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圆锥曲线公式大全
1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

椭圆定义
焦点位置
椭圆的图象和性质
若
M
为椭圆上任 意一点，则有|MF
1
|+|MF
2
|=2a
x轴
y
图形



o

x
y
y轴


o


x
标准方程
焦点坐标
焦距
顶点坐标
a, b, c的关系式
长、短轴
对称轴
离心率
范围
x
2
y
2

2
1

2
ab
F
1
(c, 0 ), F
2
( c, 0 )
|F
1
F
2
| = 2c
(a, 0 ), ( 0, b )
a
2
= b
2
+ c
2

y
2
x
2

2
1

2
ab
F
1
(0, c, ), F
2
( 0, c )
(0, a ), ( b, 0 )
长轴长=2a, 短轴长=2b
，
长半轴长=a, 短半轴长=b
无论椭圆是x型还是y型，椭圆的焦点总是落在长轴上
关于x轴、y轴和原点对称
e
c
( 0 < e < 1)，离心率越大，椭圆越扁，反之，越圆
a
axa,byb

2
bxb
，
aya

2
2、判断椭圆是 x型还是y型只要看
x
对应的分母大还是
y2
对应的分母大，若
x
对应的分
母大则x型，若
y
2< br>对应的分母大则y型.
x
2
y
2
3、求椭圆方程一般先判定 椭圆是x型还是y型，若为x型则可设为
2

2
1
，若为y
ab
y
2
x
2
22
型则可设为
2
2
1
，若不知什么型且椭圆过两点，则设为稀里糊涂型：
mxny1

ab
4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质

双曲线的图象和性质

若
M
为双曲线上任意一点，则有
MF
1
MF
2
2a
(2a<2c)
双曲线定义 < br>若
MF
1
MF
2
2a
=2c,则点M的轨迹为两 条射线
若
MF
1
MF
2
2a
>2c, 则点M无轨迹
焦点位置

x轴 y轴
图形


标准方程
焦点坐标
焦距
顶点坐标

x
2
y
2

2
1

2
ab
F
1
(c, 0 ), F
2
( c, 0 )
|F
1
F
2
| = 2c
(a, 0 )
y
2
x
2

2
1

2
ab
F
1
(0, c, ), F
2
( 0, c )
(0, a )
a, b, c的关系式
椭圆形状长的像a,所以a是老大，a
2
= b
2
+ c
2
；
双曲线形状长的像c,所以c是老大，c
2
= a
2
+ b
2
实轴、虚轴
对称轴
离心率
范围
渐近线
实轴长=2a, 虚轴长=2b
，
实半轴长=a, 虚半轴长=b
无论双曲线是x型还是y型，双曲线的焦点总是落在实轴上
关于x轴、y轴和原点对称
e
c
( e >1)
a
ax或xa,yR

y
b
x

a
2
ay或ya
,
xR

y
2
a
x

b
2
2、判断双曲线是 x型还是y型只要看
x
前的符号是正还是
y
前的符号是正，若
x前的符
号为正则x型，若
y
前的符号为正则y型，同样的，哪个分母前的符号为正 ，则哪个分母
就为
a

2
2

x
2< br>y
2
3、求双曲线方程一般先判定双曲线是x型还是y型，若为x型则可设为
2

2
1
，若
ab
y
2
x
2为y型则可设为
2

2
1
，若不知什么型且双曲线过两点，则 设为稀里糊涂型：
ab
mx
2
ny
2
1(mn0)< br>
6、若已知双曲线一点坐标和渐近线方程
ymx
，则可设双曲线方程为y
2
m
2
x
2


(
< br>0)
，而后把点坐标代入求解
7、椭圆、双曲线、抛物线与直线
l:yk xb
的弦长公式：
AB(k
2
1)(x
1
x
2
)
2
(
1
2

1)(yy)
1 2
2
k
8、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法
9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤：
（1）假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程)，联立消y或x
(2)求出判别式，并设点使用伟大定理
（3）使用弦长公式
1、抛物线的定义：平面内有一定点F及一定直线l (F不在l上)P点是该平面内一动点，当
且仅当点P到F的距离与点P到直线l距离相等时，那么P的轨迹是以F为焦点，l为准线
的一条抛物 线.————见距离想定义！！！
2、（1）抛物线标准方程左边一定是x或y的平方（系数为1）， 右边一定是关于x和y的一
次项，如果抛物线方程不标准，立即化为标准方程！
（2）抛物线的一次项为x即为x型，一次项为y即为y型!
(3)抛物线的焦点坐标为一 次项系数的四分之一，准线与焦点坐标互为相反数！一次项为
x，则准线为”x=多少”， 一次项为y，则准线为”y=多少”!
(4)抛物线的开口看一次项的符号，一次项为正，则开口朝着 正半轴，一次项为负，则开
口朝着负半轴！
（5）抛物线的题目强烈建议画图，有图有真相，无图无真相！
2
3、求抛物线方程，如果只知x型，则设它为
yax

(a0)
,a>o,开口朝右；a<0,开口朝左；
2
如果只知y型，则 设它为
xay(a0)
,a>o,开口朝上；a<0,开口朝下。
4、抛物线简单的几何性质：

（尤其对称性的性质要认真研究应用 ，经常由线对称挖掘出点对称，从而推出垂直平分等潜
在条件！）
1、 抛物线的焦点弦，设
P(x
1,
y
1
),Q(x
2,
y
2)
，且P,Q为抛物线
y
2
2px
经过焦点的一条弦： p
2
（1）
P(x
1,
y
1
),Q(x
2,
y
2
)
两点坐标的关系：
y
1
y
2
p,x
1
x
2


4
2
（2 ）焦点弦长公式：
PQ(x
1
x
2
)p
=
2 p
（其中

为直线PQ的倾斜角大小）
2
sin

（3）垂直于对称轴的焦点弦称为是通径，通径长为2p
5、（1）直线与椭圆一个交点，则直线与椭圆相切。
（2）直线与双曲线一个交点，则 考虑两种情况：第一种是直线与双曲线相切；第二种是
直线与双曲线的渐近线平行。
（3 ）直线与抛物线一个交点，则考虑两种情况：第一种是直线与抛物线相切；第二种是
直线与抛物线的对称 轴平行。
（4）直线与抛物线的位置关系，理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定，实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察：直线与抛物线交于不
同两点< br>>0
；直线与抛物线交于一点
0
（相切）或直线平行于抛物线的对称轴；
直线与抛物线不相交
0

6、判断点与抛物线、椭圆位置关系：先把方程化为标准式，而后把点代入，若大于，线外，
等于线上， 小于线内。
7、在研究直线与双曲线，直线与椭圆，直线与抛物线位置关系时，若已知直线过一个点< br>(x
0
,y
0
)
时，往往设为点斜式：
yy
0
k(xx
0
)
，但是尤其要注意讨论斜率不存在的情
况！！ ！斜率不存在则设为
xx
0
.
11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题 ，一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联
立消去y求出判别式，检验判别式如果小于0，则直线 不存在！！！

1、 椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为
ac
， 最小距离为
ac
，椭圆上取得最大
距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。
2、 判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数：
（1） 若已知点在抛物线外，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有三条：相
切两条，与对称轴平行一条。
（2） 若已知点在抛物线上，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有两条：相
切一条，与对称轴平行一条。
（3） 若已知点在抛物线内，则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有一条：相
切0条，与对称轴平行一条。
（1） 动点的轨迹方程。
3、 求点的轨迹的五个步骤：
（1） 建立直角坐标系（在不知点坐标的情况下）。
（2） 设点：求什么点的轨迹就只能把该点设为（x,y）,不能设为其它形式的坐标！！！
（3） 根据直接法、代入法、定义法列出x和y的关系式。
（4） 化简关系式。
（5） 看看题目有没有什么限制条件，根据限制条件写出x或y 的范围！！！易错！！！
7、过椭 圆内部的一个点的直线必与椭圆相交，过双曲线或抛物线内部的一个点的直线
与双曲线或抛物线至少有一 个交点：与双曲线的渐近线平行，一个交点；不平行，
两个交点；与抛物线的对称轴平行，一个交点；不 平行，两个交点。