食物酸碱性-中考考试科目

乘法公式
一、复习:
(a+b)(a-b)=a
2
-b
2
(a+b)
2
=a
2
+2ab+b
2
(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2

(a+b )(a
2
-ab+b
2
)=a
3
+b
3
(a-b)(a
2
+ab+b
2
)=a
3
－b
3< br>
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
① 位置变化，
x

y

y

x

x
2

y
2

② 符号变化，
x

y

x

y

x

2

y2

x
2

y
2

③ 指数变化， 
x
2

y
2

x
2

y
2

x
4

y
4

④ 系 数变化，2
a

b
2
a

b
4
a
2

b
2

⑤ 换式变化，
xy
z

m

xy

z
m


xy

2

z
m

2


x
2
y
2
< br>z

m

z

m


x
2
y
2

z
2

zm
zm

m
2


x
2
y
2

z
2
2
zm

m
2

⑥ 增项变化，
x

y

z

x
y

z


x

y

2

z
2


x

y

x

y
z
2


x
2

xy

xy

y
2

z
2


x
2
2
xy

y
2

z
2

⑦ 连用公式变化，
x

y

x

y

x
2

y
2


x2

y
2

x
2

y
2< br>

x
4

y
4

⑧ 逆用公式 变化，
x

y

z

2

x

y

z

2


x

y

z

x

y

z< br>
x

y

z

x
< br>y

z

2
x
2
y
2
z

4
xy
4
xz

例1．已知
ab2，
ab1
，求
a
2
b
2
的值。
解：∵
(ab)
2

a
2
2abb
2
∴
a
2
b
2
=
(ab)
2
 2ab

∵
ab2
，
ab1
∴
a
2
b
2
=
2
2
212
例2．已知
ab8
，
ab2
，求
(ab)
2< br>的值。
解：∵
(ab)
2

a
2
2a bb
2

(ab)
2

a
2
2abb
2

∴
(ab)
2
(ab)
2

4ab
∴
(ab)
2

4ab
=
(ab)
2

∵
ab8
，
ab2
∴
(ab)
2

8
2
4256

例3：计算1999
2
-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1 999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：1999
2
-20 00×1998 =1999
2
-（1999+1）×（1999-1）
=1999
2
-（1999
2
-1
2
）=1999
2
-1999
2
+1 =1

例4：已知a+b=2，ab=1， 求a
2
+b
2
和(a-b)
2
的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。









1

解：a
2
+b
2
=(a+b)
2
-2ab=4-2=2
（a-b)
2
=(a+b)
2
-4ab=4-4=0

例 5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x
2
-z
2
的值。 < br>〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x
2
-z
2
是由
x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。
解：因为x- y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x
2
-z
2
=（x+z ）(x-z)=14×4=56。

例6：判断（2+1）（2
2
+1）（ 2
4
+1）……（2
2048
+1）+1的个位数字是几？
〖解析 〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观
察到1=（2-1）和上式可 构成循环平方差。
解：（2+1）（2
2
+1）（2
4
+1）…… （2
2048
+1）+1
=（2-1）（2
2
+1）（2< br>4
+1）……（2
2048
+1）+1
4096
=2
=16
1024
因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的 个位数字都是6，
所以上式的个位数字必为6。

例7．运用公式简便计算
（1）103
2
（2）198
2

解：（1）103
2
1003
2
100
2
210033
2
100006009 10609
（2）198
2
2002
2
200
2
220022
2
400008004 39204

例8．计算
（1）
a
4
b
3
c

a
4
b
3
c
 （ 2）3
x

y
23
x

y
2
解：（1）原式
a
3
c
4
b
< br>a
3
c
4
b

a
3
c

2
4
b

2

a
2
6
ac
9
c
2
16
b
2

（2）原式3
x

y
23
x

y
29
x
2

y
24
y
49
x
2

y
2
4< br>y
4

例9．解下列各式
（1）已知
a
2
b
2
13，
ab
6，求
a

b

2
，
a

b

2
的值。
（2）已知
a

b

2
7，
a
b

2
4，求
a
2

b
2
，
ab
的值。
a
2
b
2
（3）已知
a

a
1
a

b
2，求ab
的值。
2
11
（4）已知
x3
，求
x
4

4
的值。
xx
2
分析：在公式
a

b

2

a
2

b
2
2
ab
中，如果把
a

b
，
a2

b
2
和
ab
分别看作是一个整体，
则公式 中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
解：（1）∵
a
2
b
2
13，
ab
6

a
b

2

a
2

b
22
ab
132625 
a

b
2

a
2

b
2
2
ab
13261
（2）∵
a

b
< br>2
7，
a

b

2
4

a
2
2
ab

b
2
7 ①
a
2
2
ab

b
2
4 ②
①②得 2
a
2

b
2
11，即
a
2
b
2

①②得 4
ab
3，即
ab

（3）由
a

a
1
a
2

b
2 得
a

b
2
2
11

2
3
4

a
2
b
2
1
11
22

ab

a
2
b
2< br>2ab



ab



 2

2

22
22
1

111
22
x9
（4）由
x3
，得

即
x29x11


x

xx
2x
2

1

11
2
44




x
2

121
即
x
4
2121

x
4
119

x

xx




例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？
分析：由于12341255
2
2345112111
2

3456136119
2

…… 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。
解：设
n
，
n< br>1，
n
2，
n
3是四个连续自然数
则
n
n
1
n
2
n
31 
n

n
3
n
1
n
21 
n
2
3
n

2
2
n
2
3
n
1

n
2
3
n

n
2
3
n
21 
n
2
3
n
1
2

∵
n
是整数，
n
2
，3
n
都是整数 
n
2
3
n
1一定是整数

n
2
3
n
1是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。

例11．计算 （1）
x
2

x
1
2
（2）3
m

n

p

2

解 ：（1）
x
2

x
1
2

x2

2

x

2
1
2
2
x
2

x
2
x
2
1 2
x
1
x
4

x
2
1 2
x
3
2
x
2
2
x

x< br>4
2
x
3
3
x
2
2
x
1
（2）3
m

n

p

2
3
m

2

n
2

p

2
23
m

n
23
m

p
2
n

p
9
m
2

n
2

p
2
6
mn
6mp
2
np

分析：两数和的平方的推广

a

b

c

2

a

b

c

2

a

b

2
2
a

b

c

c
2

a
2
2
ab< br>
b
2
2
ac
2
bc

c2


a
2

b
2

c
2
2
ab
2
bc
2
a c
即
a

b

c

2

a
2

b
2

c
2
2
ab
2
bc
2
ac
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。

二、乘法公式的用法
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公 式的来龙去
脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
2244
2222
例1. 计算：
5
解：原式


5x3y25x9y
x3y5x3y
 

22
(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
24
例2. 计算：


1aa1a1a1

224
解：原式

1a1a1a




1a

1a


44
8
1a
3x2y5z 13x2y5z1
例3. 计算：



2y5z3x12y5z3x1
解：原式




3

2y5z3x1


222
22

4y9x25z20 yz6x1
三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，
得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4. 计算：


5ab 78c5ab78c

22
5a7b8c5a7b8c5a 7b8c5a7b8c
解：原式




10a14b16c


140ab160ac
四、变用: 题目变形后运用公式解题。
xy2zxy6z
例5. 计算：



xy2z4zxy2z4z
解：原式




xy2z4z



222
22

xy12z2xy4xz4yz
五、活用: 把公式本 身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过
变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派 生公式：
1.

ab

2aba
2
b< br>2
2.

ab

2aba
2
b2
3.

ab



ab
2ab
2
22
2
2

2

4.

ab



ab

4a b
22
灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
22
例6. 已知
ab4，ab5
，求
a
的值。 < br>b
222
bab24ab2526
解：
a


2

例7. 计算：


abcdb cda

2
22
bcadbcad
解：原 式




2bcad
< br>


2222
2a2b2c2d4bc4ad

2

22

2
例8. 已知实数x、y、z满足
xy
，那么
x
（ ）
2y3z
5，zxyy9
4

解：由两个 完全平方公式得：
ab
2
2
1
2
从而
z

5xyy9

4
1

a b

2


ab

2

4< br>

251
2


52y

y9
44
y
2
6y9

2
y6 y9




y3

2
∴z2


y3

0
∴z0，y3
∴x 2
∴x2y3z22308
2


三、学习乘法公式应注意的问题

（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
例1 计算(-2
x
2
-5)(2
x
2
-5)
分析 ：本题两个因式中“-5”相同，“2
x
2
”符号相反，因而“-5”是公式(
a
+
b
)(
a
-
b
)=
a
2< br>-
b
2
中的
a
，而“2
x
2
”则是 公式中的
b
．
解：原式=(-5-2
x
2
)(-5+ 2
x
2
)=(-5)
2
-(2
x
2
)2
=25-4
x
4
．

例2 计算(-
a
2
+4
b
)
2

分析：运 用公式(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2
ab
+
b
2
时，“-
a
2
”就是公式中的
a
，“4
b
”就是公式中
的
b
；若将题目变形为( 4
b
-
a
2
)
2
时，则“4
b
” 是公式中的
a
，而“
a
2
”就是公式中的
b
．（解
略）

（二）、注意为使用公式创造条件
例3 计算(2
x
+
y
-
z
+5)(2
x
-
y
+
z
+5)．
分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2< br>x
”、“5”两项同
号，“
y
”、“
z
”两项异号， 因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式
的形式．
解：原式=„(2x
+5)+(
y
-
z
)‟„(2
x
+5)-(
y
-
z
)‟
=(2
x
+5 )
2
-(
y
-
z
)
2

=4
x
2
+20
x
+25-
y
+2
yz< br>-
z
2
．

例4 计算(
a
-1)< br>2
(
a
2
+
a
+1)
2
(
a
6
+
a
3
+1)
2

分析：若先用 完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可
利用乘法公式，使运算简便．
解：原式=[(
a
-1)(
a
2
+
a
+1)(
a
6
+
a
3
+1)]
2

=[(
a
3
-1)(
a
6
+
a
3
+1)]
2

92189
=(
a
-1)=
a
-2
a
+1
5

例5 计算(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)．
分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公
式，使 问题化繁为简．
解：原式=(2-1)(2+1)(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)
=(2
2
-1 )(2
2
+1)(2
4
+1)(2
8
+1)
=(2
4
-1)(2
4
+1)(2
8
+1)
=（2
8
-1）（2
8
+1）
=2
16
-1

（三）、注意公式的推广
计算多项式的平方 ，由(
a
+
b
)
2
=
a
2
+2< br>ab
+
b
2
，可推广得到：
(
a
+
b
+
c
)
2
=
a
2
+
b
2
+
c
2
+2
ab
+2
ac
+2
bc
．
可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍．
例6 计算(2
x
+
y
-3)
2

解：原式=(2
x
)
2
+
y
2
+(-3)
2
+2〃2
x
〃
y
+2〃2
x
(-3)+2〃y
(-3)
=4
x
2
+
y
2
+ 9+4
xy
-12
x
-6
y
．

（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
例7 (1)已知
x
+
y
=10，
x
3
+
y
3
=100，求x
2
+
y
2
的值；
(2)已知：< br>x
+2
y
=7，
xy
=6，求(
x
-2y
)
2
的值．
分析：粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列 变形：
x
2
+
y
2
=(
x
+
y< br>)
2
-2
xy
，
x
3
+
y
3
=(
x
+
y
)
3
-3
xy
(< br>x
+
y
)，(
x
+
y
)
2
-(
x
-
y
)
2
=4
xy
，问题则十分简 单．
解：(1)∵
x
3
+
y
3
=(
x
+
y
)
3
-3
xy
(
x
+y
)，将已知条件代入得100=10
3
-3
xy
〃10，
∴
xy
=30 故
x
2
+
y
2
=(
x
+
y
)
2
-2
xy
=10
2
-2×30=40．
(2)(
x
- 2
y
)
2
=(
x
+2
y
)
2-8
xy
=7
2
-8×6=1．

例8 计算(
a
+
b
+
c
)
2
+(
a
+
b
-
c
)
2
+(
a
-
b
+
c
)+(
b
-
a
+
c
)
2< br>．
分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出
(a
+
b
)
2
+(
a
-
b
)< br>2
=2(
a
2
+
b
2
)，因而问题容易解决 ．
解：原式=[(
a
+
b
)+
c
]
2
+[(
a
+
b
)-
c
]
2
+[
c
+(
a
-
b
)]
2
+[
c-(
a
-
b
)]
2

= 2[(
a
+
b
)
2
+
c
2
]+2 [
c
2
+(
a
-
b
)
2
]
=2[(
a
+
b
)
2
+(< br>a
-
b
)
2
]+4
c
2

=4
a
2
+4
b
2
+4
c
2

（五）、注意乘法公式的逆运用
例9 计算(
a
-2
b< br>+3
c
)
2
-(
a
+2
b
-3c
)
2
．
分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运
算简便得多．
解：原式=[(
a
-2
b
+3
c
)+(
a
+2
b
-3
c
)][(
a
-2
b+3
c
)-(
a
+2
b
-3
c
)]
=2
a
(-4
b
+6
c
)= -8
ab
+12
ac
．
例10 计算(2
a
+3
b
)
2
-2(2
a
+3
b
)(5b
-4
a
)+(4
a
-5
b
)
2
分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式，
则运算更为简便．
解：原式=(2
a
+3
b
)
2
+2(2
a
+3
b
)(4
a
-5
b
)+(4
a< br>-5
b
)
2

=[(2
a
+3
b
)+(4
a
-5
b
)]
2

=(6
a
-2
b
)
2
=36
a
2
-24
ab
+4
b
2
．
6

四、怎样熟练运用公式：

（一）、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相
乘，且在这四项中有两 项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平
方差，且是相同项的平方减去相反项的平 方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下
正确运用公式．

（二）、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母
a
、
b
可 以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母
含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公 式．如计算（
x
+2
y
－3
z
）
2
，若视
x
+2
y
为公式中的
a
，3
z
为
b
，则就可用（
a
－
b
）
2
=
a
2
－2
ab
+
b
2
来解了。

（三）、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算 ，此时要根据公式
特征，合理调整变化，使其满足公式特点．

常见的几种变化是：
1、位置变化 如（3
x
+5
y
）（5
y
－3< br>x
）交换3
x
和5
y
的位置后即可用平方差公式计
算 了．
2、符号变化 如（－2
m
－7
n
）（2
m
－7
n
）变为－（2
m
+7
n
）（2
m
－7
n
）后就可用平方
差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
2
3、数字变化 如98×102，99
2
，91
2
等分 别变为（100－2）（100+2），（100－1），（90+1）
2
后就能够用乘法公式 加以解答了．
4、系数变化 如（4
m
+
n
）（2
m< br>－
n
）变为2（2
m
+
n
）（2
m
－
n
）后即可用平方差公
2444
式进行计算了．
5、项数变化 如（
x
+3
y
+2
z
）（
x
－3
y
+6
z
）变为（
x
+3
y
+4
z
－2
z
）（
x
－3
y
+4
z
+2
z
）后
再适当分组就可以用乘法公式来解了．

（四）、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以 使计算更简便．如
计算（
a
2
+1）
2
〃（
a2
－1）
2
，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则
后 再进一步计算，则非常简便．即原式=[（
a
2
+1）（
a
2
－1）]
2
=（
a
4
－1）
2
=
a8
－2
a
4
+1．
对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远 远不够的，还要注意逆向（从右到左）
运用．如计算（1－
1
2
2
） （1－
1
3
2
）（1－
1
4
2
）…（1－
1
9
2
）（1－
1
10
2
），若分别算出 各因式
的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而
逆 用平方差公式，则可巧解本题．
即原式=（1－
2233
1
2
）（ 1+
9
1010
1
2
）（1－
210
=
1
×
3
×
2
×
4
×…××
11
=
1
×
11
=
1
）（1+
1
33
1 1
．
20
）×…×（1－
1
10
）（1+
110
）
有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变< br>式主要有：
a
2
+
b
2
=（
a
+< br>b
）
2
－2
ab
，
a
2
+
b
2
=（
a
－
b
）
2
+2
ab< br>等．
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．
如已知
m
+< br>n
=7，
mn
=－18，求
m
2
+
n
2
，
m
2
－
mn
+
n
2
的值．
7

面对这样的问题就可用上述变式来解，
即
m
2
+< br>n
2
=（
m
+
n
）
2
－2
mn
=7
2
－2×（－18）=49+36=85，
m
2
－
mn
+
n
2
= （
m< br>+
n
）
2
－3
mn
=7
2
－3×（ －18）=103．

下列各题，难不倒你吧？！
1、若
a
+< br>1
=5，求（1）
a
2
+
a
1
a
2
，（2）（
a
－
1
）
2
的值．
a
2、求（2+1）（2
2
+1）（2
4
+1）（2
8
+1 ）（2
16
+1）（2
32
+1）（2
64
+1）+1的末 位数字．
（答案：1.（1）23；（2）21．2. 6 ）

五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式：(a＋b)(a－b)=a
2
－b
2
，(a±b)=a
2
±2ab＋b
2
，
(a± b)(a
2
±ab＋b
2
)=a
3
±b
3
．

第一层次──正用
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．
例1计算
(2)(－2x－y)(2x－y)．
(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y
2
－4x
2
．

第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．
例2计算
(1)1998
2
－1998〃3994＋1997
2
；
解(1)原式=1998
2
－2〃1998〃1997＋1997
2
=(1998－1997)
2
=1




第三层次──活用 ：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；
有时根据需要创造条件，灵活应用公式．
8

例3化简：(2＋1)(2
2
＋1)(2
4< br>＋1)(2
8
＋1)＋1．
分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规 律，如果再增添一个因式“2－1”
便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解．
解原式= (2－1)(2＋1)(2
2
＋1)(2
4
＋1)(2
8
＋ 1)＋1
=(2
2
－1)(2
2
＋1)(2
4
＋ 1)(2
8
＋1)＋1=2
16
．
例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)
分析仔细观察，易见两个因式的字母部 分与平方差公式相近，但常数不符．于是可
创造条件─“拆”数：－1=2－3，5=2＋3，使用公式 巧解．
解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)
=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]
=(2－3y)
2
－(2x－3)
2
=9y
2
－4x
2
＋12x －12y－5．

第四层次──变用 ：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等 变形式，
如a＋b
2
=(a＋b)
2
－2ab，a
3
＋b
3
=(a＋b)
3
－3ab(a＋b)等，则求解十分简单、明快．
2
例5已知a＋b=9，ab=14，求2a
2
＋2b
2
和 a
3
＋b
3
的值．
解： ∵a＋b=9，ab=14，∴2 a
2
＋2b
2
=2[(a＋b)
2
－2ab]=2(92
－2〃14)=106，
a
3
＋b
3
=(a＋b)
3
－3ab(a＋b)=9
3
－3〃14〃9=351

第五层次──综合后用 ：将(a＋b)
2
=a
2
＋2ab＋b2
和(a－b)
2
=a
2
－2ab＋b
2
综合 ，
可得 (a＋b)
2
＋(a－b)
2
=2(a
2
＋b
2
)；(a＋b)
2
－(a－b)
2
=4ab；
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．
例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)．
解：原式=
11
[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]
2
-[(2x+y-z+5)-(2x-y +z+5)]
2
44
=(2x＋5)
2
－(y－z)
2< br>=4x
2
＋20x＋25－y
2
＋2yz－z
2


六、正确认识和使用乘法公式

1、数形结合的数学思想认识乘法公式：
对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a
2
-b< br>2
、完全平方公
式：(a+b)
2
=a
2
+2ab+ b
2
；(a-b)
2
=a
2
-2ab+b
2
，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它
们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的 面积来认识乘法公式。
如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图
9

的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a
2
-b< br>2
；图2中的两个图阴影部分面积分别为
(a+b)
2
与(a-b)< br>2
，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)
2
=a2
+2ab+b
2
与(a-b)
2
=a
2
-2 ab+b
2
。


2、乘法公式的使用技巧：

①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
例1、 运用乘法公式计算：
（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)
2

解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3 x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=1
2
-(3x)
2
=1-9x
2
.
（2） (-2m-1)
2
=[-(2m+1)]
2
=(2m+1)
2
= 4m
2
+4m+1.

②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公
式的特征更加 明显.
例2、 运用乘法公式计算：
111a
（1）(a-b )(-b - ); （2）(x-12)(x
2
+14)(x+12)
3443
111a1111
解：（1）(a-b )(-b - )=(-b+ a )(-b -a )
34434343
11111
2
1
2
1
2
1
2
=(b- a )(b +a )=(b)- (a) = b- a
434343169
(2) (x-12)(x
2
+14)(x+12)= (x-12) )(x+12)(x
2
+14)
=(x
2
-14) (x
2
+14)= x
2
-116.

③逆用公式 将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a
2
-b
2
= (a+b)(a-b)，
10

逆用积的乘方公式，得a
nb
n
=(ab)
n
,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算：
（1）(x2+5)
2
-(x2-5)
2
; （2）(a-12)
2
(a
2
+14)
2
(a+12)
2
解：（1）(x2+5)
2
-(x2-5)
2
=[(x2+5)+(x2-5)] [(x2+5)-(x2-5)]
=(x2+5+x2-5)( x2+5-x2+5)=x〃10=10x.
（2）(a-12)
2
(a
2
+14)
2
(a+12)
2
=[(a-12)(a
2
+14)

(a+12)]
2
=[(a-12

) (a+12) (a
2
+14)]
2
=[(a
2
-14

) (a
2
+14)]
2
=(a
4
-116

)
2
=a
8
-a
4
8+1256.

④合理分组：对 于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各
因式的前面，视为一组；符号相反的项 放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与
完全平方公式进行计算。

计算：（1）(x+y+1)(1-x-y); （2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解：（1） (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)= [1+(x+y)][1-(x+y)]=1
2
-(x+y)
2
=1-(x
2
+2xy+y
2
)= 1-x
2
-2xy-y
2
.
（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)
=[ (2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]
= (2x+5)
2
-(y-z)
2
=(4x
2
+20x+2 5)-(y
2
-2yz+z
2
)
= 4x
2
+20x+25-y
2
+2yz-z
2
= 4x
2
-y
2
-z
2
+2yz +20x+25 .

七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应 用极为广泛。尤其多项式
乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的 结构特
征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。

一. 先分组，再用公式
例1. 计算：
(

abcd)(abcd)
简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开， 则显得非常繁杂。通过观察，将整式
；将另一个整式
(abcd)
运用加法交换 律和结合律变形为
(bd)(ac)
，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即< br>bd)(ac)
(abcd)
变形为
(
可将其展开。
(bd)(ac)bdac
解：原式







二. 先提公因式，再用公式
y

y

例2. 计算：

8x

4x



2

4

简析：通过观察、比较，不难发现， 两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也
成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各 项提公因数2出来，变为
y

2

4x

，则 可利用乘法公式。

4

22
(bd)(ac)
222

b2bdda2acc
2
11

yy

解：原式
24x4x



44
2
2

y


2


4x





4






y
2
2
32x
8

三. 先分项，再用公式
例3. 计算：


2xy322xy36

简析：两个多项中似乎没多大联系，但 先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，
x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而 分析如何将常数进行变化。
若将2分解成4与
2
的和，将6分解成4与2的和，再分 组，则可应用公式展开。
(2x4)(23y)2x423y
解：原式=







四. 先整体展开，再用公式
例4. 计算：
(

a2b)(a2b1)
简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部 分，即

，再
(a2b)1

将第一个整式与之相乘，利用平方 差公式即可展开。
(a2b)(a2b)1
解：原式



(a2b)(a2b)(a2b)

22
a4ba2b

五. 先补项，再用公式
842
例5. 计算：
3

(31)(31)(31)(31)
简析：由观察整式
(31)
，不难发现，若先补上一项
(31)
，则可满足平方差公式。
多次利用平方 差公式逐步展开，使运算变得简便易行。
842
(31)(31)(31)(31)(31)
3
解：原式


2
(3
8
1)(3
4
1 )(3
2
1)(3
2
1)
3
2
(3
8
1)(3
4
1)(3
4
1)
3
2< br>(3
8
1)(3
8
1)

3

2
(3
16
1)
3
253
16

22

六. 先用公式，再展开
12
2
(2x4)23y

2
2
2

4x16x1212y9y


1

1

1

1

例6. 计算：

111…1

2222

2

3

4

1

0

2
1

2

1

简析：第一个整式

1
2

可表示为

1


，由简单的变化，可看出整式符合

2



2



平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。

1

1

1

1

1

1

1

1

解：原式


111111…11
 

2

2

3

3
4

4

1

1

00
31425311911

…

223344101020

七. 乘法公式交替用
2222
例7. 计算：
(

xz)(xx2zz)(xz)(xx2zz)
简析：利用乘法交换律， 把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与
第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。
2222
解：原式


()xz(x2xzz)(x2xzz)()xz




(xz)(xz)(xz)(xz)

22
(xz)
3
(xz)
3



(xz)(xz)

(xz)
223
3
x
6
3x
4
z
2
3x
2z
4
z
6

八、中考与乘法公式
1. 结论开放
例1. （02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需
要添加辅助线 ，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。

22
xyxyxy
分析：利用面积公式即可列出



22
22
yxyxy
xyx2xyy
或x
或





2
在上述公式中任意选一个即可。

例2. （03年陕西中考）
13

如图2，在长为a的正方形中 挖掉一个边长为b的小正方形（
ab
），把余下的部
分剪成一个矩形，如图3，通过 计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是
______________。
< br>2222
abababb

abab
分析：利用面积 公式即可列出

或
a


2. 条件开放
例3. （03年四川中考）多项式
9x
2
1
加上一个单项式后， 使它能成为一个整
式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的 一个即可，
不必考虑所有的可能情况）。
分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出
22
9x16x3x1x16x3x1

或
9

只要再动点脑筋，还会得出
22
81

9

9x
2
1x
4


x
2
1


2


4
9x
2
11

3x

2
2
222
故所加 的单项式可以是

9x19x1
6x
，或
81
4x
，或
1
，或
9x
2
等。
4
3. 找规律
例4. （01年武汉中考） 观察下列各式：

x1

x1

x
2
1

x 1


x
2
x1

x
3
 1


x1


x
3
x
2< br>x1

x
4
1
……
nn1n2
由猜想到的规律可得

____________。
x1xxx…x1 

nn1n2n1
分析：由已知等式观察可知


x1xxx…x1x1


4. 推导新公式
2
a1a2a1
例5. 在公式

中，当a分别取1，2，3 ，……，n时，可得下列


2
n个等式
14


11

2
1
2
211
21

2
2
2
221

2
2

31

3231
……
n
2
2n1

n1

2
将这n个等式的左右两边分别相加，可推 导出求和公式：
123…n
__________（用含n的代数式表示） 分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已
知等式左右两边分 别相加，得：
2
2
移项，整理得：
n112122 …2nn

1
123…nnn1


2
例6. （04年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公 式可以
用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：
22
2ababaa23bb
就可以用图4或图5等图表示。


（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；

（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
22
aba3baa43bb


（3）请仿照上 述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图
形。
22
2ab2baab225ab
解：（1）



（2）如图7
15

（3）略



16