历史典故-学习雷锋做好事

高中数学必修5课后习题答案

第二章 数列
2.1 数列的概念与简单表示法
练习（P31）
1、
2、前

是：

1,
.
0
1
21
2
33
…
…
5
69
…
…
12
153
…
…


5项分别

1*
(n2m,mN)
*



2(n2m,m N)

n
3、例1（1）
a
n


； （2）
a
n



*


1(n2m1,mN
*
)

0(n2m1,mN)


n
说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举 出其他可
能的通项公式表达形式不唯一的例子.
1
(1)
n
1< br>
4、（1）
a
n

(nZ

)
； （3）
a
n

n1
(nZ

)

(nZ)
； （2）
a
n

2n
2n1
2
2
习题2.1 A组（P33）
1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；
（2）
2,6,22,3,10,23,14,15,4,32
；
（3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050；
2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.
1111
2、（1）
1,,,,
； （2）
2,5,10,17,26
.
491625
3、（1）（1），
4
，9，（
16
），25，（
36
），49；
a
n
(1)
n1
n
2
；
（2 ）1，
2
，（
3
），2，
5
，（
6
），< br>7
；
a
n
n
.
1141
4、（1）
,3,13,53,213
； （2）
,5,,,5
.
2454
a
n
n
2
2n
.
a
n
5n4
；
a
n
3n2
；5、对应的答案分别是 ：（1）16,21；（2）10,13；（3）24,35；
6、15,21,28；
a
n
a
n1
n
.
习题2.1 B组（P34）
1、前5项是1,9,73,585,4681.
8
n
1
该数列的递推公式是：
a
n1
18a
n
,a1
1
.通项公式是：
a
n

.
7

)
2
10.144518
； 2、
a
1
10(10.72﹪)10.072
；
a
2
10(10.72﹪
)
3
10.217559
；
a
n
10(10.72﹪)
n
.
a
3
10(10.72﹪
35813
3、（1）1,2,3,5,8； （2）
2,,,,
.
2358
2.2 等差数列
练习（P39）
1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应 填：15，
11
，
24
.
2、
a
n
152(n1)2n13
，
a
10
33
. 3、
c
n
4n

4、（1）是，首项是
a
m1
a
1
md
，公差不变，仍为
d
；
（2） 是，首项是
a
1
，公差
2d
；（3）仍然是等差数列；首项是
a
7
a
1
6d
；公差为
7d
.
5 、（1）因为
a
5
a
3
a
7
a
5< br>，所以
2a
5
a
3
a
7
. 同理有
2a
5
a
1
a
9
也成立；
（2）
2a
n
a
n1
a
n1
(n1)< br>成立；
2a
n
a
nk
a
nk
(n k0)
也成立.
习题2.2 A组（P40）
1、（1）
a
n
29
； （2）
n10
； （3）
d3
； （4）
a
1
10
. 2、略.
3、
60
. 4、
2℃
；
11℃
；
37℃
. 5、（1）
s9.8t
； （2）588 cm，5 s.
习题2.2 B组（P40）

1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，< br>a
2010
a
2002
8d0.2610
5

再加上原有的沙化面积
910
5
，答案为
9.2610
5
；
（2）2021年底，沙化面积开始小于
810
5
hm
2
.
2、略.
2.3 等差数列的前
n
项和
练习（P45）
1、（1）
88
； （2）604.5.

59
,n1


12
2、
a
n



6n5

,n1

< br>12
3、元素个数是30，元素和为900.

习题2.3 A组（P46）
1、（1）
n(n1)
； （2）
n
2
； （3）180个，和为98550； （4）900个，和为494550.
n(a
1
a
n
)
，并解得
n27
；
2
17
将
a
1
20,a
n
54,n27
代入
a
n
a
1
(n1)d
，并解得
d
.
13
1n(a
1
a
n
)
（2）将
d,n37,S
n
629
代入
a
n
a
1
(n1)d
，
S
n

，
32
2、（1）将
a
1
20,a
n
54,S< br>n
999
代入
S
n


a
na
1
12

得

37(a
1
a
n
)
；解这个方程组，得
a
1
11,a
n
23
.
629

2

51n(n1)
（ 3）将
a
1
,d,S
n
5
代入
S
n
na
1
d
，并解得
n15
；
662< br>513
将
a
1
,d,n15
代入
a
n
a
1
(n1)d
，得
a
n

.
66
2
（4）将
d2,n15,a
n
10
代入
a
n
a
1
(n1)d
，并解得
a
1
38
；
将
a
1
38,a
n
10,n15
代入
S
n

3、
4.5510
4
m. 4、4.
5、这些数的通项公式：
7(n1)2
，项数是14，和为665. 6、1472.
习题2.3 B组（P46）

n(a
1
a< br>n
)
，得
S
n
360
.
2
1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的. 代入等差数列前
n
项和公式 ，求出5年内的总
共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可. 答案：292元.
2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐.
现提供2个证明方法供参考.
（1）由
S
6
6a
1< br>15d
，
S
12
12a
1
66d
，< br>S
18
18a
1
153d

可得S
6
(S
18
S
12
)2(S
12S
6
)
.
（2）
S
12
S
6< br>(a
1
a
2
a
12
)(a
1a
2
a
6
)

同样可得：
S
18
S
12
S
6
72d
，因此
S
6
(S
18
S
12
)2(S
12
S
6
)
.
3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；
所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.
（2）先求出15辆车总共的行驶时 间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次
递减，最后一辆行驶1小时40分. 各辆车的行驶 时间呈等差数列分布，代入前
n
项和公式，
41
这个车队所有车的行驶时间 为
S
2
3
15
85
h.
22

乘以车速
60
kmh，得行驶总路程为2550 km.
4、数列


1

111



的通项公式为
a
n

n(n1)nn1
< br>n(n1)

111111
所以
S
n
() ()()
122334
111n

()1
nn1n1n1
1111
类似地，我们可以求出通 项公式为
a
n
()
的数列的前
n
项和.
n(nk)knnk
2.4 等比数列
练习（P52）
1、
2、由

被感染
2
一个首
为
50

4
2
8
0.08
16
0.0032
2
或
2

题意可知，每一轮
的计算机台数构成
项 为
a
1
80
，公比
q20
的等比数
0.2
列，则第5轮被感染的计算机台数
a
5
为
a
5
a
1
q
4
8020
4
1.2810
7< br>.
3、（1）将数列

a
n

中的前
k< br>项去掉，剩余的数列为
a
k1
,a
k2
,
列a
k1
,a
k2
,
因为
可视为
b
1
,b
2
,
.
是等比数列.
. 令
ba
ki
,i1,2,
，则数
b
i1
a
ki1
q(i≥1)
，所以，

b
n

是等比数列，即
a
k1
,a
k 2
,
b
i
a
ki
（2）

an

中的所有奇数列是
a
1
,a
3
,a
5
,
所以，数列
a
1
,a
3
,a
5
,
，则 < br>a
3
a
5

a
1
a
3

a
2k1

a
2k1
q
2
(k≥1 )
.
是以
a
1
为首项，
q
2
为公比的等比数列.
， （3）

a
n

中每隔10项取出一项组成的数列 是
a
1
,a
12
,a
23
,
则
a
12
a
23

a
1
a
12
< br>a
11k1

a
11k10
q
11
( k≥1)

所以，数列
a
1
,a
12
,a23
,
是以
a
1
为首项，
q
11
为公 比的等比数列.
猜想：在数列

a
n

中每隔
m
（
m
是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列
是以
a
1
为首项，
q
m1
为公比的等比数列.
2
( a
1
q
4
)
2
a
1
2
q
8
，而
a
3
a
7
a
1
q
2
a
1
q
6
a
1
2
q
8
4、（1）设

a
n

的公比为
q
，则
a
5

22
a
3
a
7
，同理< br>a
5
a
1
a
9
所以
a
5
2
a
n1
a
n1
(n1)
. 由此得出 ，
a
n
是
a
n1
和
a
n1
的 等比中项. （2）用上面的方法不难证明
a
n
2
a
nk< br>a
nk
(nk0)
. 由此得出，
a
n
是< br>a
nk
和
a
nk
的等比中项
(nk0). 同理：可证明，
a
n
)
n
. 5、（1）设
n
年后这辆车的价值为
a
n
，则
a
n
13.5(1 10﹪
)
4
88573
（元）. 用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元. （2）
a
4
13.5(110﹪
习题2.4 A组（P53）
1、（1）可由
a
4
a
1
q
3
，得
a
1
1
，
a
7
a
1
q
6(1)(3)
6
729
.
也可由
a< br>7
a
1
q
6
，
a
4
a
1
q
3
，得
a
7
a
4
q
327(3)
3
729


a
1
2 7

a
1
27



a
1
q18
（2）由

3
，解得

2
， 或

2

qq



a
1
q8
33

4

3

a
1
q4
（3）由

6
，解得
q
2

，
2


a
1
q6
2
a
7
6
2< br> 还可由
a
5
,a
7
,a
9
也成等比数 列，即
aa
5
a
9
，得
a
9
9< br>.
a
5
4
2
7
4


a
1
qa
1
15
（4）由

3
< br>
a
1
qa
1
q6
①
②
q
2
15
1

，由此解得
q
或
q 2
. ①的两边分别除以②的两边，得
q2
2
当
q
1
时，
a
1
16
. 此时
a
3
a
1
q
2
4
. 当
q2
时，
a
1
1
. 此时
a
3
a
1
q
2
4
.
2
2、设
n
年后，需退耕
a
n
，则

an

是一个等比数列，其中
a
1
8(110﹪),q0. 1
.
)
5
13
（万公顷） 那么2005年需退耕
a
5
a
1
(1q)
5
8(110﹪
3、若< br>
a
n

是各项均为正数的等比数列，则首项
a
1< br>和公比
q
都是正数.
由
a
n
a
1< br>q
n1
，得
a
n
a
1
q
n1
a
1
q
1
2
n1
2
a
1< br>(q)
1
2
(n1)
.
那么数列

a
n

是以
a
1
为首项，
q
为公比的等比 数列.
4、这张报纸的厚度为0.05 mm，对折一次后厚度为0.05×2 mm，再对折后厚度为0.05×
2
2

mm，再对折后厚度为0.05×
2
3
mm. 设
a
0
0.05
，对折
n
次后报纸的厚度为
a
n< br>，则

a
n

是一个
等比数列，公比
q2
. 对折50次后，报纸的厚度为
这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约
3.8410
8
m
），所以能够在地球和月
球之间建一座桥.
5、设年平均增长率为
q,a
1
105
，
n
年后空气质量为良的天数为
a
n< br>，则

a
n

是一个等比数列.
由
a
3
240
，得
a
3
a
1
(1q)< br>2
105(1q)
2
240
，解得
q
240
10.51

105
abab2ab(ab)
2
ab
6、由已知条件知，
A
ab≥0

,Gab
，且
AG
222
2
所以有
A≥G
，等号成立的条件是
ab
. 而
a,b
是互异正数，所以一定有
A>G
.
7、（1）
2
； （2）
ab(a
2
b
2
)
. 8、（1）27，81； （2）80，40，20，10.
习题2.4 B组（P54） < br>1、证明：由等比数列通项公式，得
a
m
a
1
q
m 1
，
a
n
a
1
q
n1
，其中
a
1
,q0

a
m
a
1
q
m 1
mn
q
所以
n1
a
n
a
1
q
2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率 为
q
，
n
年后的残留量为
a
n
，则
a
n

是一个等比数列. 由碳14的半衰期为5730
则
a
n
a
1
q
5730
q
5730
1
1
5730
1
0.999879


，解得
q()
2
2
（2）设动物约在距今
n
年前死亡，由
a
n
0.6
，得
a
n
 a
1
q0.999879
n
0.6
.
解得
n4221
，所以动物约在距今4221年前死亡.
a
n
3、在等差数列1，2，3，…中，
有
a
7< br>a
10
17a
8
a
9
，
a
10
a
40
50a
20
a
30

由此可以猜想，在等差数列

a
n

中
若
kspq(k,s,p,qN
*
)
，则
a
k
a< br>s
a
p
a
q
.
从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个
a
s
a
k
O
k
p
a
p
q
a
q
s
n
akas
问题：由等差数列

a
n

的图象，可以看出
k< br>
，
s


a
p
pa
q
q
（第3题）
根据等式的性质 ，有
a
k
a
s
ks

，所以
a
k
a
s
a
p
a
q
.
a
p
a
q
pq

猜想对于等比数列

an

，类似的性质为：若
kspq(k,s,p,qN
*
)
，则
a
k
a
s
a
p
a
q
.
2.5 等比数列的前
n
项和
练习（P58）
1、（1）
S
6

aaq
a
1
(1q)3(1 2)
189
. （2）
S
n

1n
< br>1q12
1q
66
2.7
11
()
90 3

91
.
1
45
1()
3
2、 设这个等比数列的公比为
q

所以
S
10
(a
1
a
2
a
5
)(a
6
a
7< br>a
10
)
S
5
q
5
S
5< br>(1q
5
)S
5
50

同理
S
15
S
10
q
10
S
5
.
因为
S
5
10
，所以由①得
q
5

S
10
14q
10
16

S
5
代入②，得
S
15
S
10
q
10
S< br>5
501610210
.
3、该市近10年每年的国内生产总值构成 一个等比数列，首项
a
1
2000
，公比
q1.1

2000(11.1
10
)
设近10年的国内生产总值是
S
10
，则
S
10
31874.8
（亿元）
11.1
习题2.5 A组（P61）
1、（1）由
q
3
aaq164(4)
a
4
64
51
.
64
，解得
q4
，所以
S
4

14

1q1(4)
a
1
1
（2）因为
S
3
a
1
a
2
a
3
a
3
(q
2
q
1
1)
，所以
q
2
q
1
13
，即
2q
2
q10

131
解这个方程，得
q1
或
q
. 当
q1
时，
a
1

；当
q
时，
a
1
6
.
222
2、这5年的产值是一个以
a
1
1381. 1151.8
为首项，
q1.1
为公比的等比数列
a
1
(1q
5
)151.8(11.1
5
)
926.754
（万元） 所以
S
5

1q11.1
3、（1） 第1个正方形的面积为4
cm
2
，第2个正方形的面积为2
cm
2< br>，…，
1
这是一个以
a
1
4
为首项，
q 
为公比的等比数列
2
1
所以第10个正方形的面积为
a
10
a
1
q
9
4()
9
2
7< br>（
cm
2
）
2

（2）这10个正方形的 面积和为
S
10

a
1
a
10
q

1q
42
7

1
1
2
12
82
7
（
cm
2
）
4、（1）当< br>a1
时，
(a1)(a
2
2)
当< br>a1
时，
(a1)(a
2
2)
(a
n< br>n)12
(a
n
n)(aa
2

(n1)
(n1)n

2
n)

5
n
)

a
n
)(12
（2）
(235
1
)(435
2
)(n35< br>n
)2(12
（3）设
S
n
12x3x
2

则
x S
n
x2x
2

nx
n1
……①
n)3(5
1
5
2

(n1)x
n1< br>nx
n
……②
x
n1
nx
n
……③ ①－②得，
(1x)S
n
1xx
2

当x1
时，
S
n
123
1x
n
nx
n
n(n1)

；当
x1
时，由③得，
Sn


n
2
(1x)1x
2
100 2
9
)
5、（1）第10次着地时，经过的路程为
1002(5025
（2）设第
n
次着地时，经过的路程为293.75 m，
2
1
(12
(n1)
)
12(n1)
则
100210 0(222)100200293.75

12
1
所以< br>3002002
1n
293.75
，解得
2
1n< br>0.03125
，所以
1n5
，则
n6

6、证明：因为
S
3
,S
9
,S
6
成等差数列，所 以公比
q1
，且
2S
9
S
3
S
6< br>
a
1
(1q
9
)a
1
(1q
3
)a
1
(1q
6
)

即，
2

1q1q1q
于是，
2q9
q
3
q
6
，即
2q
6
1q
3

上式两边同乘以
a
1
q
， 得
2a
1
q
7
a
1
qa
1
q
4

即，
2a
8
a
2
a
5
，故
a
2
,a
8
,a
5
成等差数列
习题2.5 B组（P62）
b

a
b
1 ()
n1
b
n
a
n1
b
n1
n
a
())a

b
aab
1
a
 a
7
)q
7
S
7

1、证明：
a
n
a
n1
bb
n
a
n
(1
2、证明：因为
S
14
S
7
a
8
a
9
a
14
q
7
(a
1
a
2

所以
S
7
,S
147
,S
2114
成等比数列

3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收 量构成一个等比数列，首项为
a
1
100
，公比为
q1.2.
所以，2010年能回收的废旧物资为
a
9
1001 .2
8
430
（t）
a
1
(1q
9
)100(11.2
9
)
2080
（t） （2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为
S
9


1q11.2
可节约的土地为
165048320
（
m
2
）
4、（ 1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每
(ana)n< br>月固定存入
a
元，连续存
n
个月，计算利息的公式为

月利率.
2
因为整存整取定期储蓄存款年利率为
2.52﹪
，月利率为
0.21﹪

(505036)36
故到期3年时一次可支取本息共
0.21﹪18001869.93
（元）
2
若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略.
（2）略.
（3）每月存50元，连续存3年
按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪
，且需支付
20﹪
的利息税
所以到期3年时一次可支取本息 共
1841.96
元，比教育储蓄的方式少收益
27.97
元.
36(x36x)
（4）设每月应存入
x
元，由教育储蓄的计算公式得
0.21﹪36x10000

2
解得
x267.39
（元），即每月应存入
267.39
（元）
（5）（6）（7）（8）略
)
7
，2005年初存5、设每年应存入
x< br>万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为
x(12﹪
)
6
，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为
x(12﹪
入的钱到2010年底利 和为
x(12﹪
)
.
)
7
x(12﹪)
6

根据题意，
x(12﹪x(12﹪)40

x(12< br>﹪
)(11.02
7
)
根据等比数列前
n
项和公式 ，得
40
，解得
x52498
（元）
11.02
故，每年大约应存入52498元
第二章 复习参考题A组（P67）
1、（1）
B
； （2）
B
； （3）
B
； （4）
A
.
(1)
n1
(2 n1)
2n1
2、（1）
a
n

n
； （2）
a
n
1
；
(2n)
2
2
7
（3）
a
n
(10
n
1)
； （4）
a< br>n
1(1)
n
或
a
n
1cosn

.
9
3、
4、如果
a,b,c
成等差数列，则
b5
；如果
a,b,c
成等比数列，则
b1
，或
1
.
5、
a
n
按顺序输出的值为：12，36，108，324，972.
sum86093436
.

)
8
1396.3
（万） 6、
1381.9(10.13﹪
7、从12月20日到次年的1月1日，共13天. 每天领取的奖品价值呈等差数列分布.
n(n1)1312

d10,a
1
100
. 由
S
n
a
1
nd
得：
S
13
100131020802000
.
22
所以第二种领奖方式获奖者受益更多.
8、因为
a
2
a
8
a
3
a
7
a
4
a
6
2a
5

5
所以
a
3a
4
a
5
a
6
a
7
45 0(a
2
a
8
)
，则
a
2
a
8
180
.
2
1010n
9、容易得到
a
n
10n,S
n
101200
，得
n15
. < br>2
10、
S
2
a
n1
a
n2
a
2n
(a
1
nd)(a
2
nd)(a
n
nd)

容易验证
2S
2
S
1
S
3
. 所以，
S
1
,S
2
,S
3
也是等差数列，公差为
n
2
d
.
11、
a
1
f(x1)(x1)
2
4(x1)2x
2
2x1

因为

a
n

是等差数列，所以
a
1
,a
2< br>,a
3
也是等差数列.
所以，
2a
2
a
1
a
3
. 即，
02x
2
8x6
. 解得
x1
或
x3
.
当
x1
时，a
1
2,a
2
0,a
3
2
. 由此可求出
a
n
2n4
.
当
x3
时 ，
a
1
2,a
2
0,a
3
2
. 由此可求出
a
n
42n
.
第二章 复习参考题B组（P68）
1、（1）
B
； （2）
D
.
2、（1）不成等差数列. 可以从图象上解释.
a,b,c
成等差，则通项公式为
ypnq
的形式，
1
111111
且
a,b,c
位于同一直线上，而
,,
的通项公式却是
y
的形式，
,,
不可能在同一直
pnq
abcabc
线上，因此肯定不是等差数列.
（2）成等比数列. 因为
a,b,c
成等比，有
b
2
ac
.
又由于
a,b,c
非零，两边同时取倒数，则有
111
所以，
,,
也成等比数列.
abc
)
6
0.126，质量分数：
0.05(125﹪)
6
0.191
. 3、体积分数：
0.033(125﹪
1111

.
2< br>bacac
4、设工作时间为
n
，三种付费方式的前
n
项和分 别为
A
n
,B
n
,C
n
. 第一种付费方式为常数 列；
第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为

0.4(12
n
)
n(n1)
2
2的等比数 列. 则
A
n
38n
，
B
n
4n
 0.4(2
n
1)
.
42n2n
，
C
n

12
2
下面考察
A
n
,B
n
,C
n
看出
n10
时，
38n0.4(2
n
1)
.
因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.

n ≥10
时，
A
n
≤C
n
,B
n
≤C
n

因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.
5、第一星期选择< br>A
种菜的人数为
n
，即
a
1
n
，选择B
种菜的人数为
500a
.
所以有以下关系式：
a
2
a
1
80﹪

b
1
30﹪
……
11
所以
a
n150a
n1
，
b
n
500a
n
 350a
n1

22
如果
a
1
300
，则
a
2
300
，
a
3
300
，… ，
a
10
300

6、解：由
a
n
2 a
n1
3a
n2

得
a
n
a< br>n1
3(a
n1
a
n2
)
以及
a
n
3a
n1
(a
n1
3a
n2)

所以
a
n
a
n1
3
n2
(a
2
a
1
)3
n2
7
，
a
n
3a
n1
(1)
n2
(a
23a
1
)(1)
n2
13
.
由以上两式得 ，
4a
n
3
n1
7(1)
n1
13

1
n1n1
所以，数列的通项公式是
a
n


37(1)13



4

7、设这家牛奶厂每年应扣除
x
万元消费基金
2002年底剩余资金是
1000(150﹪)x

)x](150﹪)x 1000(150﹪)
2
(150﹪)xx
2003年底剩余资金是
[1000(150﹪
……
)
5
(150﹪)
4
x(150﹪)
3x(150﹪)
2
x(150﹪)x2000
5年后达到资金
1000(150﹪
解得
x459
（万元）

第三章 不等式
3.1 不等关系与不等式
练习（P74）
1、（1）
ab≥0
； （2）
h≤4
； （3）


(L10)(W10)350
.
L4W

2、这给两位数是57. 3、（1）

； （2）

； （3）

； （4）

；
习题3.1 A组（P75）
1、略. 2、（1）
2
3
74
； （2）
710314
.
x
2
x
2
3、证明 ：因为
x0,0
，所以
x1x10

44
xx
因为
(1)
2
(1x)
2
0
，所以
11x

22

x 0

x50



4x48
4、设
A
型号帐篷有
x
个，则
B
型号帐篷有
(x5)
个 ，



05x485

3(x5)48



4(x4)≥48
5、设方案的期限为
n
年时， 方案
B
的投入不少于方案
A
的投入.
n(n1)
所以，
5n10≥500
即，
n
2
≥100
.
2
习题3.1 B组（P75）
1、（1）因为
2x
2
5x9(x
2
5x6) x
2
30
，所以
2x
2
5x9x
25x6

（2）因为
(x3)
2
(x2)(x 4)(x
2
6x9)(x
2
6x8)10

所以
(x3)
2
(x2)(x4)

（3）因 为
x
3
(x
2
x1)(x1)(x
2
 1)0
，所以
x
3
x
2
x1

（4）因为
x
2
y
2
12(xy1)x
2y
2
12x2y2(x1)
2
(y1)
2< br>10

所以
x
2
y
2
12(xy1)

2、证明：因为
ab0,cd0
，所以
acbd0

1
又因为
cd0
，所以
0

cd

于是
ab
ab


0
，所以
dc
dc
3、设安排甲种货箱
x
节， 乙种货箱
y
节，总运费为
z
.

35x25y≥1530

所以

15x35y≥1150
所以
x≥28
，且
x≤30


xy50

所以


x28
x30

x29
，或

，或


y22y20
y21


所以共有三种方案，方案一安排 甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29
节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱 30节，乙种货箱20节.
当


x30
时，总运费
z0.5300.82031
（万元），此时运费较少.

y20
3.2 一元二次不等式及其解法
练习（P80）
1、（1）

x1≤x≤




10

1


； （2）R； （3）

xx2

； （4）

xx

；
3

2

3

2



5
4
4

3



5
3


（5）

xx1,或x

； （6）

xx,或x

； （7）

xx0

.

33

 
2、（1）使
y3x
2
6x2
的值等于0的
x的集合是

1,1

；
33

< br>
33


,或x1
使
y3 x
2
6x2
的值大于0的
x
的集合为

xx 1

；
33



33


x1
使
y3x6x2
的值小于0的
x
的集合是

x1

.
33

 
2
（2）使
y25x
2
的值等于0的
x
的集 合

5,5

；
使
y25x
2
的值大于0的
x
的集合为

x5x5

；
使
y25x
2
的值小于0的
x
的集 合是

xx5,或x5

.
（3）因为抛物线
y x
2
+6x10
的开口方向向上，且与
x
轴无交点
所以使
yx
2
+6x10
的等于0的集合为

；

使
yx
2
+6x10
的小于0的集合为

；
使
yx
2
+6x10
的大于0的集合为R.
（4）使y3x
2
12x12
的值等于0的
x
的集合为

2

；
使
y3x
2
12 x12
的值大于0的
x
的集合为

；
使
y3x
2
12x12
的值小于0的
x
的集合为
xx2

.
习题3.2 A组（P80）

3
1、（1）

xx,或x
2


1313

5


xx
； （2）

；

2

22

（3）

xx2,或x5

； （4）

x0x9

.
2、（1）解
x
2< br>4x9≥0
，因为
200
，方程
x
2
 4x9=0
无实数根
所以不等式的解集是R，所以
yx
2
4x9
的定义域是R.
（2）解
2x
2
12x18≥0
，即
(x3)
2< br>≤0
，所以
x3

所以
y2x
2
12x18
的定义域是

xx3


3、
mm322,或m322
； 4、R.
5、设能够在抛出点2 m以上的位置最多停留t秒.
1
依题意，
v< br>0
tgt
2
2
，即
12t4.9t
2
2
. 这里
t0
. 所以t最大为2（精确到秒）
2
答：能够在抛出点2 m以上的位置最多停留2秒.
6、设每盏台灯售价
x
元，则


x

x15≤x2

0
习题3.2 B组（P81）

x≥15
. 即
15≤x20
.所以售价
x[302 (x15)]400



552


1


552

x
xx1
1、（1）
x
； （2）； （3）； （4）
x3x7




.
3
22



2、由
(1m)
2
4m
2
0
，整理，得
3m
2
2m10
，因为方 程
3m
2
2m10
有两个实数
11

1
根
1
和，所以
m
1
1
，或
m
2

，
m
的取值范围是

mm1,或m
.
3

33



4242

1
2
3

,或x3
3、使函数
f (x)x3x
的值大于0的解集为

xx3

.
22
24


4、设风暴中心坐标为
(a,b)
，则
a3002
，所以
(3002)
2
b
2
45 0
，即
150b150

而
300
300215015
，
15
.
(221)13.7
（h）
202
20
所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.
3.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
练习（P86）
1、
B
.
2、
D
.
3、
B
.
4、分析：把已知条件用下表表示：
工序所需时间分钟

收益元
打磨
桌子
A

桌子
B

10
5
450
着色
6
12
480
上漆
6
9
450

40
30
工作最长时间
解：设家具厂每天生产
A
类桌子
x
张，
B
类 桌子
y
张.
对于
A
类桌子，
x
张 桌子需要打磨
10x
min，着色
6x
min，上漆
6x
m in
对于
B
类桌子，
y
张桌子需要打磨
5 y
min，着色
12y
min，上漆
9y
min
而打磨工人每天最长工作时间是
450
min，所以有
10x5y≤450
.
类似地，
6x12y≤480
，
6x9y≤450

在实际问题中，
x≥0,y≥0
；

10x5y≤450
6x12y≤480


所以，题目中包含的限制条件为

6x9y≤450


x≥0



y≥0
练习（P91）
1、（1）目标函数为
z2xy
，可行域如图所示，作出直线
y2xz，可知
z
要取最大值，

即直线经过点
C
时，解方 程组

y

xy1
y
2xy22(1)3
. 得
C(2,1)
，所以，
z
max


y1
5

x+y=1
y=x
y=x+1
（2）目标函数为
z
A
3x5y
，可行域如图所示，作出直线
z3x5
B
y

可知，直线经过点
B
时，
Z
取得最大值. 直线经过点
A
时，
Z
取得最小值.
O
1
x 1
x
-
5y=3
x

yx1

y x1
C
解方程组

，和


B< br>5x3y15
x5y3
-1


O
A
3
5x
+
3y=15
（
可得点
A(
和点
B(1.5,2.5)
.
2,
1

）
1)

（第1题）
（2）
所以
z
max
31.552.517
，
z
min
3(2)5(1)11

2、设每月生产甲产品
x
件，生产乙产品
y
件，每月收入为
z
元，目标函数为z3000x2000y
，

x2y≤400
500
< br>2xy≤500

需要满足的条件是

，作直线
z3000x2000y
，
x≥0


y≥0
y
当直线经过点
A
时，
z
取得最大值.
解方程组


x2y400

2x y500

200
A
O
250400
x
可得点< br>A(200,100)
，
z
的最大值为800000元.
习题3.3 A组（P93）
（第2题）
1、画图求解二元一次不等式：
（1）
xy≤2
； （2）
2xy2
； （3）
y≤2
； （4）
x≥3


y
y
2、
y=2x
-
2
1
2
3、分析：将所给信息下表表示： y=4
-
x
1
y=x+2
4
O
x
每次 播放时间分

-1
y
O
x
y
广告时间分
1
-2
收视观众万
O
y≤
-2
123
O
连续剧甲
2
x
2
-2
x
80
y=+1
3
x
60
20
（4） （1） （2）
连续剧乙
-1

O
1
-1
40
4
320
5
（3）
1

播放最长时间
（第2题）
最少广告时间

6

解 ：设每周播放连续剧甲
x
次，播放连续剧乙
y
次，收视率为
z
.
目标函数为
z60x20y
，

80x40y≤320

xy≥6

所以，题目中包含的限制条件为


x≥0



y≥0
8
y
6
可行域如图. 解方程组


80x40y
=
320

xy
=
6

O
得点
M
的坐标 为
(2,4)
，所以
z
max
60x20y200
（ 万）
1
5
x
（第3题）
答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.
4、设每周生产空 调器
x
台，彩电
y
台，则生产冰箱
120xy
台，产值 为
z
.
则，目标函数为
z4x3y2(120xy)2xy240

所以，题目中包含的限制条件为
11

1
xy(120xy)≤4 0

3xy≤120

234

xy≤100


120xy≥20

即，




x≥0

x≥0



y≥0
y≥0< br>


3xy
=
120
可行域如图，解方程组

xy
=
100

120
100
y
M
y=100
-
x
y=120
-3
x
O
40100
x
得点
M
的坐标为
(10,90)
，所 以
z
max
2xy240350
（千元）
答：每周应生产 空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350
千元.
习题3.3 B组（P93）

2x3y≤12

2x3y 6

1、画出二元一次不等式组

，
x≥0


y≥0
y
2
y=4
-
x
3
2
4
所表示的区域如右图
2、画出
(x2y1)(xy3)0
表示的区域.
-3
y
y=x+3
向
B
镇运送大米
2
x
吨、3、设甲 粮库要向
A
镇运送大米吨，
-2
总运费为
z
. 则乙粮库要 向
A
镇
y=
-
2
-
y
x
3
O
1
5
6
x
1x
y=
-
22
（ 第1题）
3

运送大米
(70x)
吨、向
B
镇运送大米
(110y)
吨，目标函数（总运费）为

z122 0x2510y1512(70x)208(110y)60x90y3020 0
.

xy≤100

(70x)(110y)≤80< br>
所以，题目中包含的限制条件为

.
0≤x≤70



y≥0
所以当
x70,y30
时，总运费最省
z
min
37100
（元）
所以当
x0,y100
时，总运费最不合理
z
max
39200
（元）
使国家造成不该有的损失2100元.
答：甲粮库要向
A
镇运送大米70吨，向B
镇运送大米30吨，乙粮库要向
A
镇运送大米0
吨，向
B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元. 最不合理的调运方案是要向
A
镇
运送大米0吨，向
B
镇运送大米100吨，乙粮库要向
A
镇运送大米 70吨，向
B
镇运送大米10
吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失210 0元.
3.4 基本不等式
ab≤
练习（P100）
ab

2
11
1、因为
x0
，所以
x≥2x2

xx
11
时，即
x1
时取等号，所以当
x1
时 ，即
x
的值最小，最小值是2.
x
x
2、设两条直角边的长分别 为
a,b
，
a0,
且
b0
，因为直角三角形的面积等于 50.
1
即
ab50
，所以
ab≥2ab210020
，当且仅当
ab10
时取等号.
2
答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.
3、设矩形的长与宽分别为
a
cm，
b
cm.
a0
，
b0

因为周长等于20，所以
ab10

ab
2
10
2
所以
Sab≤()()25
，当且仅当
ab5
时取等号.
22
答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.
4、设底面的长与宽分别为
a
m，
b
m.
a0
，
b0

因为体积等于32
m
3< br>，高2
m
，所以底面积为16
m
2
，即
ab16< br>
当且仅当
x
所以用纸面积是
S2ab2bc2ac324(ab)≥3242ab323264

当且仅当
ab4
时取等号
答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.
习题3.4 A组（P100）
1、（1） 设两个正数为
a,b
，则
a0,b0
，且
ab36

所以
ab≥2ab23612
，当且仅当
ab6
时取等号.
答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.
（2）设两个正数为
a,b
，依题 意
a0,b0
，且
ab18

ab
2
18
2
所以
ab≤()()81
，当且仅当
ab9
时取等号.
22
答：当这两个正数均为9时，它们的积最大.
2、设矩形的长为
x
m，宽为
y
m，菜园的面积为
S
m
2
.
则
x2y30
，
Sxy

11x2y
2
1900225
由基本不等式与不等式的性质，可得
Sx2y≤(
.
)
222242
15225
2
当
x2y，即
x15,y
时，菜园的面积最大，最大面积是
m
.
2 2
3、设矩形的长和宽分别为
x
和
y
，圆柱的侧面积为
z< br>，因为
2(xy)36
，即
xy18
.
所以
z2

xy≤2

(
xy
2
) 162

，
2
当
xy
时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.
4、设房 屋底面长为
x
m，宽为
y
m，总造价为
z
元，则
x y12
，
y
当且仅当
12

x
1236 00
4800x
时，即
x3
时，
z
有最小值，最低总造 价为34600元.
x
习题3.4 B组（P101）
1、设矩形的长
AB
为
x
，由矩形
ABCD(ABAD)
的周长为24，可知，宽
AB12x
.
设
PCa
，则
DPxa

12x72
x
2
12x72
所以
(12x) (xa)a
，可得
a
，
DPxa
.
x
x
112x72x
2
18x7272
所以
ADP
的面积
S(12x)66[(x)18]

2xxx
222
由基本不等式与不等式的性质
S≤6[27218]6(18122)108722

72
，即
x62
m时，
ADP
的面积最大，最大面积是
(108 722)
m
2
.
x
2、过点
C
作
CD AB
，交
AB
延长线于点
D
.
当
x
设
BCD

，
ACB

，
CDx
.
bcac
. 在
ACD
中，
tan(



)

xx
tan(



)tan

则
tan

tan[(



)
< br>]

1tan(



)tan

在
BCD
中，
tan



当且仅当
x
(ac)(bc)
，即
x(ac)(bc)
时，tan

取得最大，从而视角也最大.
x
第三章 复习参考题A组（P103）
1、
5112

.
12537
2、化简得
A

x2x3

，
B

xx4,或x2

，所以
AB

x2x3


3
3、当
k0
时，一元二次不等式
2kx< br>2
kx0
对一切实数
x
都成立，
8
3
即二次函数
y2kx
2
kx
在
x
轴下方，
8
3
k
2
4(2k)()0
，解之得：
3 k0
.
8
3
当
k0
时，二次函数
y2kx
2
kx
开口朝上
8
3
一元二次不等式
2kx
2
kx0
不可能对一切实数
x
都成立，
8
所以，
3k0
.

4x3y80

4、不等式组

x0
表示的平面区域的整点坐标是
(1,1 )
.

y0

5、设每天派出
A
型车
x
辆，
B
型车
y
辆，成本为
z
.

0≤x≤7

0≤y≤4

所以

，目标函数为
z160x252y


xy≤9


48x60y≥360
把
z 160x252y
变形为
y
401401
xz
，得到斜率 为

，在
y
轴上的截距为
z
，随
63252632 52
z
变化的一族平行直线. 在可行域的整点中，点
M(5,2)
使得
z
取得最小值. 所以每天派出A
型
车5辆，
B
型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.
1
6、设扇形的半径是
x
，扇形的弧长为
y
，因为
Sxy

2
扇形的周长为
Z2xy≥22xy4S

当
2xy
，即
x S
，
y2S
时，
Z
可以取得最小值，最小值为
4S
.
7、设扇形的半径是
x
，扇形的弧长为
y
，因为
P 2xy

1112xy
2
P
2
扇形的面积为
Z xy(2x)y≤(

)
244216

PPP
P
2
当
2xy
，即
x
，
y
时，
Z
可以取得最大值 ，半径为时扇形面积最大值为.
16
42
4
ssa
8、设汽车的运输成本为
y
，
y(bv
2
a)sbv

vv
当
sbv
aa
sa
≤c
时，
y
有最小值. 时 ，即
v
且
b
b
v
sasa
≥2sbv2sa b
，最小值为
2sab
.
vv

ysbv
当
a
sasa
>
c
时，由函数< br>ysbv
的单调性可知，
vc
时
y
有最小值，最小值为
sbc
.
b
vc
第三章 复习参考题B组（P103）
1、
D
2、（1）

xx2或2x或x6

（2）

xx≤1或≤x或x3



y
3
4

2
3
3
4

3、
m1

4、设生产裤子
x
条，裙子
y
条，收益为
z
.

xy≤10

2xy≤10


则目标函数 为
z20x40y
，所以约束条件为

xy≤6


x≥0



y≥0
10
6
x+y=1 0
x+y=6
O
56
10
2x+y=10
x
（第4 题）
5、因为
xy
是区域内的点到原点的距离的平方
所以，当


x2y40

3xy30

L
1
B
2
22
y
A
L
3L
2
即
x
A
2,y
A
3
时，x
2
y
2
的最大值为13.
4

x
4

5
当

时，
x
2
y
2
最小，最小值是.
5

y
2

5< br>
C
1
x
（第5题）
6、按第一种策略购物，设第一次购物 时的价格为
p
1
，购
n
kg，第二次购物时的价格为
p2
，
仍购
n
kg，按这种策略购物时两次购物的平均价格为
若按 第二种策略购物，第一次花
m
元钱，能购
p
1
np
2np
1
p
2
.

2n2
mm
kg 物品，第二次仍花
m
元钱，能购kg
p
1
p
2

物品，两次购物的平均价格为
2m2


mm11
< br>p
1
p
2
p
1
p
2
比较两次购物的 平均价格：
所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.
一般地，如果是
n
次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.