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乘法公式（基础）

【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘
法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
【396590 乘法公式 知识要点】
要点一、平方差公式
平方差公式：
(ab)(ab)ab

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
a,b
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公 式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：
既有相同项，又有“相反 项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变
式有以下类型：
（1）位置变化：如
(ab)(ba)
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
(3x5y)(3x5y)

（3）指数变化：如
(mn)(mn)

（4）符号变化：如
(ab)(ab)

（5）增项变化：如
(mnp)(mnp)

（6）增因式变化：如
(ab)(ab)(ab)(ab)

要点二、完全平方公式
完全平方公式：

ab

a2abb

22
2
2244
3232
22
(ab)
2
a
2< br>2abb
2

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式特点：左边是两数 的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两
数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见 的变形：
a
2
b
2


ab
2ab

ab

2ab

22

ab

2


ab

4 ab

2
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里 的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
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括到括号里的各项都改变符号.
要点诠释：添 括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查
添括号是否正确.
要点四、补充公式
(xp)(xq)x
2
(pq)xpq；
(ab)(a
2
332232
abb
2
)a< br>3
b
3
；
222

(ab)a3 ab3abb
；
(abc)abc2ab2ac2bc
.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些 可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，
写出计算结果．
(1)

2a3b

3b2a

； (2)

2a3b

2a3b

；
(3)

2a3b

2a3b

； (4)

2a3b

2a3b

；
(5)

2a3b

2a3b

； (6)

2a3b

2a3b

．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.
【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．
(2)

2a3b

2a3b

＝

3b

－

2a

＝
9b 4a
．
22

2
2
(3)

2a3b

2a3b

＝

2a

－

3b

＝
4a9b
．
22
2
2
(4)

2a3b
2a3b

＝

2a

－

3b< br>
＝
4a9b
．
22
2
2
(5)

2a3b

2a3b

＝
< br>3b

－

2a

＝
9b4a
．
22
2
2
【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相 同项和相反项（系数为相反
数的同类项）．
举一反三：
【变式】计算：（1）

x3

22


x3
y



22

y

； （2）
(2x)(2x)
；

（3）
(3x2y)(2y3x)
．
【答案】
x
2
9
2

x

3

解：（1 ）原式




y

y
．
2244

22
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（2）原式
(2)x4x
．
（3）原式
(3x2y)(2y3x)(3x2y)(3x2y)9x4y
．
22
222
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1) ×(60＋0.1)＝
600.1
＝3600－0.01＝3599.99
(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝
1002
＝10000－4＝999 6．
【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可
利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样
可顺利地 利用平方差公式来计算．
举一反三：
【变式】（2015春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：
2
（1）123﹣124×122
22
（2）（2a+b）（4a+b）（2a﹣b）
【答案】
解：（1）123﹣124×122
2
=123﹣（123+1）（123﹣1）
22
=123﹣（123﹣1）
22
=123﹣123+1
=1；
（2）（2a+b）（4a+b）（2a﹣b）
22
=（2a+b）（2a﹣b）（4a+b）
2222
=（4a﹣b）（4a+b）
2222
=（4a）﹣（b）
44
=16a﹣b．
22
2
22
22
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)

3ab

； (2)

32a

； (3)

x2y

； (4)

2x3y

．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公 式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方
公式.
【答案与解析】
解：(1)

3ab



3a

 23abb9a6abb
．
222
22
22
22
(2)

3 2a



2a3



2a

22a334a12a9
．
22
222
(3)

x2y

x2x2y

2y

x4xy4y
．
222
22
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(4)
2x3y



2x3y



2x

22x3y

3y

4x12xy 9y
．
22
2222
【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用 以下规律：当所给的二项式符号相同时，
结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中 两平方项为正，乘积项的符
号为负．(2)注意

ab


ab

之间的转化．
22
4、（2015春•吉安校级期 中）图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是
由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙， 恰好是一个小正方形．
（1）用m、n表示图b中小正方形的边长为 ．
（2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积；
（3）观察图b，利用（2）中的结论 ，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）
，（m﹣n），mn；
2
（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）的值．
22

【答案与解析】
解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n；
（2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）；
2
方法②：（m+n）﹣4mn；
22
（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）=（m+n）﹣4mn；
22
（4）由（3）得：（a﹣b）=（a+b）﹣4ab，
∵a+b=7，ab=5，
22
∴（a﹣b）=7﹣4×5
=49﹣20
=29．
【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量 利用代
数式表示其他相关的量．
5、已知
ab7
，
ab
＝12．求下列各式的值：
(1)
aabb
；(2)
(ab)
．
【答案与解析】
解：(1)∵
aabb
＝
ab
－
ab
＝

ab

－3
ab
＝
7
－3×12＝13．
22222
22
2
2
2
(2)∵

ab

＝

ab

－ 4
ab
＝
7
－4×12＝1.
2
22
【总结升华 】由乘方公式常见的变形：①

ab

－

ab

＝4
ab
；②
ab
＝

ab
< br>22
222
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－2
ab
＝

ab

＋2
a b
．解答本题关键是不求出
a,b
的值，主要利用完全平方公式的整体
变换求 代数式的值．
举一反三：
22
【变式】已知
(ab)7
，< br>(ab)4
，求
ab
和
ab
的值．
22
2
【答案】
22
解：由
(ab)7
，得
a2abb7
； ①
22
由
(ab)4
，得
a2abb4
． ②
2
2
22
①＋②得
2(ab)11
，∴
ab
22
11
．
2
①－②得
4ab3
，∴
ab

3
．
4
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