四川音乐学院招生网-流动人口婚育证明样本

空间几何体的表面积及体积公式大全
空间几何体的表面积与体积公式大全
一、 全(表)面积(含侧面积)
1、 柱体
① 棱柱
② 圆柱
2、 锥体
h

h

S
侧

ch

S
全
2
S
底

S
侧

S

S

1
‘

c
底
h
2
1
② 圆锥:
S
圆锥侧

c
底
l

2
① 棱锥:
S
棱锥侧

S
全

S
底

S
侧

h

S

h

S

3、 台体
‘
1
2
1
② 圆台:< br>S
棱台侧
(
c
上底

c
下底
)< br>l

2
① 棱台:
S
棱台侧
(
c
上底

c
下底
)h

S
全

S< br>上

S
侧

S
下

4、 球体
S
上

S
上

① 球:
S
球
4

r
2

② 球冠:略
③ 球缺:略
二、 体积
1、 柱体
h
'

l

S

下
S
下

① 棱柱
② 圆柱
2、 锥体
V
柱

Sh

S

h

h

S
h

S


① 棱锥
② 圆锥
3、 台体
V
柱

1
3
Sh

h

S




1
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

()



上

V
台
3
hS
上
SS
上
上
下
S
下
2
S
S
上

1
2


(
V
圆台
3
h
r
上

rr r
下下
)

h
'

h

l

空间几何体的表面积及体积公式大全
① 棱台
② 圆台
4、 球体
4
3
① 球:
V
球


r
3

② 球冠:略
③ 球缺:略
说明:棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高
h
'
计算;而圆锥、圆台的侧面
积计算时使用母线
l
计算。
三、 拓展提高
1、 祖暅原理:(祖暅:祖冲之的儿子)
夹在两个平行平面间的两个几何体,如果 它们在任意高度上的平行截面
面积都相等,那么这两个几何体的体积相等。
最早推导出球体体积的祖冲之父子便就是运用这个原理实现的。
2、 阿基米德原理:(圆柱容球)
圆柱容球原理:在一个高与底面直径都就是
2r
的圆柱形容器内装一个最大
的 球体,则该球体的全面积等于圆柱的侧面积,体积等于圆柱体积的。
分析:圆柱体积:
V圆柱

S
2
3
h
(

r
) 2r2

r

23
圆柱侧面积:
S
圆柱侧

c
2
3
h
(2

r)2r 4

r

2
因此:球体体积:
V
球
 2

r
3


r
3

球体表面积:
S
球
4

r
2

通过上述分析,我们可以得到一个很重要的关系(如图)


+
4
3
=
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空间几何体的表面积及体积公式大全
即底面直径与高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体
积之与
3、 台体体积公式
1
(
S
上

h
3
公式:
V
台

SS
上下

S
下
)

证明:如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形
ABCD
。
延长两侧棱相交于一点
P
。
设台体上底面积为
S
上
,下底面积为
S
下

高为
h
。
易知:
PDC
∽
PAB
, 设
PE
h
1
,
则
PF
h
1

h

由相似三角形的性质得:
即:
CDPE


ABPF
P

D

E

C

A

F

B

S
S
上
下

h

h
1
h
1
( 相似比等于面积比的算术平方根)
整理得:
h
1

Sh
S

S
上
下

上
又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积
∴
V
台

1111

（）()
ShShSS
下
h
1上
h
11
S
下上下
h
3333
代入:
h
1

即:
V
台

Sh
S

S
上
下
得:
V
台
上
1
3
Sh
(
S

SS
上
下上

S
上
)
下
1

S
下
h
3

S
下
)

1
(
S
上
h
3
1
∴
V
台

h
(
S
上

3
S
下

S S
上下
S
上
)

S
下
)
11
(
S
上

Sh
下
h
33
SS
上下
4、 球体体积公式推导
分析:将半球平行分成相同高度的若干层(n层
),
n
越大,每一层越近似于圆
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柱,
n
时,每一层都可以瞧作就是一个圆柱。这些圆柱的高为,则:
每个圆柱的体积
V
i

S
i
h
=

r
i
2

半球的体积等于这些圆柱的体积之与。
r
n
r
n
0
[1
0
]
r)
r
()
r
nn
11
r

r

(r)

r
[1
()
]

nn
2
[1
2
]


rr
(r)
r
()
nn
2
1
22

r

(
2
2
2
22
r
2



2
2
2
22
o

r
1
222
3
……
n1n1
r)

r
[1
()
]
< br>r

r

(
nn
r
∴半球体积为:
V


V


(
r

r......
r
)

n
01n1
r
=< br>

r
{n1[
()
.
()
... ..
()
]}

n
nnn

1

2
......
(n1)

0
=
r
[n ]

n
n
2
n
22
22
2
2n
半球n
1
22
222
2
2
22
2< br>3
2
1
(n1)n(2n1)

3
(n1)( 2n1)
3
6
=
r
[n]

[1]

r
22
n
6
nn
11
(1)(2)
3
nn
]



r
[1
6
1
当
n
时,
0

n
11
(1)( 2)
nn
]

3
(1
12
)
2

3
∴
V
半球


r
3
[1
r
663
r
4
∴球体积为:
V
球


r
3

3
5、 球体表面积公式推导
分析: 球体可以切割成若干(
n个
)近似棱锥,当
n
时,这些棱锥的高为球体
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半径,底面积为球面面积的,则每一个棱 锥的体积
V
1

小棱锥体积之与为球体体积。即有:
∴
S
球
4

r
2


6、
14
3

n

3n
S
球
r< br>3
r
1
n
11
,则所有的
3n
S
球
r
1
S
球
n
正六面体(正方体)与正四面体
（1） 体积关系
o
如图:正方体切下四个三棱锥后,
剩下的部分为正四面体
设正方体棱长为
a
,
则其体积为:
V
正方体

a

四个角上切下的每一个三棱锥体积为:
3
V
三棱锥

1
3
Sh
11
2
1
3
(
a
)
a

a

326
中间剩下的正四面体的体积为:
1

V
正三棱锥
3
Sh
11
[
(< br>32
2a)
2
sin60]
(2a)
2
(
22a
3)
32
2

1
3
3< br>a
这样一个正方体可以分成四个三棱锥与中间一个正四面体
即:
1
3
1
33

4
aaa
63
（2） 外接球
正方体与其体内最大的正四面 体有相同的外接球。(理由:过不共面的四
点确定一个球。)正方体与其体内最大的正面体有四个公共顶 点。所以它
们共球。
回顾:① 两点定线 ② 三点定面 ③ 三点定圆 ④ 四点定球
如图:
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(a)正方体的体对角线=球直径
(b)正四面体的外接球半径=高
(c)正四面体的棱长=正方体棱长

2

(d)正方体体积:正四面体体积=3:1
(e)正方体外接球半径与
正四面体外接球半径相等
（3） 正方体的内切球与正四面体的关系

（a） 正方体内切球直径=正方体棱长
（b） 正方体内切球与正四面体的四条棱相切。
（c） 与正四面体四条棱相切的球半径=正方体棱长的一半
（d） 设正四面体棱长为
a
,则与其棱都相切的球半径为
r
1

有:
r
1

7、
1
2
3
4
a
2

2

4
a
利用祖暅原理推导球体体积。
构造一个几何体,使其截面与半球截面处处相等,根据祖暅原理可得两物体
体积相等。
证明:作如下构造:在底面半径与高都就是
r
的圆柱内挖去一个与圆柱等底等
高的圆 锥。如图:


r
在半球与挖去圆锥后的组合体的相同截面上作研究,设圆 柱与半球底面半径
球1

h

h

r
锥1
h
R

均为
R
,截面高度均为,倒 圆锥的截面半径为
r
锥1
,半球截面半径为
r
球1
, 2
则:挖去圆锥后的组合体的截面为:
S
1


R2


r
锥

1
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2
半球截面面积为:
S
2


r
球

1
∵倒圆锥的底面半径与高 相等,由相似三角形易得:
r
锥1

h

在半球内,由勾股 定理易得:
r
球1

∴
S
1


R
2


h

2
R
2

h

2
2
S
2


R


h

2
即:
S
1

S
2
,也就就是说:半球与挖去倒圆锥后有圆柱在相同的高度 上有相同
的截面。
由祖暅原理可得:
V
1

V
2

所以半球 体积:
V
半球
ShShSh

R
2

R


R
3

即,球体体积:
V
球
2

R
3


R
3

8、 正方体与球
2
3
4
3
1
3
23
2
3
2
3
（1） 正方体的内切球

正方体的棱长
a

球体的直径
d


V
正方体

a

V
球


V
正方体
：

V
球
6:


（2） 正方体的外接球
正方体的体对角线
3
a

球体的直径
d


V
球

3
d

1

3

44
3


()
6
a
3

r
3
2
3
d

3

3

44
3


()
2
a
3

r< br>3
2
3

V
球
：

V
正方体
3

:2

（3） 规律:
①正方体的内切球与外接球的球心为同一点;
②正方体的内切球与外接球的球心在体对角线上;
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③正四面体的内切球与外接球的的半径之比为:
1:3

④正四面体内切球与外接球体积之比为:1:3
3

⑤正四面体内切球与外接球表面积之比为:1:3
⑥正方体外接球半径、正方体棱长、内切球半径比为:
3
:2:
1

⑦正四面体外接球、正四面体、内切球体积比为:
33

:6:
< br>
⑧正四面体外接球、正四面体、内切球表面积比为:
3

:6:

9、 正四面体与球
(1)正四面体的内切球
解题关键:利用体积关系思考
内切球的球心到各个 面的距离相等,球心与各顶
点的连线恰好把一个正四面体分成四个三棱锥,
每个三棱锥的底面为 原正四面体的底面,高为内
切球的半径
r
。
利用体积关系得:
4 （
所以:
r

11
2
11
2
sin60 )(
a
sin60)
h

a
r
3232
1
,其中
h
为正四面体的高。
4
h
由相关计算得:
h

16


ha
412
a
2

[
21
(a3)]
32
2

6

3
a
∴
r
即:
V
球

44
3


(

r
33
6
a)
12
3

6
3
a

216
V
正四面体

11
2< br>62
3

a
sin60

aa
323 12
∴
V
正四机体
：
V
球
18:3
< br>
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(2)正四面体的外接球
外接球的半径=
高
3
3
4
3
4
a
2

(
23
a)
32
2
=
6
a< br>
4

V
球

44
3


3

r
3
(
6
a)
4

6
3

a

8

V
正四面体

11
2
62
3
sin60

32
a
3
a
12
a
6

8
∴
V
球
:
V
正四面体

(3)规律:
a
3
:
2
3
33

:2

a
12
①正四面体的内切球与外接球的球心为同一点;
②正四面体的内切球与外接球的球心在高线上;
③正四面体的内切球与外接球的的半径之与等于高;
④正四面体的内切球与外接球的半径之比等于1:3
⑤正四面体内切球与外接球体积之比为:1:27
⑥正四面体内切球与外接球表面积之比为:1:9
⑦正四面体外接球半径、正四面体棱长、内 切球半径比为:
36
:12:
6

⑧正四面体外接球、正四面体、内 切球体积比为:
273

:18:3


⑨正四面体外接球 、正四面体、内切球表面积比为:
9

:62:


10、 圆柱与球
(1)圆柱容球(阿基米德圆柱容球模型)
圆柱高=底面直径=球的直径
球体体积=圆柱体积
球面面积=圆柱侧面积
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2
3

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(2)球容圆柱

球体直径、圆柱的高、圆柱底面直径构成直
角三角形。
设球体半径为
R
,圆柱高为
h
,
底面半径为
r

则有:
(2R)

h

(2r)
即:
R

2
22
h
2
4
r
2
2
四、 方法总结
下面举例说明立体几何的学习方法
例:已知正四面体的棱长为
a
,求它的内切球与外接球的半径

思 路:先分析球心的位置。因为正四面体就是特殊的四面体,显然内切球与外
接球的球心就是重合的。且就 是正四面体的高线交点。再分析球心与一些
特殊的点、线、面的位置、数量关系。在内切球这种情况下, 球心垂直于每
一个面,且到每一个面的距离相等;在外接球这种情况下,球心到每个顶点的
距离 相等。
方法1:展平分析:(最重要的方法)
如图:取立体图形中的关键平面图形进行分析！
连接DO并延长交平面ABC于点G,连接G
O
1

连接D
O
1
并延长交BC于点E,则A、G、E 三点共线。
在平面AED中,由相似知识可得:
B
E
F
O
D
A
O

1
A
C
O
D
1E
O
1

EG1


GA2
G
O
D
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B

E
O

1
C

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∴
G
O
1
AD
且
G
O
1
AD

1

3
O
O
1
AO

1

3
∴△GO
O
1
∽△DOA ∴
即:
AO A
O
1

h

3
4
3
43
4
66
aa

34
O
1
O11166
A
O
1

h
aa
444312
46
33




V
外 接球
3
DO
8
a

V
内切球

46
33

OO
1


a

3216
方法2:体积分析:(最灵活的方法)
如图:设正四面体ABCD的内切球球心为
O
,连接
AO、BO、CO、DO,则正四面体被分成四个完全一样的三棱锥。
设内切球半径为
r
,正四面体的棱长为
a

则正面四体的高 为:
h

a
2

(
23
a)
3 2
2

6
a

3
A
则:4个完全一样的三棱锥体积=正四面体体积
有:
4[(
∴
r
1
3
1
2
11
2
6
sin60) r](sin60)a

2
a
32
a
3
O
B
6
a

12
D
46
3
3

a
∴ V
内切球


r

3216
3
44< br>



(hr)
V
外接球
33
(
C
66
aa)
312
3

6
3
a

8
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方法3:方程分析:(最常见的做法)
如图:显然AO、DO就是外接球半径,O
O
1
就是内切球半径。
A
在Rt△DO
O
1
中,由勾股写得可得以下方程:
DO
2

OO
1

DO2
1

B
22
O
D
23
其中:
DO
1
a

32
DOD
O
1
A
O
1

h

6
a

3
O

1
C
代入方程解得:
DO
66
a
、
O
O
1
a

412< br>46
33




V
外接球
3DO
8
a

V
内切球

46
33< br>
OO
1


a

3216
方法4:补形分析(最巧妙的思考)
把正四面体补成正方体进行分析。如图:
此时,正四面体与正方体有共同的外接球。
正四面体的棱长为
a
,则正方体棱长
为:
a
2

正方体的外接球直径为其体对角线
∴
D
3(
a
2
)
6
a

2< br>∴正四面体的外接球半径为:
内切球半径为:
D
2

6
a

4
z

D
2

16
a

312
A

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B

O

D

空间几何体的表面积及体积公式大全
V
外接球

4 6
3
3

R


a

3846
3
3




V
内切球
3
r
216
a

方法5:坐标分析(最意外的解法)
建立如图所示的空间直角坐标系:
则A(0,0,
C(
a
,
1
2
63
a
),B(0,
a
,0),
33
33
1
a
,0),D(
a
,
a
,0), 设球心位置为O(
x
,
y
,
z
,)
66
2
2222
由
|OA||OB||OC||OD|R
得:
O A

OB

OC

OD

即:
x

2
y
2

(z
2
1

6

3

6

(xa)
a)
x< br>(ya)
z
(ya)
z
2
333
2
2< br>2
2
22
2
2
2

1
=
( xa)

(y
6
a)

z
2
3
解得:
xy0
,
z
4
3

66666
a
,即:
r
a
,
R
aaa

12123124
6
3

a

8
3
∴
V
外接球


R

46
3
3




V
内切球
3
r
216
a

主要方法:
一、 统一思想
1、 公式的统一
对 于每个几何形体的面积与体积公式,我们很想找出一个万能公
式全部适用于所有形体,但就是这只就是一 个理想状况,实际上不可
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空间几何体的表面积及体积公式大全
能,最多只可能适用于一部分而已。即使 就是这样,也只减小我们对公
式的记忆难度,增强学习的灵活性。
（1） 梯形的面积公式:
S
(ab)h
,同样适用于三角形、平行四边
形、长方形、正方形、扇形 的面积计算。只就是在使用时作微
调而已。在分析三角形时,上底变为0;分析长方形、正方形、平行四边形时,上下底变成一样;在分析扇形时,上底变为0,下底变
成弧长,高为半径。
（2） 台体的侧面积公式:
S
侧
(
c

c)
h
,同样适用于圆柱、棱柱、圆
锥、棱锥、球的侧面积计算。只就是在使用时作 微调而已。在
分析圆柱、棱柱时,上下底周长变成一样;在分析棱锥时,上底周
长变为0;在分 析圆锥时,上底周长变为0,斜高变成母线;在分析
球体的面积时,上下底都取最大圆的周长,高取直径 ,
即:
S
球
(2

r2

r)2r 4

r
2

（3） 台体的体积公式:
V
(S
上

1
3
1
2
1
2
''< br>1
2
S
上
S
下

S
下
)< br>h
,同样适用于圆柱、
'
棱柱、圆锥、棱锥、球的体积计算。只就是在使用时作 微调而
已。在分析圆柱、棱柱时,上下底面积变成一样;在分析棱锥时,
上底面积变为0;在分 析圆锥时,上底面积变为0;在分析球体的
体积时,上底面积取0,下底取最大圆面积的2倍,高取直径 ,
即:
S
球
(2

r
2
)2r

r
3

2、 字母的统一
在进行分析时,一般要把字母统一,这样便于进行比较！
3、 关系的统一
注意相似的关系:面积比等于相似比的平方,体积比等于相似比
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1
3
4
3

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的立方。球体、正方体、正多面体相似！
二、 转换思想
1、 平面与立体的转换
这就是立体几何的一种重要思想,即把立体的问题交给平面来
解决。但就是要在特殊的面中进行 ,有时还要把面与面的关系交
给线与线来分析。如二面角的大小研究,通常会作垂直于两面的
交 线的直线来分析。异面直线的有关系也要平移到同一面中研
究。在立体与平面的转换中平移就是一种很实 用的手段。通过
平移不在同一平面内的可转换为同一平面内,不垂直的可转换
为垂直来分析！
2、 位置的转换
3、 形体的转换
三、 特殊思想
1、 特殊点
（1） 中点:特殊的线的中点就是解题的钥匙！特别要关注！
（2） 顶点:几何体的顶点也就是重要的点,其连线在分析时很有
作用。
（3） 垂足:高与面交点就是比较特殊的点,解题时也要注意！
2、 特殊线
（1） 高线
（2） 中线
（3） 角平分线
3、 特殊面
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（1） 平行的面
（2） 垂直的面
（3） 二面角特殊的面
4、 特殊关系
（1） 相似关系
（2） 比值关系
四、 标准化思想
1、 三视图的规则
2、 斜二测画法的规则
3、 空间直角坐标规则
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