端午节的-华中科技大学自主招生

第 一 章
乘法公式、指數基本運算與多項式
§§乘法公式、指數基本運算與多項式
壹、本節重點
1.乘法公式：
(1)(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2

(2)(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
( 3)(a+b+c)
2
=a
2
+b
2
+c
2
+2ab+2bc+2ca
(4)(a+b)(a-b)=a
2
-b
2

(5)(a+ b)(a
2
-ab+b
2
)=a
3
+b
3

(6)(a-b)(a
2
+ab+b
2
)=a
3
-b
3

(7)(a+b)
3
=a
3
+ 3a
2
b+3ab
2
+b
3
= a
3
+b
3
+3ab(a+b)
(8)(a-b)
3=a
3
-3a
2
b+3ab
2
-b
3
= a
3
-b
3
-3ab(a-b)
(9)(x+a)(x+b)=x
2
+(a+b)x+ab
(10)(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
(11)(a+b+c)(a2
+b
2
+c
2
-ab-bc- ca)=a
3
+b
3
+c
3
-3abc
2.指數律：
(1)a
m
×a
n
=a
m+n

(4)(ab)=ab
(7)
a



1
 n
(2)a
m
÷a
n
=a
m-n
---a

0
a
n

a

(5)


n
---b

0
b

b

1
n
n
n
(3)(a
m
)
n
=a
m×n

(6)a≠0a
0
=1
m
n
nnn
1

n
---a

0
a
(8)
aa
---a>0 (9)
a
=
n
a
m
---a>0

3.求值公式：
[型一]已知a+b和ab之值：
(1)a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab (3)a
4
+b
4
=(a
2
+b
2
)
2
-2a
2
b
2

[型二]已知a- b和ab之值：
(1)a
2
+b
2
=(a-b)
2
+2ab
(3)(a+b)
2
=(a-b)
2
+4ab
[型三]分式型，已知
x
或
x
之值：
11

(1)
x
2



x

2

x

x

2
2
(2)a
3+b
3
=(a+b)
3
-3ab(a+b)
(4)(a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab
(2)a< br>3
-b
3
=(a-b)
3
+3ab(a-b)
1< br>x
1
x
11

(2)
x
2


x

2

x

x

2
2
1

1

(3)

x



x

4

x

x

3
22
1

1

( 4)


x



x

4

x

x

3
22
11
< br>1

1

1

1

3
(5)
x
3

3



x
< br>3

x

(6)
x
3


x

3

x


x
x

x

x

xx

4.商高 定理(畢氏定理)：ABC中，C=90，則
ACBCAB
，
即直角三角形兩股長的平方和等於斜邊的平方。
常見的直角三角形三邊長：
A
B
C
0
22
(1)四類型：(3，4，5)、(5 ，12，13)、(7，24，25)、(8，15，17)。
(2)將五類型的三邊按一定比例放大 或縮小也可成為直角三角形。
例：(3，4，5)(6，8，10)(9，12，15)……。
5.坐標平面上兩點間的距離及中點坐標求法：
設坐標平面上相異兩點A(x
1，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，O為原點，則： (1)
AB

x
1
x
2

2

y
1
y
2

2

(2)
AB
中點M的坐標為


2

x
1
x
2
y
1
y
2

,

22


6.多項式的基本概念：
(1)多項式的判別：
多項式為一有限項的代數式之和，且未知數不可在
分母根號內絕對值內指數上。
(2)多項式的次數：
單一文字以最高次項之次數為其次數。
多文字以各項次數和最高者為其次數。
例：x
3
-2x
4
-7x+5為x的四次多項式。
x
4
-4x
2
y
3
-x
2
y
4+3y
5
-9為x、y的六次多項式。
(3)升羃排列：將文字之次數由左而右，由小而大排列。
降羃排列：將文字之次數由左而右，由大而小排列。
(4)常數多項式：不含文字的多項式。
零次多項式：除常數項0外，其餘各項係數皆為0。
零多項式：各項係數皆為0。※無次數可言。
(5)多項式的值：
多項式f(x)中，若x以某一數(式)代入，所得結果即為其值。
7.多項式的加減法：
(1)法則：將同類項的係數相加(減)，不是同類項無法合併，以加(減)
號連接。
(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n，則：
若m＞nAB為m次多項式。
若m＜nAB為n次多項式。
若m=nAB其次數不大於m或無次數可言。
(3)若ax
2
+bx +c=px
2
+qx+ra=p，b=q，c=r。
3

8.多項式的乘法：
(1)法則：運用分配律及指數律和乘法公式。
分離係數法(依降羃排列，缺項補0)
(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、nA×B之次數為m+n。
(3)設A、B 、C三多項式之係數和分別為S
1
、S
2
、S
3
，若A×B =C，
則S
1
×S
2
=S
3
。
(4)第 x
p
項係數的求法：所有x
a
×x
b
=x
p
中之係數乘積之和，
即為x
p
項之係數。
9.多項式的除法：
(1)法則：長除法；分離係數法(依降羃排列，缺項補0)
(2)設A、B表兩多項式，其次數分別為m、n(m≧n)，則：
A除以B之次數為m-n。餘式的次數必小於除式的次數。
(3)除法關係式：設A、B 表兩多項式且A除以B，商為Q，餘式為
R。則：A=BQ+R。
(4)若A=BQ+R， 則：
aA=B×aQ+ar；
即被除式變a倍，而除式不變，則商變a倍，餘式變a倍。
A=aB×
+R；
即被除式不變，而除式變a倍，則商變倍，餘式不變。
10.餘式定理：
(1)f(x)除以(x-k)的餘式是f(k)；若f(x)能被(x-k)整除，則f(k)=0。
(2)f(x)除以(ax+b)的餘式為f(-)。

4
AR
Q
。
BB
Q
a
1
a
b
a

貳、例題
例1.求下列各式的值：(1)(
32
)
2
-(28)
2
(2)
53
2
45
2

解：





例2.求1999
2
-2×1998
2+1997
2
之值。
解：






例3.設a+b=5、ab=3，求(1)a
2
+b
2
(2)a-b (3)3a
2
+4ab+3b
2
(4)a
3
+b
3
之值。
解：





5
1
4
1
4
【答：(1)242；(2)28】
【答：2】
【答：(1)19 (2)
13
(3)69 (4)80】

例4.在ΔABC中，
BC
x+2，
CA
=2x-3，
AB
=3x-7，若周長為16，
求ΔABC的面積。
解：





例5.(1)已知A(-2，6)，B(4，-2)兩點，求
AB
的長。
(2)坐標平面上A(2，-1)，B(a，3)，若
AB
=5，求a。
解：






例6.若f(x)=3x
3
+mx
2
-nx+4，且f(-1)= -1，f(2)=2，求m、n的值。
解：





6
【答：12平方單位】
【答：(1)10 (2)5或-1】
【答：m= -5，n=3】

例7.有一數學題目：「二多項式A、B，B為 6x
3
+5x
2
+7x-3，試求A-B」。
小山誤將「A-B」看 成「A+B」，結果求出答案是「3x
2
-5x+9」，
請問A- B的正確答案是多少？
解：





例8. 若多項式2x
3
+3x
2
+kx-3與(2x+3)(ax
2
+b)相等，其中a、b、k為
常數，求k的值。
解：





4x
2
3x13
2x1
例9.設f (x)為一多項式，且，求f(x)。
f(x)f(x)
【答：-12x
3
+13x
2
-19x+15】
【答：-2】
解：





7
【答：2x
2
-x+2】