五岳之首-生活处处是课堂

八下平行四边形课本电子
版
Newly compiled on November 23, 2020

第十八章 平行四边形


平行四边形
与三 角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图
形，宏伟的建筑物、开关自如的栅栏门、别具一格的窗 平行四边形是常见的图形．小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护栏
棂……现实世界中 很多物体都有平行四边形的形象。为
等（图），都有平行四边形的形象．你还能举出一些例子吗 什么平行四边形形状的物体到处可见呢这与平行四边形
我们知道，两组对边分别平行的
的性 质有关。
四边形叫做平行四边形
前面我们学习了许多图形与几何的知识，掌握了一
（ parallelogram）．平行四边形用“”

平行四边形的性质
些探索和证明图形几何性质的方法。本章我们将进一步
由平行四边形的定义，我们知道平行 四边形的两组对边分别平行．除此之外，
学习平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，并在理
平行四边形还有什么性质呢
解它们之间关系的基础上，利用已有的几何知识和方

法 ，探索并证明它们的性质定理和判定定理；进一步体
探究
通过观察和度量，我们猜想：平行四边 形的对边相等；平行四边形的对角相

根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对 边分别平行”外，它的
会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类
等．下面我们对它进 行证明．
边之间还有什么关系它的角之间有什么关系度量一下，和你的猜想一致吗
比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过
上述猜想涉及线段相等、角相等．我们知
逻辑推理证明它们。
道，利用三角形全等得出全等三角形的对应


边、对应角相等，是证明线段相等、角相等
不添加辅助

的一种重要的方法． 为此，我们通过添加辅
已知平行四边
距离是几何中的重要度量之一．前面我们已经学习了点与点 之间的距离、
线，你能否直接运
助线，构造两个三角形，通过三角形全等进
形的一个内 角的度
点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的性质与概念，介绍两条
行证明．
平行线之间的距离．
证明：如图，连接
AC
.
如图，
ab
，
cd
，
c
，
d
与
a
，
b
分别相交于
A
，
B
，
C< br>，
D
四点．由
ADBC
，
ABCD
，
平行 四边形的概念和性质可知，四边形
ABCD
是平行四边形，
ABCD
．也就
是说，两条平行线之间的任何平行线段都相等．
又
AC
是
ABC
和
CDA
的公共边，
12
，
34
.
ABCCDA
．

两条平行线之
间的距离和点与点

从上面的结论我们可以知道 ，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的
点到另一条直线上的距离都相等．两条平行线中，一条直线 上任意一点到另一
条直线上的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图，
ab
，A
是
a
上的任
意一点，
ABb
，
B
是垂足，线段
AB
的长就是
a
，
b
之间的距离．


练习
上面我们研究了平行四边形的边、角这两个基本要素的性质，下面我们研1．在平行四边形
ABCD
中，
究平行四边形对角线的性质．

(1)
已知
AB5
，
BC3
，求它的周长；

探究

(2)
已知
A38
，求其余各内角的度数．
我们猜想，在平行四边形中，
OA
，
OBABCD
如图，在平行四边形
ABCD
中，连接，
BD
，
OD
．
AC
OC
2．如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉后
与证明平行四边形的对边相等，对角相等的方法类似，我们也可以通过三
并设它们相交于
O< br>点，
OA
与
OC
，
OB
与
OD
有< br>叠放在一起，重合的部分构成了一个四边
角形全等证明这个猜想．请你结合图完成证明．
由此我们又得到平行四边形的一个性质:
平行四边形的对角线互相平分．
例2 如图，在平行四边形
ABCD
中，
AB10
，
A D8
，
ACBC
，求
BC
，
CD
，
A C
，
OA
的长，以及平行四边形
ABCD
的面积．
解：四 边形
ABCD
是平行四边形，
BCAD8
，
CDAB10
．
ACBC
，
ABC
是直角三角形．
根据勾股定理，

ACAB
2
BC
2
 10
2
8
2
6
．
又
OAOC
，
OA
S
ABCD
1
AC3
，
2
BCAC
8648
．

练习
平行四边形的判定
．如图，在平行四边形
ABCD
中，
BC10
，
AC8
，
BD14
．
AOD
的

1
思考

周长是多少
ABC
与
DBC
的周长哪个长长多少
可以证明，这些逆定理都成立．这样我

通过前面的学习，我们知道，平行四边形 的对边相等、对角相等、对角线
2．如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
EF
过点
O
你能根据平行
下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全
们得到 平行四边形的判定定理：
互相平分．反过来，对边相等，或对角相等，或对角线互相平分的四边形就< br>且与
AB
，
CD
分别相交于
E
，
F
．求证
OEOF
．
四边形的定义证明
等进行证明．
两组对边分别相等的四边形是平行四边

如图，在四边形
ABCD
中 ，
AC
，
BD
相交于点
证明：
OAOC
，
OBOD
，
AODCOB
，
O
，且
OA OC
，
OBOD
．求证：四边形
AODCOB
．
OADOCB
．
ADBC
．
同理得
ABDC
．

四边形
ABCD
是平行四边形．
由上我们知道，平行四边形的判 定定理与相应的性质定理互为逆定理．也
就是说，当定理的条件与结论互换之后，所得命题依然成立．



例3 如图，平行四边形
ABCD
的对角线
你还有其他的
思考
BD< br>相交于
O
，
E
，
F
是
AC
上的两< br>AC
与
我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相
我们知道，两组对边分别 平行或相等的四边形是平行四边形，如果只考虑
点，并且
AECF
．求证：四边形< br>BFDE
是
等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗

平行四边形．

我们猜想这个结论正确，下面进行证明．
证明：四边 形
ABCD
是平行四边形，


如图，在四边形
ABCD
中，
ABCD
，
现在你有多少种
判定一个四边形
是平行四边形的
ABCD
．求证四边形
ABCD
是平行四边形．
证明：连接
AC
．

例4 如图，在平行 四边形
ABCD
中，
E
，
F
分别是
AB
，
CD
的中点．求
证：四边形
EBFD
是平行四边形．


证明：四边形
ABCD
是平行四边形，
练习
前面我们 研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的
ABCD
，
EB FD
．
1．如图，
ABDCEF
，
ADBC
，DECF
．图中有哪些互相平行的
性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四 边形研究三角形的有关
又

EB
1
AB
，
FD
1
CD
，
线段
22
2．如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
E
，
F
分别
问 题．
EBFD
．
是的中点．求证
，
AC
的中点， 连接
DE
．像
DE
这
OA
，
OC
DF< br>．
如图，在中，
D
，
BE
ABC
E
分别是
AB
3．为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行的夹在铁轨
样，连 接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
之间的枕木长相等就可以了．你能说出其中的道理吗
4．如图，在平行四边形
ABCD
中，
BD
是它的一条对角线，过< br>A
，
C
两点
一个三角形
分别作
AEBD
，
CFBD
，
E
，
F
为垂足．求证：四边形
AFC E
是平行
有几条中位线三
四边形．


探究
1
我们猜想，
DEBC
，
DEBC
．下面我们对它们进行证明．
观察图，你能发现的
ABC
中位线
2
DE
与边
BC
的位置关系吗度量一下，
如图，
D
，
E
分别是
ABC
的边
AB
，
AC
的中点．求证：
DEBC
且
与
BC
之间有什么数量关系
DE
DE
1
BC
．
2
分析：本题既要证明两条 线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的
长等于另一条线段长的一半．将
DE
延 长一倍后，可以将证明
DE
1
BC
转化
2
为延长后的线段 与
BC
相等．又由于
E
分别是
AC
的中点，根据对角线互相 平
分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证
明．


证明：

如图，延长到
DE
点
F
，使
通过上述证明，我们得到三角形中位线定理：
EFDE
，连接
FC
，
DC
，
AF
．
“”表示平行
且相等．
AEEC
，
DEEF
，

四边形
ADCF
是平行四边形，

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．

练习
习题
复习巩固
1．如图，在
ABC
中，
D
，
E，
F
分别是
AB
，
BC
，
CA
的中点 ．以这
1．如果四边形
ABCD
是平行四边形，
AB6
，且
AB
的长是平行四边形
ABCD
些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形
2．如图，直线
1
l
2
，在
l
1
，
l
2
上分别截取
AD
，
BC
，使
ADBC，连接
周长的
3
，那么
l
BC
的长是多少
1 6
AB
，
CD
．
AB
和
CD
有什么关系为 什么
2．如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板．如果光线与纸板右下方
3． 如 图，
A
，
B
两点被池塘隔开，在
AB
外选一点
C< br>，连接
AC
和
所成的
1
是
7215
，那么光线与纸板左上方所成的
2
是多少度为什么
BC
．怎样测出
A
，
B
两点间的距离根据是什么
3．如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于 点
O
，且
ACBD36
，
AB11
．求
O CD
的周长．
4． 如图，在平行四边形
ABCD
中，点
E
，
F
分别在
BC
，
AD
上，且
AFCE
．求证：四边形
AECF
是平行四边形．
5． 如图，平行四边形
ABC D
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
E
，
F
，
G
，
H
分别是
AO
，BO
，
CO
，
DO
的中点．求证：四边形
EFGH是平行四
边形．
6． 如图，四边形
AEFD
和
EBCF都是平行四边形．求证：四边形
ABCD
是平
行四边形．
7． 如图， 直线
l
1
l
2
，
ABC
与
DBC的面积相等吗为什么你还能画出一些与
ABC
面积相等的三角形吗
综合运用
8． 如图，平行四边形
OABC
的顶点
O
，
A
，
C
的坐标分别为
(0,0)
，
(a,0)
，
(b, c)
．求顶点
B
的坐标．
9． 如图，在梯形
ABCD
中，
ABCD
．
(1)
已知
AB
，求证
ADBC
；
(2)
已知
ADBC
，求证
AB
．

10． 如图，四边形
ABCD
是平行四边形，
ABC7 0
，
BE
平分
ABC
且交
AD
于点
E< br>，
DFBE
且交
BC
于点
F
．求
1
的大小．
11．如图，
A

B

BA
，
B

C

CB
，
C

A
AC
，
ABC
与
B

有什么关系线段
AB

与线段
AC

呢为什么
12． 如图，在四边形
ABCD
中，
AD12
，
DOOB5
，
AC26
，
ADB90
．求
BC
的长和四边形
ABCD
的面积．
13． 如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，有多少个平行四边形为什么
拓广探索
14． 如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点
O，用大头针
把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点
O
处，并使细木条可以 绕点
O
转动．拨动细木条，使它随意停留在任意位置．观察几次拨动的结果，你发现
了 什么证明你的发现．
15． 如图，在平行四边形
OABC
中，过对角线
B D
上一点
P
作
EFBC
，
GHAB
．图中哪两个平 行四边形面积相等为什么
特殊的平行四边形

上节我们研究了平行四边形，下 面我们通过平行四边形角、边的特殊化，研究
特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形．
矩形


我们先从角开始，如图，当平行四边形的
思考
对于 矩形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并
一个角为直角时，这时的平行四边形 是一个
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一
证明（请你 自己完成证明），矩形还有以下性质：
特殊的平行四边形．有一个角是直角的平行
矩形的四个角都是直角；
四边形叫做矩形（rectangle）．也就是长方
矩形的对角线相等．
上节我们 运用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，下面我们
用矩形的性质研究直角三角形的一个性质 ．

思考
如图，矩形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交
于点
O
．我们观察
RtABC
，在
RtABC

根据矩形的性质，我们知道，
BO
1BD
1
AC
．由此，我们得到直角三角
22
形的一个性质：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例1 如图 ，矩形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
上面我们研究了矩 形的性质，下面我们研究一下如何判定一个平行四边形或四
相交于点
O
，
A OB60
，
AB4
．求矩形对
边形是矩形．
角线的长． 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除此之外，还有没
解：四边形
A BCD
是矩形，
有其他判定方法呢

AC
与
BD
互相平分．
与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形的性质定理的逆命题，看
OAOB
．
看它们是否成立．

又
AOB60
，
思考
练习


可以发现并证明矩形的另一个判定定理：

1
我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形
．求证：矩 形的对角线相等．
有三个角是直角的四边形是矩形．
2．一个矩形的一条对角线长为
8
，两条对角线的一个交角为
120
．求这个矩
可以发现并证明矩形的一个判定定理：
例2 如图，在平行四边形
ABCD
中，对角 线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
形的边长（结果保留 小数点后两位）．

3
对角线相等的平行四边形是矩形．
．

OA
矩形是轴对称图形吗如果是，它有几条对称轴
OD
，
OAD 50
．求
OAB
的度数．
工人师傅在做门窗或矩形零件时，不仅要测量
解：四边形
ABCD
是矩形，
11
两组对边的长度是否分别相等，常常还要测量它
OAOCAC
，
O BODBD
．
思考
22
前面我们研究了矩形的四个角，知道它们 都是直角．它的逆命题成立吗即
又
OAOD
，
四个角都是直角的平行四边 形是矩形吗进一步，至少有几个角是直角的四边

四边形
ABCD
是矩形．
DAB90
.
又
OAD50
，
OAB40
.

练习


菱形

1．八年级（3）班的同学要在广场上布置一个
我们观察平行四边形的一组 邻边，如图，
矩形的花坛，计划用红花摆成对角线．如果一
条对角线用了
38
盆红花，还需要从花房运来多
当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是
少盆红花为什么如果一 条对角线用了
49
盆呢
2
一个特殊的平行四边形．有一组邻边相等的
． 如图，在平行四边形
ABC D
中，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，
 OAB
是等边三角

菱形也是常见的图形．一些门窗的窗格、美丽的中国结、 伸缩的衣帽架（图）
等都有菱形的现象．你还能举出一些例子吗

思考
对于菱形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．可以发现并证明
因为菱形是平行四边形 ，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一
（请你完成自己的证明），菱形还有以下性质：
组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
如图，比较菱形的对 角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把
菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形 通常只被分为两对全等的三角
形．
由菱形的两条对
角线的长，你能

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴．

解：花坛
ABCD
的形状是菱形，
20m
，例3 如图，菱形花 坛
ABCD
的边长为
11
，
ACBD
ABOAB C6030
．
，沿着菱形的对角线修建了两条小路
ABC60
22
中，
Rt OAB
和．求两条小路的长（结果保留小数点后
AC
在
BD
AO
11
AB2010
，
BO
22
AB
2AO
2
20
2
10
2
103
，

花坛的两条小路长
AC2AO20
(m)
，
BD2BO20
花坛的面积
S
ABCD
4S
OAB


3
34.64
(m)
．
1
ACBD

2003346.4
(m
2
)
．
2

练习
上面我们研究了菱形的性质，下面我们研究如 何判定一个平行四边形或四边形
1．四边形
ABCD
是菱形，对角线
AC，
BD
相交于点
O
，且
AB5
，
是菱形．< br>AO4

．求
AC
和
BD
的长．
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，还有没
有其他判定方法呢
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形的性质定理的逆定
理．看看它们是否成立．

思考
可以发现并证明菱形的一个判定定理：
我们知道，菱形的对角 线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例4 如图，在平行四边形
ABCD
中，对角线
AC
，
BD
相交于 点
O
，且
AB5
，
AO4
，
BO3
．求证：平行四边形
ABCD
是菱形．
解：
AB5
，
AO4
，
BO3
，
AB
2
AO
2
BO
2
．
OAB
是直角三角形，
ACBD
．

平行四边形
ABCD
是菱形．

思考
可以发现并证明菱形的另一个判定定理：
我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗
四条边相等的四边形是菱形．

练习
正方形

1．求证：
正方形


（square）是我们熟悉的几何图
思考
正方形是轴对

(1)
例5
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
求证：正方形的对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
称图形吗它的对称

正方形有哪些性质如何判定一个四边形是正方形把它们写出来，并与同学
形，它的四条边都 相等，四个角都是直

(2)
四条边相等的四边形是菱形．
已知：如图，四边 形
ABCD
是正方形，对角线
AC
，
BD
相交于点
O
．
2．一个平行四边形的一条边长是，两条对角线
求证：
ABO< br>，
BCO
，
CDO
，
9
DAO
是全等 的等腰直角三角形．
的长分别是
12
和
65
，这是一个特殊的平行 四边形
吗为什么求出它的面积．
3．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合

证明： 四边形
ABCD
是正方形，
图中共有多少
个等腰直角三
AC BD
，
ACBD
，
AOBOCODO
．
< br>ABO
，
BCO
，
CDO
，
DAO
都是等腰直角三角形，
并且
ABOBCO

CDODAO
.


思考
练习

正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系与同学们讨论一下，并

3．1
(1)
把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什
习题
满足下列条件的四边形是不是正方形为什么
复习巩固
（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；
么
（2）对角线互相垂直的矩形；
1．如图，平行四边形
ABCD
的对角线
AC
，
BD
相交于点
O
，且
12
．它
（3）对角线相等的菱形；

(2)
如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢
是一个矩形吗为什么
（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形．
2．求证：四个角都相等的四边形的矩形． < br>2．如图，
ABCD
是一块正方形场地．小华和小芳在
AB
边上取定了 一点
3．一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂
E
，测量知，
EC30m
，
EB10m
．这块场地的面积和对角线长分别 是
直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么
多少
4． 在
RtA BC
中，
C90
，
AB2AC
，求
A
，< br>B
的度数．
5．如图，四边形
ABCD
是菱形，
ACD 30
，
BD6
．求：
（1）
BAD
，
ABC
的度数；
（2）
AB
，
AC
的长．
6．如图，
AEBF< br>，
AC
平分
BAD
，且交
BF
于点
C，
BD
平分
ABC
，且
交
AE
于点
D
，连接
CD
．求证：四边形
ABCD
是菱形．
综合应用
RtABC
中,
ACB90
，
CDAB
于点
D
，
ACD3BCD
，9
7
．
．
如图，在
如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下
一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕应成多 少度
E
是斜边
AB
的中点．
ECD
是多少度为什么
的角
8．如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形

10．如图 ，四边形
ABCD
是菱形，点
M
，
N
分别在
AB< br>，
AD
上，且
BMDN
，
MGAD
，
NF AB
；点
F
，
G
分别在
BC
，
CD
上，
MG
与
NF
相交于点
E
．求证：四边形
AM EN
，
EFCG
都是菱形．
11． 如图，四边形
ABCD
是菱形，
AC8
，
DB6
，
DHAB
于点
H
．求
DH
的长．
12．
(1)
如下页图
(1)
，四边形
OBCD
是矩形，
O
，
B
，
D< br>三点的坐标分别是
(0,0)
，
(b,0)
，
(0,d)．求点
C
的坐标．
(2)
如下页图
(2)
，四边形< br>ABCD
是菱形，
C
，
D
两点的坐标分别是
(c,0 )
，
(0,d)
．点
A
，
B
在坐标轴上．求A
，
B
两点的坐标．
(3)
如下页图
(3)
，四边形
OBCD
是正方形，
O
，
D
两点的坐标分别是(0,0)
，
(0,d)
．求
B
，
C
两点的坐 标．
13． 如图，
E
，
F
，
M
，
N< br>分别是正方形
ABCD
四边上的点，且
AEBF
CMDN
．试判断四边形
EFMN
是什么图形，并证明你的结论．
14．如图，将等腰三角 形纸片
ABC
沿底边
BC
上的高
AD
剪成两个三角形．用< br>这两个三角形你能拼成多少种平行四边形试一试，分别求出它们的对角线长．
拓广探索
15．如图，四边形
ABCD
是正方形，
G
是
BC
上任意 一点，
DEAG
于点
E
，
BFDE
，且交
AG< br>于点
F
．求证：
AFBFEF
．

实验与探究
ABC
中，
BD
，
CE
分别是边
AC
， 16．如图，在
丰富多彩的正方形
AB
上的中线，
BD
与
CE
相交于点
O
．
BO
与
OD
的
我们 学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形．比较一下，哪种图形的性质最
长度有什么关系
BC< br>边上的中线是否一定过点
O
为什
多答案无疑是正方形．
么（提示：分 别作
BO
，
CO
的中点
M
，
N
，连接ME
，
DE
，
MN
，
ND
．）
17．如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉

正方形的四个角相等 、四条边相等、对角线相等且互相垂直平分．它的对称轴
比其他四边形都多，以后我们还会学到，它还是 中心对称图形．这些点使正方
例如，人们用边长为单位长度的正方形的面
形得到人们的喜爱和广泛应用．
积，作为度量其他图形面积的基本单位；人们也
下面是两个有关正方形的小实验，想一想其中的道理：
常利用正方形美化生活环境，比如，用正方形地
1.如图1，正方形
ABCD的对角线相交于点
O
，点
O
又是正方形
A
1
B
1
C
1
O
的一
砖镶嵌地面，不仅美观大方，而且施工简单易
个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形
A
1
B
1
C
1
O
绕点
O
怎样转
动，两个正方形重叠部分的面积，总 等于一个正方形面积的
为什么．
2.给你两个大小不等的正方形，你能通过切割把它们拼 接成一个大正方形吗
（参考图2）说明你的拼法的道理．
1
．想一想，这是
4
数学活动
活动1 折纸做
60
，
30
，
15
的角
如果我们身旁没有 量角器或三角尺，又需要作
60
，
30
，
15
等大小的角，
可以采用以下的方法（如图1）：

对折矩形纸片
ABCD
，使< br>AD
与重
(1)
通过证明可知，这是从矩形得到角的好方法，简单而准确．由此 ，
30
BC
15
，
合，得到折痕，把纸片展平．
EF
，
120
，
150
等角就很容易得到了．
60
活动2 黄金矩形
再一次折叠纸片，使点
A
落在
E F
上，
(2)
51
宽与长的比是
B
，得到折痕
（ 约为
BM
）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们
0.618
并使折痕经过点 ，同时，
2
以协调、匀称的美感．世界各国许多着名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都
采用黄金矩形的设计，如希腊的巴特农神庙（图2）等．
下面我们折叠出一个黄金矩形：