嘉华学院-年会主持人串词

乘法公式
一、平方差公式：（a+b）(a-b)=a
2
-b
2

要注意等式的特点：
（1）等式的左边是两个二项式的乘积，且这两个二项式中，有一项相同，
另一项互为相反数；
（2）等式的右边是一个二项式，且为两个因式中相同项的平方减去互为相
反数的项的平方．
值得注意的是，这个公式中的字母a，b可以表示数，也可以是单项式或多
项式．平方差公 式可以作为多项式乘以多项式的简便公式，也可以逆用做为快速
计算的工具．
例１ 下列各式中不能用平方差公式计算的是（ ）．
A．（a－b）（－a－b） B．（a
2
－b
2
）（a
2
＋b
2
）
C．（a＋b）（－a－b） D．（b
2
－a
2
）（－a
2
－b
2
）
解：Ｃ．根据上面平方差公式的结构特点，Ａ中，－b是相同的项，a与－a
是性质符号相 反的项，故可使用；Ｂ中a
2
是相同项，－b
2
与b
2
是互 为相反数符
合公式特点；同样Ｄ也符合．而Ｃ中的两个二项式互为相反数，不符合上述的等
式的 特征，因此不可使用平方差公式计算．
例２ 运用平方差公式计算：
（１）（ x
2
－y）（－y－ x
2
）；
（２）（a－3）（a
2
＋9）（a＋3）．
解：（１）（ x
2
－y）（－y－ x
2
）

＝（－y ＋ x
2
）（－y－ x
2
）
＝(－y)
2
－（ x
2
）
2

＝y
2
－

x
4
；
（２）（a－3）（a
2
＋9）（a＋3）
＝（a－3）（a＋3）（a
2
＋9）
＝（a
2
－3
2
）（a
2
＋9）
＝（a
2
－9）（a
2
＋9）
＝a
4
－81 ．

例３ 计算：
（１）54.5
2
－45.5
2
；
（２）(2x
2
+3x+1)(2x
2
-3x+1)．

分析：（１）中的式子具有平方差公式的右边的形式，可以逆用平方差公式；
（２）虽然没 有明显的符合平方差公式的特点，值得注意的是，平方差公式中的
字母a，b可以表示数，也可以是单项 式或多项式，我们可以把2x
2
+1看做公式
中字母a，以便能够利用公式．正如前文 所述，利用平方差可以简化整式的计算．

解：（１）54.5
2
－45.5
2

＝（54.5＋45.5）(54.5－45.5)

＝100×9
＝900 ；

（２）(2x
2
+3x+1)(2x
2
-3x+1)
=(2x
2
+1)
2
-(3x)
2

=4x
4
+4x
2
+1-9x
2
=4x
4
-5x
2
+1

二、完全平方公式： (a＋b)
2
＝a
2
＋2ab＋b
2

(a－b)
2
＝a
2
－2ab＋b
2
．

二项式的平方，等于其中每一项（连同它们前面的符号）的平方，加上这两
项积的两倍．

完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式，在有关代数式的变形和
求值 中应用广泛．正确运用完全平方公式就要抓住公式的结构特点，通过与平方
差公式的类比加深理解和记忆 ．运用中要防止出现（a±b）
2
＝a
2
±b
2
，或（a－ b）
2
＝a
2
－2ab－b
2
等错误．

需要指出的是，如同前面的平方差公式一样，这里的字母a，b可以表示数，
也可以是单项式或多项式．

例１ 利用完全平方公式计算：
（１）（－3a－5）
2
； （２）（a－b＋c）
2
．

分析：有关三项式的平方可以看作是二项式的平方，如（a－b＋c）
2
＝[（a
－b）＋c]
2
或[a－（b－c）]
2
，通过两次应用完全平方公 式来计算．

解：（１）（－3a－5）
2

＝（－3a）
2
－2×（－3a）×5 ＋ 5
2

＝9a
2
＋ 30a ＋ 25

（２）（a－b＋c）
2

＝[（a－b）＋c]
2

＝（a－b）
2
＋ 2（a－b）c + c
2

＝a
2
－2ab＋b
2
＋2ac－2bc + c
2

＝a
2
＋b
2
+ c
2
＋2ac－2ab－2bc ．

例２利用完全平方公式进行速算.
(1)101
2
(2)99
2

解: (1)101
2

分析:将101变形为(100+1)原式可
22
=(100+1)
2
利用完全平方公式来速算.
=100
2
+2×100×1+1
2

=10201

解: (2)99
2

分析:将99
2
变形为(100-1)
2
原式可
=(100-1)
2
利用完全平方公式来速算.
=100
2
-2×100×1+1
2

=9801

例３ 计算：
（１） 99
2
－98×100 ；（２）49×51－2 499 ．

解：（１）99
2
－98×100
＝（100－１）
2
－98×100
＝100
2
－２×100＋１－9800
＝10000 － 200－9800＋１
＝１；

（２）49×51－2499
＝（50－1）（50＋１）－2499
＝2500－1－2499

＝０．

例４ 已知a＋b＝8，ab＝10，求a2
＋b
2
，（a－b）
2
的值．

分析：由前面的公式变形可以知道：a
2
＋ b
2
＝(a＋b)
2
－2ab，(a－b)
2
＝(a
＋b)
2
－4ab．

解：由于a
2
＋ b
2
＝(a＋b)
2
－2ab，(a－b)
2
＝(a＋b)
2
－4ab．而a＋b＝8，
ab＝10

所以
a
2
＋ b
2
＝(a＋b)
2
－2ab＝ 8
2
－ 2× 10＝ 44
(a－b)
2
＝(a＋b)
2
－4ab＝8
2
－ 4× 10＝ 24 ．

三：练习

1．利用乘法公式进行计算：
(1) (x-1)(x+1)(x
2
+1)(x
4
+1) (2) (3x+2)
2
-(3x-5)
2
(3)
(x-2y+1)(x+2y-1)

(4) (2x+3y)
2
(2x-3y)
2
(5) (2x+3)
2
-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)
2

(6) (x+x+1)(x-x+1)

解：(1) 原式=(x
2
-1)(x
2
+1)(x
4
+1)
=(x
4
-1)(x
4
+1)
=x
8
-1.

(2)解法1：原式=(9x
2
+12x+4) -(9x
2
-30x+25)
=9x
2
+12x+4-9x
2
+30x-25
=42x-21

解法2：原式=[(3x+2)+(3x-5)][(3x+2) -(3x-5)]
=(6x-3)×7
=42x-21.

(3)原式=[x-(2y-1)][x+(2y-1)]
=x
2
-(2y-1)
2

=x
2
-(4y
2
-4y+1)
=x
2
-4y
2
+4y-1

(4)原式=[(2x+3y)(2x-3y)]
=(4x
2
-9y
2
)
2

=16x
4
-72x
2
y
2
+81y
4

2
22

(5) 原式=[(2x+3) -(3x-2)]
2

=(-x+5)
2

=x
2
-10x+25

(6) 原式=[(x
2
+1)+x][(x
2
+1) -x]
=(x
2
+1)
2
-x
2

=(x
4
+2x
2
+1) -x
2

=x
4
+x
2
+1

2．已知：a+b=5, ab=3，求：(1) (a-b)
2
；

解：(1) (a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab
=5
2
-4×3
=13

(2) a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab
=5
2
-2×3
=19.
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2
+b
2
；(2) a

选择题

1．在下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A、(x+1)(1+x) B、( a+b)(b- a)
C、(-a+b)(a-b) D、(x
2
-y)(x+y
2
)
2．下列各式计算正确的是（ ）
A、(a+4)(a-4)=a
2
-4 B、(2a+3)(2a-3)=2a
2
-9
C、(5ab+1)(5ab-1)=25a
2
b
2
-1 D、(a+2)(a-4)=a
2
-8
3．(- x+2y)(- x-2y)的计算结果是（ ）
A、 x-4y B、4y-
222
x
2
C、 x
2
+4y
2
D、- x
2
-4y
2

4．(abc+1)(-abc+1)(a< br>2
b
2
c
2
+1)的结果是（ ）。
A、a
4
b
4
c
4
-1 B、1-a
4
b
4
c
4

C、-1-a
4
b
4
c
4
D、1+a
4
b
4
c
4

5．下列各式计算中，结果错误的是（ ）
A、a(4a+1)+(2a+b)(b-2a)=a+b
2
.
B、

C、m-(5m+3n)(5m-3n)+6(2m-n)(n+2m)=3n
22
D、
答案与解析
答案：1、B 2、C 3、A 4、B 5、D

解析：
1．B． (
B。

a+b)(b- )=(b+ a)(b- a).符合平方差公式的特点，故选
2．C． (a+4)(a-4)=a
2
-4
2
=a
2
-16, 故A错；
(2a+3)(2a-3)=(2a)
2
-3
2=4a
2
-9，故B错。
(5ab+1)(5ab-1)=(5a b)
2
-1
2
=25a
2
b
2
-1，故C 正确；
(a+2)(a-4)=a
2
+(2-4)a+2´(-4)= a
2
-2a-8，故D错。

3．A．原式=(-

x)
2
-(2y)
2
= x
2
-4y
2
.
4．B．原式=(1+abc)(1-ab c)(1+a
2
b
2
c
2
)
= [1
2
-(abc)
2
](1+a
2
b
2
c
2
)
=(1-a
2
b
2
c< br>2
)(1+a
2
b
2
c
2
)
=1-a
4
b
4
c
4
.

5．D．
符号。
才正确，差一个
中考解析：
乘法公式
平方差公式
考点扫描:

熟练掌握平方差公式，灵活运用平方差公式进行计算．

名师精讲:

1．平方差公式：(a+b）(a–b)=a
2
–b
2
．即两个 数的和与这两个数的差的积
等于这两个数的平方差．平方差公式的左边是两个数的和与这两个数的差相乘 ，
而右边正好是这两个数的平方差．

2．平方差公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．

中考典例:

1．（湖北武汉）观察下列各式(x–1)(x+1)= x
2
–1,(x–1)(x
2
+x+1)=x
3
–1，(x
–1)(x
3
+x
2
+x+1)=x
4
–1，根据 前面各式的规律可得(x–1)(x
n
+x
n
–
1
+…+x+1)=___________．

考点：平方差公式的延伸

评析：该题是一个探索规律性的试题，要通过观察把握住给出的等式中的不
变量和变量与变 量间的变化规律．不难发现其结果为x
n+1
–1．

真题专练:

1．（广东省）化简：(x+y)(x–y)–x
2
= ．

2．（德阳市）化简：x
2
–(x+y)(x–y)

答案：1、原式=x
2
–y
2
–x
2
=–y< br>2
2、原式=x
2
–(x
2
–y
2
)=x
2
–x
2
+y
2
=y
2

完全平方公式
考点扫描:

熟练掌握完全平方公式，灵活运用完全平方公式进行计算

名师精讲:

1．完全平方公式：（a±b）
2
=a
2
±2ab+ b
2
，即：两数和（或差）的平方，等
于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的 2倍．

2．公式中的字母a、b，可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．公式
可推广：(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c2
+2ab+2ac+2bc．即三个数的和的平方，等于各个数的
平方和加上每两个数的 积的2倍．

3．如果一个多项式能化成另一个多项式的平方，就把这个多项式叫做完 全
平方式．如，a
2
±2ab+b
2
=(a±b)
2
；a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc=(a+ b+c)
2
，则a
2
±2ab+b
2
和a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2ac+2bc就叫做完全平方式．

中考典例:

1．（北京西城区）下列各式计算正确的是（ ）
A、(x–1)
2
=x
2
–2x+1 B、(x–1)
2
=x
2
–1
C、x
3
+x
3
=x
6
D、x
6
÷x
3
=x
2


考点：完全平方公式及幂的运算性质

评析：该题是考查学生对公式及幂的运算法则掌 握的情况，所以解决此题就

要对公式特别是完全平方公式及幂的运算法则掌握熟练，由完 全平方公式(a±
b)
2
=a
2
±2ab+b
2
可 以判定A对，B不对，由整式的加减可判定C不对，再根据同
底数幂除法的法则确定D也不对，因此只有 选A．

说明：当该题确定A选项后，其他选项也可以不考虑，因为数学试题中一般
不会出现多选题．

真题专练:

1．(上海市)下列计算中，正确的是（ ）
A、a
3
·a
2
=a
6
B、(a+b)(a–b)=a
2
–b
2

C、(a+b)
2
=a
2
+b
2
D、(a+b)(a–2b)=a
2
–ab–4b
2


2．（湖南长沙）下列关系式中，正确的是（ ）
A、(a–b)
2
=a
2
–b
2
B、(a+b)(a–b)=a
2
–b
2
．
C、(a+b)
2
=a
2
+b
2
D、(a+b)
2
=a
2
–2ab+b
2
．

3．（德阳市）已知x(x–1)–(x
2
–y)=–3求：

答案：

1、B 2、B
的值．

3、由x(x–1)–(x
2
–y)=–3得x–y=3，
= = ．当x–y=3时，原式= ．
课外拓展：
乘法公式漫谈
初一要学习两个乘 法公式，即平方差公式和完全平方公式，初学者对于各乘
法公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义往 往不易掌握，运用时容易混淆，
因此要学习好乘法公式，必须注意以下几点．

一、注意乘法公式的推导

乘法公式是直接计算特殊的多项式乘法得来的，即：

平方差公式：(a+b)(a-b)=a
2
-ab+ab-b
2
=a
2
-b
2
；

完全平方公式：(a +b)
2
=(a+b)(a+b)=a
2
+ab+ab+b
2
=a
2
+2ab+b
2

(a-b)
2
=(a-b)(a-b)=a
2
-ab- ab+b
2
=a
2
-2ab+b
2


由此可见，理解乘法公式要与多项式乘法联系起来，这样对公式才理解的深、
记得准、记得牢，一旦把公 式忘记了，自己也可以把公式推导出来．

二、注意掌握乘法公式的结构特征

乘法公式的结构特征是各公式的本质所在．在学习时，应仔细观察其结构特
征，并会用语言加以表述．

平方差公式：(a+b)(a-b)＝a
2
-b
2
；

结构特征：公式的左边是两个数和与这两个数差的积，而右边是这两个数的
平方差．

完全平方公式：(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
.

结构特征：公式的左边是两个数的和(或差)的平方，而右边是这两个数的平
方 和加上(或减去)这两个数的积的2倍．

三、注意弄清乘法公式中的字母含义

公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式，只要符合
公式 的结构特征，就可以利用公式．例如：
(2m+5n)(2m-5n)=(2m)
2< br>-(5n)
2
=4m
2
-25n
2
.
(4x+3y)
2
=(4x)
2
+2·4x·3y+(3y)
2=16x
2
+24xy+9y
2
.

四、注意运用公式容易出现的错误

在学习中不少同学经常出现如下错误：
(1)(a+b)(a+b)=a
2
+b
2
；
(2)(a+ b)
2
＝a
2
+b
2
；(a-b)
2
＝a
2
-b
2
．

错误(1)的原因是模仿平方差公式 所至，切记只有平方差公式，没有平方和
公式；错误(2)的原因是与积的平方(ab)
2=a
2
b
2
相混淆．对于这些错误，同学们只
要利用多项式的乘 法计算一下，即可得到验证．

五、注意掌握公式的形式变形

平方差公式的常见变形：

(1)位置变化：(a+b)(-b+a)＝_________；

(2)符号变化：(-a-b)(a-b)=_________；

(3)系数变化：(3a+2b)(3a-2b)＝_________；

(4)指 数变化：(a
3
+b
2
)(a
3
-b
2
) ＝_________；

(5)项数变化：(a+2b-c)(a-2b+c)=_________；

(6 )连用变化：(a+b)(a-b)(a
2
+b
2
)=_________.

只要掌握了平方差公式的结构特征，这些变形即可得解。

完全平方公式的常见变形：

(1)a
2
+b
2
＝ (a+b)
2
-2ab＝(a-b)
2
+2ab；

(2)(a+b)
2
+(a-b)
2
=2(a
2
+b
2
)；

(3)(a+b)
2
-(a-b)
2
＝4ab．

这些变形应用十分广泛，因而要熟记这些变形公式．

六、注意公式的灵活运用

1．连续运用乘法公式．

例1计算(x+3)(x-3)(x
2
+9)．

解：原式＝(x
2
-9)(x
2
+9)＝x
4
-81．

例2计算(m+n)(m-n)(m
2
-n
2
)．

解：原式=(m
2
-n
2
)(m
2
-n
2
)＝(m
2
-n
2
)
2
＝m
4
-2m
2
n
2
+n
4
．

说明：例1是两次运用平方差公式；例2是先运用平方差公式，再运用完全
平方公式．

2．灵活选用乘法公式．

例3计算[(x+3y)(x-3y)]
2
．

分析：本题若先根据 积的乘方性质，再用完全平方公式计算比较复杂，而先
用平方差公式，再运用完全平方公式，简捷明快， 富有较强的灵活性．

解：原式=(x
2
-9y
2
)
2
=x
4
-18x
2
y
2
+81y4
.

3．逆用乘法公式．

例4计算(1-y)
2
-(1+y)
2
．

分析：本题的常规解法是先用完全平方公式将(1-y)
2
和(1+y)
2
展开，再合并
同类项，若能想到平方差公式逆用，其解法非常简便。

解：原式=[(1-y)+(1+y)][(1-y)-(1+y)]=-4y.

4．变形运用乘法公式

例5．已知x+y=4，且x-y=10，则2xy=________.(天津市中考题)

分析：本题的常规解法是解二元一次方程组，而运用完全平方公式的变形公
式求解，会更巧妙、灵活。

解：∵ 4xy=(x+y)
2
-(x-y)
2
=16-100=-84.
∴ 2xy=-42.