初中数学乘法公式例题解析
二级建造师挂靠注意事项-记一个高尚的人
初中数学乘法公式例题解析
乘法公式例题解析
新课指南
1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和
(x+a)(x+b)=x<
br>2
+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.
2.过
程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b
)x+ab
的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.
3.情感态度与价值观：(1)通
过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式
的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般
的思维能力；(2)通过乘法公式的几何
背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法
的能力.
4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
,(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
.难点
是公式中
字母的广泛含义.
教材解读 精华要义
数学与生活
如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，
(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；
(2)某同学将阴影部分拼成了一个长
方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽
分别是多少？请你表示出它的面积？
(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？
1 21
初中数学乘法公式例题解析
思考讨论 由图15－16(1)可知，阴影部
分的面积为(a
2
-b
2
)，由图15－16(2)可知，
拼成长方
形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，<
br>故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
那么如何
证明呢？
知识详解
知识点1 平方差公式及其导出
平方差公式是指(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
.
这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.
经过计算，同学们首先发现，四个
小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的
结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形
式.
为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有
非常
特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.
归纳类似的多项式相乘的式
子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a
2
-a
2
.
直
接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a
2
-ab+ab-b
2
=a
2
-b
2
.
【注意】 a,b仅仅是一个符号，它们可以表
示数，也可以表示式子（单项式、多项式
等），只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.
认识公式的特征至关重要.
平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，
而公式的右边恰好
是这两个数的平方差.
知识规律小结 （1）在应用公式(a+b)(a
-b)=a
2
-b
2
时，需仔细识别公式中的a与b，
例如：(2x
+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看<
br>成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：
(2x+
3)(2x-3)=(2x)
2
-3
2
=4x
2
-9； <
br>(-m+2n)(-m-2n)=(-m)
2
-(2n)
2
=m
2
-4n
2
；
(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)
2
-(3a)
2
=4b
2
-9a
2
.
2
21
初中数学乘法公式例题解析
(2)在51×49中，a=
51495149
=50，b==1，
2
2
∴51×49=(50+1)(50-1)=50
2
-1
2
=24
99.
知识点2 完全平方公式及其推导
探究交流
计算下列各式，你能发现什么规律？
(1)(p+1)
2
=(p+1)(p+1)= ；
(2)(m+2)
2
= ；
(3)(p-1)
2
=(p-1)(p-1)= ；
(4)(m-2)
2
= .
点拨
两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的
2倍.
一般地，我们有：
(a+b)
2
= a
2
+2ab+b<
br>2
,(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
.
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫
做(乘
法的)完全平方公式.
例如：(2x+3)
2
=(2x)
2
+2·
2x·3+3
2
=4x
2
+12x+9，
(3m-4)
2
=(3m)
2
-2·3m·4+4
2
=9m
2
-2
4m+16.
在记忆公式(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之
处在于两个数的平方和，不同之处在于
中间项的符号不同，计算时要注意.如：
(x-2y)
2
=x
2
-2
·x·2y+(2y)
2
=x
2
-4xy+4y
2
.
说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：
(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b
2
=
a
2
+2ab+b
2
.
同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.
3 21
初中数学乘法公式例题解析
由图(1)可知，(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
，
由图(2)可知，(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
.
知识点3
添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；
如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.
【说明】
添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检
验.
知识点4
公式(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab
公式(x+a)(x+b)
=x
2
+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.
(x+a)(x+b)
=x
2
+bx+ax+ab
=x
2
+(a+b)x+ab.
例如：(x+2)(x+3)=x
2
+(2+3)x+2×3=x
2
+5x+6，
(x+2)(x-3)=x
2
+(2-3)x+2×(-3)=x
2
-x-6.
【注意】
注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.
典例剖析 师生互动
基本知识应用题
本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并
能运
用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab.
4 21
初中数学乘法公式例题解析
例1
运用平方差公式计算.
(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)
(-x+2y)(-x-2y).
(分析) (1)中，把3x看作a，2看作b；(2)中，2
a看作a，b看作b；(3)中，-x看
作 a，2y看作b.
解：(1)(3x+2)(3
x-2)=(3x)
2
-2
2
=9x
2
-4.
(
2)(b+2a)(2a-b)=(2a)
2
-b
2
=4a
2
-b
2
.
(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)
2
-
(2y)
2
=x
2
-4y
2
例2
运用完全平方公式计算.
(1)(4m+n)
2
；
(2)(y-
1
2
).
2
(分析) 主要是正确地应用公式.
解：(1)(4m+n)
2
=(4m)
2
+2·4m·n+n
2
=16m
2
+8mn+n
2
.
(2)(y-
1111
)2=y
2
-2y·+()
2
=y
2
-y
+.
2224
【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a
2
-b2
和(a±b)
2
=a
2
±2ab+b
2
时，
关键是看清题目中
哪一个是公式中的a，哪一个是公式中的b.
例3 运用乘法公式计算.
(1)102×98； (2)102
2
； (3)99
2
. (分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，102×98=(100+2)(100-2)；(2)中，<
br>102
2
=(100+2)
2
；(3)中，99
2
=
(100-1)
2
，然后利用公式计算即可.
解：(1)102×98=(100+
2)(100-2)=100
2
-2
2
=10000-4=9996. (2)102
2
=(100+2)
2
=100
2
+2×
100×2+2
2
=10000+400+4=10404.
(3)99
2
=(100-1)
2
=100
2
-2×100×1+1
2<
br>=10000-200+1=9801.
例4 计算.
(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).
(分析)本题主要考查
公式(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab的应用.
5 21
初中数学乘法公式例题解析
解：(1)(m-5)(m+3)
=m
2
+[(-5)+3]m+(-5)·3
=m
2
-2m-15.
(2)(2x-3)(2x-4)
=(2x)
2
+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)
=4x
2
-14x+12.
综合应用题
本节知识的综合应用主要
包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)
与不等式的综合应用.
例5 计算.
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；
(2)(a+b+c)
2
；
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).
(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a，
(2
y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公
式(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab.
解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]
=x
2
-(2y-3)
2
=x
2
-(4y
2-12y+9)
=x
2
-4y
2
+12y-9.
(
2)(a+b+c)
2
=[(a+b)+c]
2
=(a+b)
2+2(a+b)c+c
2
=a
2
+2ab+b
2
+2ac+2bc+c
2
.
(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y
2
-4)-(y
2
+4y-5)
=y
2
-4-y
2
-4y+5=-4y+1.
例6
计算.
(1)(b-2)(b
2
+4)(b+2)；
(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).
(分析)
(1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.
6 21
初中数学乘法公式例题解析
解：(1)(b-2)(b
2
+
4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b
2
+4)
=(b
2
-4)(b
2
+4)=b
4
-16. <
br>(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a
2
-b2
)-(9a
2
-4b
2
)
=4a
2
-b
2
-9a
2
+4b
2
=-5a
2
+
3b
2
.
学生做一做 计算.
(1)(
111
-x)(+x
2
)(x+)；
(2)(x+3)
2
-(x+2)(x-2).
242
1
4
老师评一评 (1)原式=-x；
(2)原式=6x+13.
16
例7 解方程
2(x-2)+x
2
=(x+1)(x-1)+x
(分析)
熟练应用整式的乘法公式.
解：2x-4+x
2
=x
2
-1+x，
2x+x
2
-x
2
-x=-1+4，
∴x=3.
例8 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7).
(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.
解：x
2
-3x＞x
2
-49，
x
2
-3x-x
2
＞-49，
-3x＞-49，
∴x＜
49
.
3
探索与创新题
主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.
例9
计算1998
2
-1997×1999.
(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，
1997×1999=(1998-1)(1998+1).
解：1998
2
-1997×1999
7 21
初中数学乘法公式例题解析
=1998
2
-(1998-1)(1998+1)
=1998
2
-(1998
2
-1)
=1998
2
-1998
2
+1
=1.
学生做一做 计算
2003
.
2003
2
20042002
2003
2003
2
(20031)(20031)
2003
2003
2
(2003
2
1)
老师评一评
原式=
=
2003
2003
2
2003
2
1
2003
=
1
=
=2003.
例10 计算(2+1)(2
2
+1
)(2
4
+1)…(2
2n
+1).
(分析)要计算本题，一般先
计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂
的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式
来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除
以(2-1)即可.
(21)(21)(
2
2
1)(2
4
1)(2
2n
1)
解：原
式=
21
=(2
2
-1)(2
2
+1)(2
4
+1)…(2
2n
+1)
=(2
4
-1)(2
4
+1)…(2
2n
+1)
=(2
2n
)
2
-1
=2
4n
-1.
学生做一做 计算.
(1)3·(2
2
+1)(2
4
+
1)…(2
32
+1)+1；
8 21
初中数学乘法公式例题解析
(2)100
2
-99
2
+98-97
2
+96
2
-95
2
+…+22
-1
2
；
(3)(1-
2
11111
)(1-)(1-)…(1-)(1-).
22222
234910
老师评一评 (1)由例10可以得到提示.
(2
2
+1)(2
4
+1)…(2
32
+1) <
br>(2
2
1)(2
2
1)(2
4
1)(232
1)
=
2
2
1
=[(2
32
)
2
-1]·
=
1
3
1
64
(2-1).
3
1
∴原式=3·(2<
br>64
-1)+1=2
64
-1+1=2
64
.
3<
br>(2)由平方差公式和等差数列公式S
n
=
原式
=(100+99)(
100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+…+(4+3)(4-3)
+(2+1)(2-1)
=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1
=
n(n1)
可知，
2
100(1001)
2
=5050.
(3)由平方差公式和分数乘法公式可知，
原式=(1+
1
111111111
)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)·(
1-)(1+)(1-)
2233449910
10
3
××××××…××××
223344991010
111
=·
210
11
=.
20
=
例11 已知(a+b)
2
=7，(a-b)
2
=4，求a
2
+b
2
，ab的值.
9 21
初中数学乘法公式例题解析
(分析)由已知(a+b)
2
=
7，(a-b)
2
=4，就目前的知识水平，具体求出a和b的值是比较
困难的，但由
整式的乘法公式可以将已知化成：
a
2
+2ab+b
2
=7，①
a
2
-2ab+b
2
=4，②
由①+②可以求出a
2
+b
2
，由①-②可以求出ab.
解：由题意可知，
a
2
+2ab+b
2
=7，①
a
2
-2ab+b
2
=4，②
①+②得2(a
2
+b
2
)=11，∴a
2
+b
2
=
①-②
得4ab=3.∴ab=
11
.
2
3
.
4
小结
(1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与
两数的积，同理，已知
两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数
的积.
(2)由平方差公式
，也可以进行变形.例如：已知a
2
-b
2
=14，a+b=7，那么a-b
=2.
例12 观察下列各式：
(x-1)(x+1)=x
2
-1
(x-1)(x
2
+x+1)=x
3
-1
(x-1)(x
3
+x
2
+x+1)=x
4
-1
根据前面各式的规律可得：
(x-1)(x
n
+x
n-1
+x
n-2
+…+x+1)= .(其中n为正整数)
(分析)由已知各式可以发现：
(x-1)(x
n
+x
n-1+x
n-2
+…+x+1)=x
n+1
-1.
小结
与上例类似地有：
由(a-b)(a+b)=a
2
-b
2
10 21
初中数学乘法公式例题解析
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)=a
3
-b
3
(a-
b)(a
3
+a
2
b+ab
2
+b
3
)=
a
4
-b
4
……
可以得出(a-b)(a
n<
br>+a
n-1
b+a
n-2
b
2
+…+b
n<
br>)=a
n+1
-b
n+1
学生做一做 观察下列各式：
1·2·3·4+1=5
2
2·3·4·5+1=11
2
3·4·5·6+1=19
2
……
(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；
(2)根据(1)计算2000·2001·2002·2003+1.(用一个最简式子表示)
老师评一评 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n
2
+3n+1)
2
，推导如下：
∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1
=(n
2
+3n)(n
2
+3n+2)+1
=(n
2
+3n)
2
+2(n
2
+3n)+1
=(n
2
+3n+1)
2
，
∴n(n+1)(n+2)(
n+3)+1=(n
2
+3n+1)
2
.
(2)当n=2000时，
(n
2
+3n+1)
2
=(2
000
2
+3×2000+1)
2
=4006001
2
，
∴2000·2001·2002·2003+1=4006001
2
.
易错与疑难题
例13 计算.
(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)；
(2)(a+b)
2(a-b)
2
-(a
2
+b
2
)(a-b).
11 21
初中数学乘法公式例题解析
错解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)
=[2x+(y-z+10)][2x-(y-z+10)]
=4x
2
-(y-z+10)
2
.
(2)(a+b)2
(a-b)
2
-(a
2
+b
2
)(a-b)
=[(a+b)(a-b)]
2
-[(a
2
)
2
-
(b
2
)
2
]
=(a
2
-b
2
)
2
-(a-b)
=(
a
4
-b
4
)-(a
4
-b
4
)
=0.
(分析) 第(1)小题的两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y及-
z与z都互为相
反数，分组结合后可利用平方差公式.
第(2)小题中，(a+b)(a-b
)在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a
2
+b
2
)(a-b)，<
br>则需利用多项式的运算法则计算.
正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)
=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]
=(2x+10)
2
-(y-z)
2
=4x
2<
br>-y
2
-z
2
+10x+2yz+100.
(2)(a+b)
2
(a-b)
2
-(
a
2
+b
2
)(a-b)
=[(a+b)(a-b)]
2
-(a
3
+ab
2
-a
2
b-b
3
)
=(a
2
-b
2
)
2
-a
3
-ab
2
+a
2
b+b
3
=a
4-a
3
-2a
2
b
2
+a
2
b-ab
2
+b
3
+b
4
.
小结 错解第(1)小题是
在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是
只凭想象而无根据地用a
4-b
4
代替(a
2
-b
2
)
2
，其实
这二者并不相等；二是计算(a
2
+b
2
)(a-b)
时，在不具备
使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.
应该牢固地掌握公式的特征，解题时每一步都必须有理有据，包括严防发生符号错误.
22
44
中考展望 点击中考
12 21
初中数学乘法公式例题解析
中考命题总结与展望
本节知识在中考中
多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方
程、解不等式和函数知识结合在一起的
综合题.
中考试题预测
例1
若a的值使得x
2
+4x+a=(x+2)
2
-1成立，则a的值为(
)
A.5 B.4 C.3 D.2
(分析)因为x
2
+4x+a=(x+2)
2
-1，所以x
2
+4x+a=x
2+4x+3，
因此，a=3，故正确答案为C项.
1
2
1
x+xy+y
2
的值为 .
22
111111
(分析) 由x
2
+xy+y
2
得x
2
+xy+y
2
=(x
2
+2xy+y
2)= (x+y)
2
.
222222
1111
2
1<
br>又由于x+y=1，所以x
2
+xy+y
2
=(x+y)
2<
br>=×1=.
22222
1
答案：
2
例2
已知x+y=1，那么
例3 若
xy5
+(xy-6)
2
=0
，则x
2
+y
2
的值为( )
A.13 B.26
C.28 D.37
(分析)
本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可
得
xy50,
xy5,
∴
xy60,
xy6.
∴x
2
+y<
br>2
=(x+y)
2
-2xy=5
2
-2×6=13.因此，正
确答案为A项.
例4 如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方
形图
案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x＞
y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是( )
A.x+y=7
B.x-y=2 C.4xy+4=49 D.x
2
+y
2
=25
13 21
初中数学乘法公式例题解析
(分析)由图示可以发现：
(x+y)
2
=4xy+(x-y)
2
，
并且(x+y)
2
=49，(x-y)
2
=4.
所以x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，
而x
2
+y
2
=
111
[(x+y)
2
+(x-y)
2
]=(4
9+4)=×53≠25.
222
故关系式不正确的是D.
答案：D
x
2
y
2
15,
例5
方程组
的解为 .
xy5
(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用.
因为x
2
-y
2
=(x+y)(x-y)，且x+y=5，所以x-y=3.
xy5,
x4,
所以原方程组可以化为
所以
xy3,y1.
∴原方程组的解为
x4,
y1.
课堂小结 本节归纳
1.本节主要学习了：
(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
；
(2)整式乘法的完全平方公式(a±b)
2
=a
2
±2ab+b<
br>2
.
14 21
初中数学乘法公式例题解析
2
.一定要掌握公式的结构特征和字母表示数的广泛意义，通过学习达到能够熟练、灵
活地运用乘法公式的
程度.
习题选解 课本习题
人教版课本第184～185页
习题15.3
1.(1)原式=
4
22
x-y；
(2)原式=x
2
y
2
-1；
(3)原式=4a
2
-9b
2
；
9
(2)原式=16x
2
-24xy+9y
2
；
(4)原式=
(4)原式=25-4b
2
；
(5)原式=3999999； (6)原式=999996.
2.(1)原式=4a
2
+20ab+25b
2
；
(3)原式=4m
2
+4m+1；
(5)原式=3969；
9
2
4
a-2ab+b
2
；
49
(6)原式=9604.
3.(1)原式=5x
2
-58x-24；
(2)原式=x
2
+2xy+y
2
-1；
(4)原式=x
4
-8x
2
+16.
(3)原式=4x
2
+y
2
+9-4xy-12x+6y；
4.原
式=12xy+10y
2
，当x=
111
，y=-时，原式=.
322
5.解：设原正方形的边长为xcm，由题意可知，
(x+3)
2
=x
2
+39，∴x=5.
答：原正方形的边长为5cm.
6.解：剩下钢板的面积为π[
1111
(
a+b)]
2
-π·(a)
2
-π·(b)
2
=πab.
2222
1
答：剩下钢板的面积为πab.
2
7.解：将公式(a
+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
变形为a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab，
∵a+b=5，ab=3，
∴a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab=5
2
-2×3=19.
8.x＜
78
7
15 21
初中数学乘法公式例题解析
3
x,
2
9.
y
1
6
自我评价 知识巩固
1.下列各式中，相等关系一定成立的是( )
A.(x-y)
2
=(y-x)
2
C.(x+y)
2
=x
2
+y
2
B.(x+6)(x-6)=x
2
-6
D.6(x-2)+x(2-x)=(x-2)(x-6)
2.下列运算正确的是(
)
A.x
2
+x
2
=2x
4
C.(-2x
2
)
4
=16x
6
B.a
2
·a
3
= a
5
D.(x+3y)(x-3y)=x
2
-3y
2
3.下列计算正确的是( )
A.(-4x)·(2x
2
+3x-1
)=-8x
3
-12x
2
-4x B.(x+y)(x
2<
br>+y
2
)=x
3
+y
3
C.(-4a-1)(4a-1)=1-16a
2
D.(x-2y)
2
=x
2
-2xy+4y
2
4.(x+2)(x-2)(x
2
+4)的计算结果是( )
A.x
4
+16 B.-x
4
-16
C.x
4
-16 D.16-x
4
5.1992
2
-1991×1993的计算结果是( )
A.1
B.-1 C.2 D.-2
6.对于任意的整数n，能整除代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的整数是(
)
A.4 B.3 C.5 D.2
7.(
)(5a+1)=1-25a
2
，(2x-3)
=4x
2
-9，(-2a
2
-5b)(
)=4a
4
-25b
2
8.99×101=( )(
)= .
9.(x-y+z)(-x+y+z)=[z+( )][
]=z
2
-( )
2
.
10.多项式x
2
+kx+25是另一个多项式的平方，则k= .
11.(a+b)
2
=(a-b)
2
+ ，a
2
+b
2
=[(a+b)
2
+(a-b)
2
](
)，
16 21
初中数学乘法公式例题解析
a
2
+b
2
=(a+b)
2
+
，a
2
+b
2
=(a-b)
2
+ .
12.计算.
(1)(a+b)
2
-(a-b)
2
；
(2)(3x-4y)
2
-(3x+y)
2
；
(3)(2x+3y
)
2
-(4x-9y)(4x+9y)+(2x-3y)
2
；
(4)1.2345
2
+0.7655
2
+2.469×0.7655；
(5)(x+2y)(x-y)-(x+y)
2
.
13.已知m
2
+n
2
-6m+10n+34=0，求m+n的值.
14.已知a+
111
=4，求a
2
+
2
和a4
+
4
的值.
aaa
15.已知(t+58)
2=654481，求(t+84)(t+68)的值.
16.解不等式(1-3x)
2<
br>+(2x-1)
2
＞13(x-1)(x+1).
17.已知a=1990x
+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，求a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-bc的值.
18.如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，求a+b的值.
19.已知(a
+b)
2
=60，(a-b)
2
=80，求a
2
+b
2
及ab的值.
yyy
)+(3x+)+…+(9x+)，并求当x=2，y=9时的值.
122
389
f(1)f(2)f(2003)
21.若f(x)=2x-1(如f(-
2)=2×(-2)-1，f(3)=2×3-1)，求的
2003
20.化简(x+y)+(
2x+
值.
22.观察下面各式：
1
2
+(1×2)
2
+2
2
=(1×2+1)
2
2
2
+(2
×2)
2
+3
2
=(2×3+1)
2
3
2
+(3×4)
2
+4
2
=(3×4+1)
2
……
(1)写出第2005个式子；
(2)写出第n个式子，并说明你的结论.
参考答案
1.A 2.B 3.C 4.C 5.A 6.C
17 21
初中数学乘法公式例题解析
7.1-5a
2x+3 -2a+5b 8.100-1 100+1 9999
9.x-y
z-(x-y) x-y 10.±10 11.4ab
2
1
-
2ab 2ab
2
22
222
12.(1)原式=4ab；(2)原式
=-30xy+15y；(3)原式=-8x+99y；
(4)提示：原式=1.2345+2×1.
2345×0.7655+0.7655=(1.2345+0.7655)=2=4.
(5)原式=-xy-3y.
13.提示：逆向应用整式乘法的完全平方公式和平方的非负性.
∵m
2
+n
2
-6m+10n+34=0，
∴(m
2
-6m+9)+(n
2
+10n+25)=0，
即(m-3)
2
+(n+5)
2
=0，
由平方的非负性可知，
2
2
m30,
m3,
∴
∴m+n=3+(-5)=-2.
n50,
n5
.
14.提示：应用倒数的乘积为1和整式乘法的完全平方公式.
11
=4,∴(a+)
2
=4
2
.
aa
111
∴a
2
+2a·+
2
=16，即a
2
+2
+2=16.
aaa
11
4
∴a
2
+2
=14.同理a+
4
=194.
aa
∵a+
15.
提示：应用整体的数学思想方法，把(t
2
+116t)看作一个整体.
∵(t+5
8)
2
=654481，∴t
2
+116t+58
2
=65
4481.
∴t
2
+116t=654481-58
2
.
∴(t+48)(t+68)
=(t
2
+116t)+48×68
=654481-58
2
+48×68
=654481-58
2
+(58-10)(58+10)
=654481-58
2
+58
2
-10
2
18 21
初中数学乘法公式例题解析
=654481-100
=654381.
16.x＜
3
2
17.解：∵a=1
990x+1989，b=1990x+1990，c=1990x+1991，
∴a-b=-1，b-c=-1，c-a=2.
∴a
2
+b
2
+c
2
-ab-ac-be
1
(2a
2
+2b
2
+2c
2
-2ab-2bc
-2ac)
2
1
=[(a
2
-2ab+b
2
)+
(b
2
-2bc+c
2
)+(c
2
-2ac+a
2
)]
2
1
=[(a-b
2
)+(b-c)
2+(c-a)
2
]
2
1
=[(-1)
2
+(
-1)
2
+2
2
]
2
1
=(1+1+4)
2
=
=3.
18.解：∵(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63，
∴[(2a+2b)+1][(2a+2b)-1]=63，
∴(2a+2b)
2
-1=63，∴(2a+2b)
2
=64，
∴2a+2b=8或2a+2b=-8，∴a+b=4或a+b=-4，
∴a+b的值为4或一4.
19.a
2
+b
2
=70，ab=-5.
20.提示：去
括号后合并同类项，然后应用S
n
=
111
n(n1)
与解决问题.
n(n1)nn1
2
yyy
+3x++…+9x+
122389
yyy
=(x+2x+3x+…+9x)+(y+++…+)
122389
原式=x+y+2x+
19 21
初中数学乘法公式例题解析
yyy
++…+)y
122
389
9(91)1111111
=·x+(1+1-+-+…+-+-)y
22237889
1
=45x+(1-)y
9
17
=45x+y.
9
17
当x=2，y=9时，原式=45×2+×9=107.
9
=(1+2+3+…+9)x+(1+
21.∵f(x)=2x-1，
∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)
=(2×1-1)+(2×2-1)+(2×3-1)+…+(2×2003-1)
=(2×1+2×2+2×3+…+2×2003)-1×2003
=2(1+2+3+…+2003)-2003
=2×
2003(20031)
-2003
2
=2003
2
+2003-2003
=2003
2
2003
2
∴原式==2003.
2003
22.解：(1)当n=1时，1
2
+(1×2)
2
+2
2
=(1×2+1)
2
；
当n=2时，2
2
+(
2×3)
2
+3
2
=(2×3+1)
2
；
当n=
3时，3
2
+(3×4)
2
+4
2
=(3×4+1)
2
；
……
第2005个式子即当n=2005时，有
2005
2
+(2005×2006)
2
+2006
2
=(2005×20
06+1)
2
.
(2)第n个式子为n
2
+[n(n+1)]2
+(n+1)
2
=[n(n+1)+1]
2
.证明如下：
∵n
2
+[n(n+1)]
2
+(n+1)
2
20 21
初中数学乘法公式例题解析
=n
2
+n
2
(n+1)
2
+(n
2
+2n+1)
=n
2
+n
2
(n
2
+2n+1)+(n
2
+
2n+1)
=n
2
+n
4
+2n
3
+n
2
+n
2
+2n+1
=n
4
+2n
3
+3n
2
+2n+1，
且[n(n+1)+1]
2
=[n(n+1)
2
]+2[n(n+1)]·1+1
2
=n
2
(n+1)
2
+2n(n+1)+1
=n
2
(n
2
+2n+1)+2n
2
+2n+1
=n
4
+2n
3
+n
2
+2n
2
+2n+1
=n
4
+2n
3
+3n
2
+2n+1，
∴n
2
+[n(n+1)]
2
+(n+1)
2
=[n(n+
1)+1]
2
.
21 21