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乘法公式的几何背景
1、如图所示可以验证哪个乘法公式用式子表示为 ．
第2题
2、如图所示，用该几何图形的面积可以表示的乘法公式是 ．
3、如图，图①是边长为a的正方形中有一个边长是b的小正方形，图②是将图①中的阴影
部分剪拼成的一个等腰梯形，比较图①和图②阴影部分的面积，可验证的是 ．






第4题图
4、用该几何图形的面积可以表示的等量关系是 ．

5、如图：边长为
a，b
的两个正方形，边保持平行，如果从大正方形中 剪去小正方形，剩
下的图形可以分割成4个大小相等的梯形．请你计算出两个阴影部分的面积，同时说明 可
以验证哪一个乘法公式的几何意义．

6、如图1，A、B、C是三种不同型号的 卡片，其中A型是边长为
a
的正方形，B型是长为
b
、宽为a的长方形，C是 边长是
b
的正方形．









7、小杰同学用1A型、2B型和1C型卡片拼出了一个新的图形（如 图2）．请根据这个图形
的面积关系写出一个你所熟悉的公式是 ．
8、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．

（1）你认为图1的长方形面积等于 ；
（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．请用两种不同的方法求图2中 阴影部分的面
积．
方法1：
方法2：
（3）观察图2直接写出代数式（a+b）2、（a-b）2、ab之间的等量关系；
（4） 把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表
示．求两块阴影部分 的周长和（用含m、n的代数式表示）．





< br>9、如图，ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线EF、GH分别平行于AB、
BC，交两组对边于E、F、G、H，则四边形PEDG，四边形PHBF都是正方形，四边形PEAH、四边形PGCF都是矩形，设正方形PEDG的边长是a，正方形PHBF的边长是b． 请动手
实践并得出结论：
（1）请你动手测量一些线段的长后，计算正方形PEDG与正方形 PHBF的面积之和以及矩
形PEAH与矩形PGCF的面积之和．
（2）你能根据（1）的 结果判断
a
2
+b
2
与2
ab
的大小吗？
（3）当点P在什么位置时，有
a
2
+b
2
=
2
ab
？

1.5平方差公式
一、点击公式

ab

ab

= ，

ab

ba

= ，

ab

ab

= .

ab

ba

= ，

ab

ab

= ，

ab

ba

= .
二、公式运用
1、化简计算：
（1）
(x
1
4
2
2
12
（
x
-2）（
x
4
+16）（
x
+2）（
x
2
+4）
y)(xy
2
)
（2）
343




（3）
(ab)(ab)

ab

(ab)
（4 ）


1

1

ab

a b



3a2b

3a2b



2

2






2、简便计算
（1）899×901+1 （2）99.9×100.1-99.8×100.2 （3）2006×2008-2007
2

2000
2
（5）9×11×101×10001

4

199920011






课时测试——基础篇
1、下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A、
(ab)(ab)
B、
(x2)(2x)
C、
(xy)(y
2、已知 (
x - ay
) (
x + ay
)
= x
2
- 16y
2

, 那么
a
= 。

3、化简：
xy
1
3
1
x
)
D、
(x2)(x1)

3

mm

x< br>2m
y
2m
x
m
y
m
= 。

4、用平方差公式计算
（1）
(2xy)

y2x

(y3x)(3xy)

（2）
2004

2003

2005

2



（3）
(1)(1)(1)(1



5、先化简，再求值：(3+
m
)(3-
m
) +
m
(
m
-6)-7，其中
m
=



6、若
a
1
2
1
2
1
411
)
2

（4）
(2+1) (2
2
+1) (2
4
+1)…(2
16
+1)+1

1616
1

2
20072008
，
b
，试不用
将分数化小数的方法比较
a
、
b
的大小．
．．
20082009

拓展篇
22
1、计算：（1）


ab

2





ab


2


（2）
100
2
- 99
2
+98
2
-97
2
+…+2
2
-1
2



（3）
(1
1
2
2< br>)(1
1
3
2
)(1
1
4
2
) (1
1
99
2
)(1
1
100
2
)




2、请你估计一下,
(2
2< br>1)(3
2
1)(4
2
1)

(99
2
1)(100
2
1)
1
2
2
2
 3
2
4
2

99
2
100
2
的值应该最接近于 （
A、 1 B、
1
2
C、
1
100
D、
1
200




1.6完全平方公式
一、点击公式
1、

ab

2
= ，

ab

2
= ，

ab

ba

= . < br>2、
a
2
b
2


ab
2
+ =

ab

2
+ . 3、

ab

2


ab

2
= .
二、公式运用
1、计算化简

）

（1）
2


2xy< br>
2


2xy

2xy


（2）
(xy)(xy)(xy)
2


(3)
1(12x)



（4）

2xy3z

2xy3z

（5）

2ab1

2ab1



2、简便计算：
（1）（-69.9）
2
（2）47
2
-94×27+27
2



3、公式变形应用：
在公式
（a
±
b）
2
= a
2
±
2ab+b
2
中，如果我们把
a+b
，a-b
，
a
2
+b
2
，
ab
分别看做 一个整
体，那么
只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值．
（1）已知a+b
=2，代数式
a
2
-
b
2
+2
a
+8
b
+5的值为 ，已知
x
式
（< br>x
+
y
）
2
-（
x
-
y
）
2
的值为 ，已知2
x
-
y
-3= 0，求代数式12
x
2
-12
xy
+3
y
2
的值
是 ，已知
x=y
+4，求代数式2
x
2
-4
x
y+2
y
2
-25的值是 .
（2）已知
ab3
，
ab1
，则
ab
＝ ，
ab
= ；若
ab5
，
ab4
，< br>22
44
1125
,y,
代数
7522
则
ab
的值为______；

ab

8
，

ab

2
，
则
ab
=_______.

22
22
（3）已知：
x+y
=-6，
xy
= 2，求代数式（
x-y
）
2
的值．
（4）已知
x+y=-4，
x-y
=8，求代数式
x
2
-y
2
的 值．
（5已知
a+b
=3，
a
2
+
b
2
=5，求
ab
的值.
（6） 若

x2



x3

15
，求

2x

x3

的值.
22
（7）已知
x-y
=8，
xy
=-15，求的值. < br>（8）已知：
a
2
+b
2
=2，
ab
=-2 ，求：（
a-b
）
2
的值．

4、配方法（整式乘法的完全平方公式的反用）
我们知道， 配方是一种非常重要的数学方法，它的运用非常广泛．学好它，对于中学生来说
显得尤为重要．试用配方 法解决下列问题吧!
（1） 如果
yx
2
x
5
，当
x
为任意的有理数，则
y
的值为（ ）
2
A、有理数 B、可能是正数，也可能是负数 C、正数 D、负数
（2）多项式
9
x
1
加上一个单项式后成为一个整式的 完全平方，那么加上的这个单项式
2
是 ．(填上所有你认为是正确的答案)

（3）试证明：不论
x
取何值，代数< br>x
2
+4
x
+
（4）若 2
x
2
- 8
x
+14=
k
，求
k
的最小值．
（5）若x
2
-8
x
+12-
k
=0，求2
x
+
k
的最小值．
2
9
的值总大于0．
2
x
2
y
2
xy
的值. （6）已知
x
(
x
1)

(
xy
)

2
，求
2
（7）已知
a
2
b
2

a
2

b
2

16

10ab
， 那么
a
2
b
2

；
（ 8）若关于
x
的一元一次方程
axb50
的解为
x2
，求
4ab4ab2ab3
22
的
值.
（9）若< br>m
2
+2mn+2n
2
-6n+9=0
，求
m
和
n
的值．
（10）若△ABC的三边为
a,b,c,
并满足< br>abcabbcca
，试问三角形ABC
222
为何种三角形？

课时测试——基础篇
1、下列式子中是完全平方式的是（ ）
A、
aabb
B、
a2a2
C、
a2bb
D、
a2a1

2、
x
2
ax
16
是一个完全平方式，则
a
的值为（ ）

2
222222
Ａ、４ Ｂ、８ Ｃ、４或—４ Ｄ、８或—８
3、已知
y
+2
x
=1，代数式（
y
+1）
2
-（
y
2
-4
x
）的值是 .
4、
化简求值：
[(
x+y
)²-(
x-y
) ²
+
2
x²y
]÷(-4y)
其中
x=
-2.

5、当
x2
,
y




5
2
时，求
[

2xy



2 xy

2xy

4xy]

2x
< br>的值.
2
拓展篇
1、若
a
1111

2
，则
a
2

2
的值是 ，
a
4

4
的值是 ，
a
的值是 ，
aaa
a
1
的值是 .


4
a
13
2、
若
ab
，
a3b1
，则
3a
2
12ab9b
2

的值是( )
55
224
A、 B、 C、 D、
0
935
a
4

3、已知
3
xx
1
，则代数式
9x12x3x7x1999
的值是( )
3432
A、1997 B、1999 C、2003 D、004
4 、若
Mx
2
x
1
x
2
x
1，
Nxx1xx1
(
x0
)，则
M
与N
的
2222


大小关系是( )
A、
MN
B、
MN
C、
MN
D、无法确定
222
5、若
3abc

abc

，则
a,b,c
三者的关系为（ ）
2

A、
abbc
B、
abc1
C、
abc
D、
abbcca

6、计算：
（1）

abc

（2）(
a-b+c-d
)(
c-a-d-b
) (3)

a2b3c

3ca2b


27、已知
x
2

2
x
2
，求代数式

x1



x3

x3


x3

x1

的值．
2

8、求代数式3
x
2
+6
x
-5的最小值.





9、证明
x
2
-4
x
+5的值不小于1.






10、解方程：
(1

3
x
)

(2
x
1)

13(
x
1)(
x
1)

22





11、已知：
x
2
+3
x
+1=0， 求
x
2
1
x
2
的值．






12、已知
x
2
-5
x
- 1=0，求：（1）
x
2
11
2
（2）
2x5x
22
xx









拓展——立方和、立方差公式
一、探究应用：
（1）计算（
a
-2）（
a
2
+2
a
+4 ）= ；（2
x
-
y
）（4
x
2< br>+2
xy
+
y
2
）= ．

（2）上面的整式计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式是 （请
用含a．b的字母表示）．
（3）下列各式能用你发现的计算的是 ．
A．（
a
-3）（
a
2
-3
a
+9） B．（2
m
-
n
）（2
m
2
+2
mn+
n
2
）
C．（4-x）（16+4
x
+
x
2
） D．（
m-n
）（
m2+2mn+n
2
）
（4）直接用计 算：（3
x
-2
y
）（9
x
2
+6
xy< br>+4
y
2
）= ；（2
m
-3）（4
m
2
+6
m
+9）
= ．
二、立方和、立方差公式的应用
2
24
1
的因数中两位的正因数有 个.
已知实数x ，y满足方程组
x
3
+y
3
=19，
x+y
=1， 求值：（1）
xy
已知
x+y
=1，求代数式
x
3
+y
3
+3xy
的值．

（2）
x
2
+y
2
．