
就用总数量÷总份数=总数量总份数（带单位）】每段是全长（这根绳子）的（15）。
（这里是把全长 或”这根绳子”看作单位“1”，平均分成几份就是几分之一）
4、分数与除法
分数与除法的关系：被除数÷除数=
被除数
a
（a÷b= ，b≠0），反来 ，分数也可以看
除数
b
作两个数相除，分数的分子相等于被除数，分母相等于除数，分 数线相等于除号。
5、真分数和假分数、带分数
1、真分数：分子比分母小的分数叫真分数。真分数<1。
2、假分数：分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数。假分数≧1
3、带分数：带分数由整数和真分数组成的分数。带分数＞1.
4、真分数＜1≤假分数
真分数＜1＜带分数
6、假分数与整数、带分数的互化
（1）假分数化为整数或带分数，用分子÷分母，商作为整数，余数作为分子

（2）整数化为假分数，用整数乘以分母得分子 如：
（3）带分数化为假分数，用整数乘以分母加分子，得数就是假分数的分子，分母不变
（4）1等于任何分子和分母相同的分数
7．分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
8、最简分数：分数的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。
一个最简分数 ，如果分母中除了2和5以外，不含其他的质因数，就能够化成有限小
数。反之则不可以。
9、约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
如：2430=45
10、通分：把异分母分数分别化成和原来相等的同分母分数，叫做通分。
如：25和14 可以化成820和520
11、分数和小数的互化
（1）小数化为分数：数小数位数。一位小数，分母是10；两位小数，分母是100……
如：0.3=310 0.03=3100 0.003=31000
（2）分数化为小数：
方法一：把分数化为分母是10、100、1000……
如：310=0.3 35=610=0.614=25100=0.25
方法二：用分子÷分母如：34=3÷4=0.75
（3）带分数化为小数：先把整数后的分数化为小数，再加上整数
12、比分数的大小：
分母相同，分子大，分数就大；
分子相同，分母小，分数才大。
分数比较大小的一般方法：同分子比较；通分后比较；化成小数比较。
13、分数化简包括两步：一是约分；二是把假分数化成整数或带分数。
1131234
=0.5=0.25 =0.75=0.2 =0.4 =0.6 =0.8
2445555
135711
=0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.05 =0.04。
88882025
14、公因数只有1的两个数，叫做互质数。
两个数互质的特殊判断方法：
⑴1和任何自然数互质；⑵相邻两个自然数互质； ⑶两个质数一定互质；
⑷2和所有奇数互质； ⑸质数与比它小的合数互质；
15、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个，叫做它们的最大
公因数。
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个数，叫做最小公倍
数。
16、求最大公因数和最小公倍数方法
（分解质因数法）

12=2×2×3
16=2×2×2×2
最大公因数是：2×2=4（相同乘）
最小公倍数是：2×2×3×2×2= 48（相同乘×不同乘）
① 倍数关系：最大公因数就是较小数。最小公倍数是较大数
② 互质关系：最大公因数就是1最小公倍数是它们乘积
③ 一般关系：较大数翻倍法
注意1： “求一个数是（占）另一个数的几分之几”的问题的解题办法：用前面那个
数除以后面一个数。
注意2：最大公因数应用题的标志词：最多；最小公倍数应用题的标志词：至少


第五单元：图形的变换
1、物体旋转注意：（1）旋转中心；（2）要旋转的点；（3）旋转方向；（常见的有45°， 90°，180°等）。（描述物体旋转时，要说出旋转中心，旋转方向，和旋转度数。即：
物体绕 点 按 时针方向旋转了°。）

2.长方形绕中点旋转180度与原来重合 ，正方形绕中点旋转90度与原来重合。等边三
角形绕中点旋转120度与原来重合。
3.旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（5）旋转中心是唯一不动的点。

3.生活中的旋转：电风扇、车轮、纸风车
3.特殊旋转
（1）长方形绕中点旋转180度与原来重合，正方形绕中点旋转90度与原来重合。
等边三角形绕中点旋转120度与原来重合。
4.旋转的性质：
（1）图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移
动；
（2）其中对应点到旋转中心的距离相等；
（3）旋转前后图形的大小和形状没有改变；
（4）两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；

（5）旋转中心是唯一不动的点。
5.图形旋转的特点
旋转前后图形形状和大小都不变。
每组对应点与旋转中心的连线所成角的度数都等于旋转角度。
各对应点之间的距离也相等。
6.旋转图形的画法

7、利用平移和旋转作图。


第六单元：分数的加法和减法
1、分数的加减，分母不变，分子相加减：同分母分数相加、减 ，分母不变，只把分子
相加减。分母不同的分数，要先通分才能相加减。
2、分数加法的简算
（1）、加法

结合律:
a+b+c=a+(b+c)

如果是减号要带符号交换

交换律：
a+b=b+a

a-b-c=a-c-b



（2）、减法（扩号前是减号，去括号或加括号后要变号）


a-(b+c) =a-b-c a-(b-c) =a-b+c
a-b-c=a-(b+c)

（三）分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的顺序相同。
在一个算式中，如果有括 号，应先算括号里面的，再算括号外面的；如果只含有同
一级运算，应从左到右依次计算。
2、整数加法的交换律、结合律对分数加法同样适用。
重点：
熟记概念

（1）同分母分数加减法：分母不变，分子相加、减；能约分要约成最简分数。

< br>例如：
313141313-121

；
-

8888288884
（2）异分母分数加减法：通分；分母不变，分子相加、减；能约 分要约成最简分数。
例如：
515219109109191
1
； 9292291818181818
51521910910—911
——— 

9292291818181818
（3）分数加减混合运算的运算顺序 与整数加减混合运算的顺序相同。没有括号的按照从左至右的
顺序进行计算；有括号的先算括号里面的， 然后算括号外面的。异分母分数加减的混合运算，计
算过程中，如果没有括号，几个分数可以一次性通分 进行计算；也可以分步通分，分步计算。
2、技巧方法
（1）
111
—
（n为非零自然数）
nn1n(n1)
11111111
；
—
；
— 
2323610111011110
111111

< br>12233445989999100

(1)()()( )()()

2233445989999100


 1
2233445989999100
1
1
100

99

100
11ba
（2）
(a 和b互质，且都不为0)

abab
117310
例如：



373721
例如：
（3）分数的简便运算
516213176

加法交换律：

连减的性质：
2

677535
41313
516231176
=

=

=
2

（）（）
553
67741313
511
=
1
=
1
=
21

634
521
=
1
= =
1

634
加法结合律：

（课上补减法去括号题型）


（4）解方程

x
+＝
x
－＝
33
74
53
128
91
-
x
=
105


第七单元：统计
1、折线统计图分为单式折线统计图和复式折线统计图
2、条形统计图优点：条形统计图能形象地反映出数量的多少。
折线统计图优点：折线统计图不仅能表示出数量的多少，还能反映出数量的增减变
化情况。
3.注：① 画图时注意：
一“看”（横轴，竖轴、数据）、 二“描点”（标数）、三“连”（直线一次连
接）。
② 要用不同的线段分别连接两组数据中的数。

技巧方法
例： 在方格里画出先向下平移3格，再向右平移4格后的图形。


画出ΔAOB 绕O点顺时针旋转90度后的图形。 画出绕O点顺时针旋转90°后的图形。



画出绕O点逆时针旋转90°后的图形。

4、 打电话：
规律——同时，人人不闲着，每人都在传。（技巧：已知人数依次 × 2）
（1）逐个法：所需时间最多。
（2）分组法：相对节约时间。
（3）同时进行法：最节约时间。通知到的队员总数为（
2ｎ-1）人，ｎ表示时间。
时间
第1
分钟
2
1
第1
分钟
4
3
第1
分钟
8
7
第1
分钟
16
15
第1
分钟
32
31
第1
分钟
64
63
第1
分钟
128
127
第1
分钟
256
255
第1
分钟
512
511
师生总数（知道
通知的人数）
学生数（被通知
的人数）


第八单元：数学广角
1、找次品的最优方法：把待测物体分成3份，要 分得尽量平均，不能够平均分的，也
应该使多的一份与少的一份只相差1。
数目与测试的次数的关系：2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是1次
4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
244～729个物体，保证能找出次品需要测的次数是6次