国际金融与贸易-1分钟自我介绍

乘法公式（基础）
【学习目标】
1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；
2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘
法运算；
3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.
【要点梳理】
要点一、平方差公式
平方差公式：
(ab)(ab)a
2
b
2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
要点诠释：在这里，
a,b
既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公 式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：
既有相同项，又有“相反 项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变
式有以下类型：
（1）位置变化：如
(ab)(ba)
利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如
(3x5y)(3x5y)

（3）指数变化：如< br>(m
3
n
2
)(m
3
n
2
)< br>
（4）符号变化：如
(ab)(ab)

（5）增项变化：如
(mnp)(mnp)

（6）增因式变化：如
(ab)(ab)(a
2
b
2
)(a
4
b
4
)

要点二、完全平方公式
22
完全平方公式：

ab

a2abb

2
(ab)
2
a
2
2abb
2

两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
要点诠释：公式 特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两
数的平方和加（或减）这两数之积的 2倍.以下是常见的变形：
a
2
b
2


a b

2ab

ab

2ab

22

ab

2


ab

4ab

2
要点三、添括号法则
添括号时，如果括号前面是正号 ，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，
括到括号里的各项都改变符号.
要点 诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查

添括号是否正确.
要点四、补充公式
(xp)(xq)x
2
(pq)xpq
；
(ab)(a
2
abb
2
) a
3
b
3
；

(ab)
3
a
3
3a
2
b3ab
2
b
3
；
(abc)
2
a
2
b
2
c
2< br>2ab2ac2bc
.
【典型例题】
类型一、平方差公式的应用

1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不 能?能用平方差公式计算的，
写出计算结果．
(1)

2a3b

3b2a

； (2)

2a3b

2a3b

；
(3)

2a3b

2a3b

； (4)

2a3b

2a3b

；
(5)

2a3b

2a3b

； (6)

2a3b

2a3b

．
【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.
【答案与解析】
解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．
(2)

2a3b

2a3b

＝

3b

－

2a

＝
9b 4a
．
22
22

(3)

2a 3b

2a3b

＝

2a

－

3b

＝
4a9b
．
22
22
(4)

2a3b

2a 3b

＝

2a

－

3b

＝
4a9b
．
22
22
(5)

2a3b

2a3b

＝

3b
－

2a

＝
9b4a
．
22
22
【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反
数的同类项）．
举一反三：
【变式】计算：（1）


x3

x3

y

y

； （2）
(2x)(2x)
；

22

22
（3）
(3x2y)(2y3x)
．
【答案】
x< br>2
9
2

x

3

解：（1）原 式




y

y
．
4 4

2

2

（2）原式
(2)x4 x
．
222
22

（3）原式
(3x 2y)(2y3x)(3x2y)(3x2y)9x
2
4y
2
．
2、计算：
(1)59.9×60.1； (2)102×98．
【答案与解析】
解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝< br>600.1
＝3600－0.01＝3599.99
(2)102×98＝ (100＋2)(100－2)＝
1002
＝10000－4＝9996．
【总结 升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可
利用两数的平均数， 通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样
可顺利地利用平方差公式来计算 ．
举一反三：
【变式】用简便方法计算：
(1)899×901＋1； (2)99×101×10001；
(3)
2005
－2006×2004；
【答案】
解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝
90011
＝810000． < br>2
(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝
1001
×10001
22
22
2
22

＝(10000－1) ×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．
(3)原式＝2005
－(2005＋1)(2005－1)＝
2005
－(
2005
－
1
)＝1．
222
2
类型二、完全平方公式的应用
3、计算：
(1)

3ab

； (2)

32a

； (3)

x2y

； (4)

2x3y

．
【思路点拨】此题都可以用完全平方公 式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方
公式.
【答案与解析】
222
解：(1)

3ab



3a

23abb9a6abb
．
22
(2)

32a



2a3



2a

22a334a12a9
．
222
(3)

x2y

x2x2 y

2y

x4xy4y
．
22
(4)

2x3y



2x3y


2x

22x3y

3y
4x12xy9y
．
2222
22
222
22
2222

【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，
结果中 三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符
号为负．(2)注意

ab



ab

之间的转化．
4、计算：(1)
2002
；(2)
1999
．(3)
99 9.9
．
【答案与解析】
222
解：(1)
2002

20002

20002200022

2
22
222
＝4000000＋8000＋4＝4008004．
222
(2)
199 9

20001

20002200011

2
＝4000000－4000＋1＝3996001．
222
(3)
999.9

10000.1

1000210000.10.1

2
＝1000000－200＋0.01＝999800.01．
【总结升华】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．
5、已知
ab7
，
ab
＝12．求下列各式的值：
(1)
aabb
；(2)
(ab)
2
．
【答案与解析】
解：(1)∵
aabb
＝
ab
－
ab
＝

ab

－3
ab
＝
7
－3×12＝13．
22222
2
22
(2)∵ < br>
ab

＝

ab

－4
ab
＝
7
－4×12＝1.
2
22
【总结升华】由乘方公式常 见的变形：①

ab

－

ab

＝ 4
ab
；②
ab
＝

ab

222
222
－2
ab
＝

ab

＋2
ab
．解答本题关键是不求出
a,b
的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．
举一反三：
22
【变式】已知
(ab)7< br>，
(ab)4
，求
ab
和
ab
的值．
22
【答案】
2
解：由
(ab)7
，得
a2abb7
； ①
2
由
(ab)4
，得
a2abb4
． ②
22
①＋②得
2(ab)11
，∴
ab
22
22
22
11
．
2
①－②得
4ab3
，∴
ab
3
．
4