请假制度-焰火晚会

3.4 乘法公式
教学目标
1、经历探究两数和乘以这两数的 差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构
特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算； 了解平方差公式的几何背景；
2、在探究平方差公式的过程中，发展学生的符号感和推理、概括能力； 通过平方差公
式的几何背景的了解，体会代数与几何的内在统一；
3、学生通过推导两数和的 平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特
征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表 达两数和的平方公式；
4、学生通过推导两数差的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的 结构特
征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数差的平方公式.
重点难点
重点
平方差公式的应用；
两数和、两数差的平方的公式.
难点
（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；
（2）平方差公式的几何意义；
（3）对公式中字母
a
、
b
的广泛含义的理解与正确应用.
教学设计
活动一
竞赛激智，建立模型，揭示公式
问题1看谁能又快又准地回答下面4个小题的计算结果.
(5＋3)(5－3)﹦________；
(0.5＋0.3)(0.5－0.3)﹦_______；
(5＋0.3)(5－0.3)﹦________；
(0.5＋3)(0.5－3)﹦_______.
（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？
设计意图：以通过竞赛为载体，以自主参与为教 学形式，使学生从计算的快慢中产生疑
惑：总是那几个算得快，我怎么也能象他们那样？进而激发学生的 求知的热情.
问题2：请计算下列多项式的积：
(1)(
x
＋1)(
x
－1)﹦____________；
(2)(
m
＋2)(
m
－2)﹦___________；
(3)(2
x
＋1)(2
x
－1)﹦__________.
（全部结果正确后）追问1：你们的计算结果有什么规律吗？

追问2：你发现这些多项式的乘积的表达形式有什么规律吗？
学生总结：（1）计算的结果都 是两项的平方差，与以往两项乘以两项的结果大多是三项
或四项不同；（2）这些两项乘以两项中，有一 项是完全相同，另一项又是互为相反的；（3）
结果是两项的平方差，并且是完全相同项的平方减区互为 相反项的平方.
师生互动：（
a
＋
b
）（
a
－< br>b
）﹦
a
－
b

两个数的和与这两个数的差的记，等于这两个数的平方差.
教师：（1）这个公式叫做（乘法的）平方差公式.
（2）公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式；
（3）只要是符合公式的结构特征，都可以用公式进行计算.
学生练习：
1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的有___________.
A(
x
＋1)(1－
x
) B(
a
＋
b
)(
b
－
a
) C(－
a
＋
b
)(
a
－
b
)
D(
x
2
－
y
)(
x
＋
y
2
) E(－
a
－
b
)(
a
－
b
) F(
c
2
－
d
2
)(
d
2
＋c
2
)
2、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)（
x
＋2）（
x
－2）﹦
x
－2； (2)(－3
a
－2)(3
a
－2)﹦9
a
－4.
设计意图：以学生熟悉的多项式的积为载体，以全部参与讨论、归纳总结为教学形式，
由于计算的结果 与以往的结果在表现的形式上有大的差异，以及平方差公式的发生过程的探
究，体会到从一般到特殊的数 学思想方法；通过选择、填空等的练习让学生了理解、掌握平
方差公式的结构特征，从心里感受这种一般 到特殊的数学思想方法的魅力.
活动二
师生互动、感知代数、几何的统一
师：请同学们将准备的正方形纸板拿出：
（1）设它的边长为
a
（图1），大家都知道它的面积为
a
； （2）请同学们按图2剪去一个边长为
b
的小正方形，大家都知道剩下部分的面积为（a
2
－
b
）；
（3）请同学们将剩下的图形剪成（沿图2的虚 线）两个长方形，并将一边长为
b
的小长
方形拼到一边长为
a
的长方 形后得图3；同学们都知道图3的一边长为（
a
＋
b
），另一边长为（
a
－
b
），面积为（
a
＋
b
）（
a－
b
）；
（4）同学们比较图2和图3不难发现它们面积的关系.
生 ：它们的面积相等，即（
a
＋
b
）（
a
－
b
）﹦
a
2
－
b
2
.


a
b

2
2
22
22
－

图(1) 图(2) 图(3)

师：我们通过拼图游戏给出了平方差公式的一种几何解释.这说明 平方差公式具有直观
的几何意义，也说明代数不只是计算，还有美妙的几何意义，这实际就是数学魅力.
设计意图：通过学生拼图游戏，学生直观体验了平方差公式的几何意义，感受代数不只
是计算， 还有美妙的几何意义，亲身经历了数学魅力所在.
活动三
例题分析、指导应用、巩固理解
例1运用平方差公式计算：
(1)(
a
＋3)(
a
－3)
(2)(2
a
＋3
b
)(2
a
－3
b)
(3)(1＋2
c
)(1－2
c
)
(4)(－2
x
－
y
)(2
x
－
y
)
分析：
（1）在(1)中，可以把3看成
b
，即：
(
a
＋3)(
a
－3)﹦
a
－3
(
a
＋
b
)(
a
－
b
)﹦
a
2
－
b
2

（2）将(2)调整成平方差公式形式计算.
（3）（4）自主计算.
例2：
运用平方差公式计算：
1998×2002
设计意图：通过一则平方差公式简单的例题分析及应用，巩固理解了公式 结构特征，让
学生进一步感受到这种一般到特殊的数学思想方法的魅力.
学生练习：
运用平方差公式计算：
（1）51×49； （2）（3
x< br>＋4）（3
x
－4）－（2
x
＋3）（3
x
－2）
设计意图：这是平方差公式的拓展例题分析及应用，使学生进一步体会平方差公式的结
构特征， 能进一步灵活运用乘法公式、法则进行计算.
学生活动：计算：（1）(
a
+
b
)(
a
+
b
) （2）(
a
-
b
)(
a
-
b
)
（3）(
x
+3) (
x
+3) （4）(
x
-3) (
x
-3)
教学活动说明：通过复习反馈旧知，为新知作铺垫，体现知识的连续性.
创设情景提出问题，引入课题
小组活动素材：有一位老爷爷非常喜欢孩子，每当有孩子到他家 作客时，老爷爷都要拿
出糖果招待他们.来一个孩子就给这个孩子一块糖，来两个孩子就给每个孩子两块 糖，来三
22

个孩子就给每个孩子三块糖……
（1）地一 天有
a
个小男孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他们_______块糖；
（2 ）第二天有
b
个小女孩一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了她们_______块糖；
（3）第三天这(
a
+
b
)个小孩子一起去了老爷爷家，老爷爷一共给了他 们_______块糖；
（4）这些孩子第三天得到的糖果总数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多少？
为什么？
教学活动说明：学生分组讨论，从有趣的分糖情景中理解(
a
+
b
)
2
与
a
2
+
b
2
的关系.可激发
学生学习的欲望，体现循序渐进的原则，利于运用所学知识解决实际问题从而引出课题.
探究(
a
+
b
)
2
的几何意义
1、（两 人合作探究）：请同学们用自制长方形、正方形卡片拼出一个大正方形.按以下要
点思考：（1）大正方 形的边长是多少？（2）写出每一块卡片的面积.（3）用不同的形式表
示正方形的总面积，并进行比较 ，你发现了什么？
(
a
+
b
)
2
=
a< br>2
+2
ab
+
b
2

教学活动说明：由于正 方形的总面积有多种表示方式，学生通过自己动手操作，观察、
对比、猜想，了解(
a
+
b
)=
a
+2
ab
+
b
的几何背景，对 此公式有了一个直观的认识.
2、（学生猜想）：(
a
-
b
)
2
=？
教学活动说明：学生在直观认识的基础上，从代数角度推导公式，可以进一步理解算理.
鼓励学生自己 探索，鼓励算法多样化.
知识归纳交流活动
（学生活动）：用自己所理解的语言叙述公式.理解并掌握公式的结构特征.
教学活动说明： 有意识培养学生有条理的思考和语言表达能力，在交流的氛围中分享同
学的想法.
公式的运用
（师生合作学习）：两数和（差）的平方公式计算
第一题组
（1）（
a< br>+1）；（2）（
a
+3）；（3）（2
a
+3
b
） ；（4）（2
a
+
b
）；
第二题组
（1）（
x
-1）
2
；（2）（
x
-3）
2
；（3）（2x
-3
y
）
2
；（4）（2
x
-
y< br>）
2
；
第三题组
（1）（-2
m
+
n< br>）
2
；（2）（-2
m
-
n
）
2
； （3）1001
2
；（4）999
2
.
(教学活动说明)：帮助学 生理解公式中字母的广泛性，在练习的过程中掌握书写的格式.
体会公式的应用价值.
六、学生反馈练习
（学生四大组竞赛活动）：
2222
222

（1）（2
x
+
y
）
2< br>；（2）（5
a
+4
b
）
2
；（3）97
2
；
（1）（2
x
-
y
）；（2）（5
a
-4
b
）；（3）202；
（1）（
x
+2
y
）；（2）（4
a
+5
b
）；（3）101；
（1）（
x
-2
y
） ；（2）（4
a
-5
b
）；（3）99.
(教学活动说明)：由每 个组的组长抽题交给本组成员，限定每人只能做一题然后传给下
一个同学，比速度、比合作、比准确，通 过学生的共同努力完成任务.在巩固知识的同时培
养团队精神和荣誉感.
222
222
222