高尔基童年读后感-效能监察工作总结

人教版小学数学知识点整理和复习


第一章 数与代数


第一节 数的认识
一、整数
1、整数的分类
正整数
自然数
整数 零

负整数
零既不是正数也不是负数。

2、整数的意义
像-3、-2、-1、0、 1、2、3、……这样的数统称为整数。整数的个数是无限的。既没有最小的整数，也没有最大的整数。
（1）自然数：像0、1、2、3、……这样用来表示物体个数的数叫自然数。
①自然数是整数的一部分。
②1是自然数的基本单位。
③零是最小的自然数，没有最大的自然数。
（2）负数：在正数前面加上“—”号的数叫作负数，“—”叫作负号。
①负数的个数是无限的。
②没有最小的负数，最大的的负整数是-1.
（3）大于 零的自然数称为正整数。因为自然数是整数的一部分，所以只能说“自然数都是整数”，不能说“整数就是自然数 ”。
（4）0的作用。
①表示没有。（一个物体都没有用0表示。）
②在数字中起占位作用，表示该位上没有单位。
③表示起点。（直尺上的0刻度。）
④表示界线。（温度计、数轴上的0，表示正、负数的分界线。）

3、计数单位、数位与位数
（1）十进制的计数单位有个、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿、十亿、百亿、千亿等。
（2）数位顺序表
按照我国的计数习惯，从右起每四个计数单位是一级。个位、十位、百位、 千位是个级；万位、十万位、百万位、千万位是万级；亿位、十亿位、百亿位、千亿位是亿级。

（3）位数表示计数单位所占的位置。

4、整数的读写
先分级从右向左每四位一级，再从高位到低位一级一级地读或写。

5整数的改写
整万或整亿的数改写成以“万”或“亿”为单位的数。
整万、整亿的数改写：把万位后面的4个0或亿位后面的8个0省略，换成一个“万”或“亿”字。
不是整天万或整亿的多位数的改写。
如果要改写的多位数不是整万整似的数，改写的方法是： 在万位或亿位数字的右下角点上小数点，去掉小数末尾的0，再在小数后面写上“万”或“亿”字作单位。

6、整数的大小比较
比较两个整数的大小，如果位数不同，那么位数多的数就大； 如果倍数相同，先看最高位，最高位上的数大的那个数就大，最高位上的数相同，次高位上的数大的那个数就大… …依次类推。

7、准确数与近似数
（1）有的数是与实际数完全符合的，叫作准 确数。还有的数只是与实际数大体符合，或者说接近实际的数，这样的数叫作近似数。
（2）求一个数的近似数
四舍五入法 进一法 去尾法

8、改写整数与省略尾数的区别
改写整数 省略尾数
在万位或亿位数字的右下角 点上小数用四舍五入法省略指定
点，去掉小数末尾的0，并写上受益人数位后面的尾数，再在后
方法
计数单位“万”或“亿” 面加上相应的计数单位
“万”或“亿”
结果 得到准确数 得到近似数
与原数关与原数相等用“=” 与原数近似，用“≈”
系
二、小数
1、小数的意义
把单位“1”平均分成10份、100份、1000份… …这样的几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

2、小数的数位和计数单位

（1）同整数一样，小数的计数单位也是按照一定顺序排列起来的，它们所占的位置叫作小数的数位。
（2）在小数里，每相邻两个计数单位之间的进率都是10。小数部分的最高计数单位“十分之一”和整 数部分的最低计数单位“一”之间的进率也是10。

3、小数的分类
纯小数，（0.89）
（1）按整数部分分 带小数，（5.32）

有限小数，（10.365）

（2）按小数部分分 无限不循环小数，（π）
无限小数 纯循环小数，（0.4、29.345）
循环小数
混循环小数，（4.2837、0.15973）
●●●●
●●●

4、小数的读写
（1）小数的读法：先读整数部分，它与整数读法相同，如果整数部分是0的 就读作“零”；再读小数部分，小数点读作“点”，小数部分按顺序读出每一个数位上的数字。
（2） 小数的写法：整数部分按照整数的写法来写，如果整数部分是零的就写作“0”，小数点写在右下角，小数部分顺 次写出每一个数位上的数字。

5、小数的基本性质
（1）小数的基本性质：在小数的末尾添上0或者去掉0，小数的大小不变。
（2）小数点的 位置移动引起小数大小变化的规律：小数点向右移动一位、两位、三位……原来小数就扩大到10倍、100倍、 1000倍……小数点向左移动一位、两位、三位……原来的数就缩小到
11
1
它的、 、……
10100
1000
注意：小数点向右或向左移动，倍数不够时，要用0占位。

6小数大小的比较
比较小数的大小，看它们的整数部分数大的那个数就大；如果整 数部分相同，十分位大的那个数就大。如果十分位上的那个数也相同，百分位上的数大的那个数就大……



三、分数与百分数

一、分数
1、分数和意义
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份 的数，叫作分数。其中平均分的份数叫作分母，表示一份或者几份的数叫作分子。

2、分数单位
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数，叫作这个分数的分数单位。

3、分数的分类
真分数：分子小于分母的分数，真分数小于1。
分数
假分数：分子大于分母的分数，假分数大于或等于1。假分数可以改写成带分数或整数。

4、分数的基本性质
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

5、约分和通分
（1）约分：把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数叫约分 ，通常用分子、分母的公因数（1除外）去除分子和分母，要除到得出最简分数为止。
分子、分母是互质数的分数叫作最简分数。
（2）通分：把异分母的分数分别化成与原来分数 相等的同分母分数，先求出原来几个分母的最公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。

6、分数与除法的关系
当整数除法得不到整数商时，可以用分数表示。在分数中， 分子相当于除法算式中的被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。


7、倒数
（1）乘积是1的两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。
（2）求倒数的方法
①根据倒数的概念，1除以原数（0除外），所得的商。
②将原数分子、分母互换位置。

8、分数的大小比较
分母相同，分子大的分数就大；
分子相同，分母小的分数就大；
分母、分子都不同，可以先通分，然后进行比较。

二、百分数
1、百分数的意义
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫百分数。百分数也叫百分比或百分率，百分号用“%”表示。

2、百分数的读写
（1）百分数通常不写成分数形式，而用百分号“%”来表示。

（2）百分数的读法与分数的读法相似，分数是先读分母，再读分子；百分数 是百分号前面数是几，我们就把这个百分数读作百分之几。

3、分数、小数和百分数的互化

改写成分母是10、100、1000……的分数再约分

小数

分数

用分子除以分母


小
数
分


点
约
去
向
数
并
掉
右
分
%
，
式
移
百
形
动
小
成
两
数
数
位
写
分
点
，
再
向
成
添
左
，
上

写
移
数
%

动
小
两
位
成

写
百分数

先


一个最简分数能不能化成有限小数，关键看它的分母：如果分母只含质 因数2和5，就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，它就不能化成有限小数。

4、成数与折扣
6.5
工农业生产中经常用“成数”来表示生产的增长情况，几成就 是十分之几，也就是百分之几十。（六成五==65%）
10
6.5
在进行商品销售时，经常要提到“打折”， 几折就是十分之几，也就是百分之几十。（六五折==65%）
10

四、倍数与因数
1、整除与除尽
（1）整数a与整数b（b≠0）,商是整数且没 有余数，我们就说a能被b整除（也可以说b能整除a）。
（2）甲数除以乙数，商是整数且没有余数，或商是有限小数时，我们就说甲数能被乙数除尽。

2、因数与倍数
在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数 和商的倍数，除数和商是被除数的因数。
找因数和倍数的方法：（1）列乘法算式找；（2）列除法算式找。
一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身。

3、奇数和偶数
是2的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），
不是2的倍数的数叫做奇数。
最小的奇数是1，最小的偶数是0。

4、2、5、3的倍数特征
个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
个位上是0或5的数，是5的倍数。

一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5、质数和合数
质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。有且只有两个因数，1和它本身
合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。至少有三个因数：1、它 本身、别的因数
1： 只有1个因数。“1”既不是质数，也不是合数。

6、分解质因数
把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。通常用短除法分解质因数。

7最大公因数和最小公倍数
（1）几个数公有的因数叫这些数的公因数。其中最大的那个就叫它们的最大公因数。
用短除法求两个数或三个数的最大公因数 （除到互质为止，把所有的除数连乘起来）
（2）公因数只有1的两个数叫作互质数。几个数的公因数只有1，就说这几个数互质。
两数互质的特殊情况：
①1和任何自然数互质；②相邻两个非0自然数互质； ③两个质数一定互质；
④2和所有奇数互质； ⑤质数与比它小的合数互质；
如果两数是倍数关系时，那么较小的数就是它们的最大公因数。
如果两数互质时，那么1就是它们的最大公因数。
（3）几个数公有的倍数叫这些数的公倍数。其中最小的那个就叫它们的最小公倍数。
用短除法求两个数的最小公倍数（除到互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
用短除法求三个数的最小公倍数（除到两两互质为止，把所有的除数和商连乘起来）
如果两数是倍数关系时，那么较大的数就是它们的最小公倍数。
如果两数互质时，那么它们的积就是它们的最小公倍数。
第二节
一、四则运算
1、四则运算的意义
（1）加法：把两个数合并成一个数的运算。
（2）减法：已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。
（3）乘法
①一个数乘整数就是求几个相同加数的和的简便运算
②一个数乘小数就是求这个数的十分之几、百分之几……是多少。
③一个数乘分数线就是求这个数的几分之几是多少。
（4）除法：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

2、估算
（1）估算的方法
①求平均数法
②取整求总法


数的运算

（2）根据估算对事物作出判断

3、四则运算各部分的关系
加数+加数=和； 一个加数=和－另一个加数
被减数－减数=差； 被减数=差+减数； 减数=被减数－差
因数×因数=积； 一个因数=积÷另一个因数
被除数÷除数=商； 被除数=商×除数； 除数=被除数÷商
除不尽时：被除数÷除数=商……余数；被除数=商×除数+余数

4、四则混合运算的顺序
加法、减法、乘法、除法，统称为四则运算。
其中，加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算。
同级运算时，从左到右依次计算；
两级运算时，先算乘除，后算加减。
有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的；
有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

二、运算定律和性质
1、运算定律
（1）加法交换律：a＋b=b＋a
（2）加法结合律：(a＋b) ＋c=a＋(b＋c)
（3）乘法交换律：a×b=b×a
（4）乘法结合律：(a×b) ×c=a×(b×c)
（5）乘法分配律：(a＋b) ×c=a×c＋b×c

2、乘法分配律的推广
(a－b) ×c=ac－bc
111
(a＋b) ÷c=(a＋b) ×=a×＋b×
ccc

3、运算性质
（1）减法的性质：a－b－c=a－(b＋c) a－(b－c)=a－b＋c
（2）除法的性质：a÷b÷c=a÷(b×c) a÷(b÷c)=a÷b×c
（3）商不变性质：
被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外），商不变。
a÷b=(a×m)÷(b×m) =(a÷m)÷(b÷m) （b、m不为0）
（4）奇数和偶数的运算性质
奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数；
奇数×奇数=奇数； 偶数×偶数=偶数； 奇数×偶数=偶数。

4、计算技巧 运用运算定律、性质可以使一些计算简便，计算时，要认真审题，根据题目的结构和数字的特点，灵活运用运 算定律，性质，通过对数的分解、组合和凑整，使计算简便。

三、数的运算在生活中的应用
1、常用数量关系
（1）单价×数量＝总价 总价÷数量＝单价 总价÷单价＝数量
（2）总产量÷面积＝单产量 单产量×面积＝总产量 总产量÷单产量＝面积
（3）路程÷时间＝速度 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间
路程÷速度和＝相遇时间
（4）工效×时间＝工作量 工作量÷工效=时间 工作量÷时间=工效
（5）单位“1”的量×分率=分率对应量
单位“1”的量×（1 + 分率）=分率对应量
XX率=
要求量（就是XX所代表的信息）
X100%
单位“1”的量（总量）
（6）图上距离÷实际距离＝比例尺 实际距离×比例尺＝图上距离
图上距离÷比例尺＝实际距离
（7）应纳税额：各种收入=税率
x
利息=本金×利率×存期 （是年利率时，存期是X月的要乘
）

12

2、解决问题的一般步骤
（1）理解题意
（2）分析数量关系
（3）列式解答
（4）验算并给出答案

3、解决问题的思考方案
（1）分析法（从问题入手，找解题条件。）
（2）图解法（绘图分析数量关系，如线段图。）
（3）综合法（从已知条件入手，求出最后的问题。）




第三节 式与方程

1、用字母表示数
字母与字母表相乘时，乘号可以用“· ”来表示，也可以省略不写。注意数字与字母相乘省略乘号时，数字要写在前面。

2、等式
（1）意义：表示相等的式子叫等式。

（2）等式的性质：
①等式的两边同时加上或减去相同的数，等式仍然成立。
②等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍然成立。

3、方程
（1）意义：含有未知数的等式叫方程。
（2）方程和解与解方程：
①使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。
②求方程解的过程叫解方程。它的依据是利用等式的性质或四则运算各部分的关系。
③方程的解与解方程的区别：方程的解是一个数，而解方程是一个过程。


4、方程与等式的关系
方程一定是等式，等式不一定是方程。
等式
方程

5、列方程解决问题
（1）列方程解决问题就是用字母代替应用题中的未知数，根据数量韹相等关系列方程，然后解方程。
（2）列方程解应用题的一般步骤：
①弄清题意，找出未知数并用 X表示；
②找出数量的间的相等关系，列方程；
③解方程；
④检验或验算，写出答案。





第四节



1、比和比例的意义与性质
比
意义 两个数相除又叫作两个数
的比
基本性比的前项和后项同时乘或
质 除以相同的数（0除外），比
值不变

比和比例
比例
表示两个比相等的式子叫作比
例
在比例里，两个内项的积等于
两个外项的积

2、比、分数与除法的关系

联系 区别
比 前项 ： 后项 比值 两个数之间的倍数关系
除法 被除
÷
除数 商 一种运算
数
分数 分子 — 分母 分数值 一种数

3、求比值和化简比的区别与联系
一般方法 结果
求比根据比值的意义，用前项除以后项 是一个商，可以是整数、
值 小数或分数
化简根据比的基本性质，把比的前项和是一个比，它的前项和后
比 后项同时乘或者除以相同的数（0项都是整数
除外）

4、解比例
求比例中的不末知项叫作解比例。

5、比例尺
图上距离和实际距离的比叫作这幅图的比例尺。
图上距离

实际距离
=比例尺

比例尺有：数值比例尺和线段比例尺

6、正比例和反比例的区别与联系

相同点
不同点
特征 关系式
正比两种相关联的两种量中相对应的两个数
y
例 量，一种量变化，的比值一定
x
k(一定）

反比
另一种量也随着
两种量中相对应的两个数
例
变化
的乘积一定
xy=k(一定)





第二章 图形与几何

第一节 图形的认识与测量

一、 线与角
1、线
(1)线的意义和特征
名称 意义 特征
用直尺把两点连接起来，就得到有两个端点，长度是有限的，可以度
线段 一条线段。线段长就是这两点间量。两点之间线段最短
的距离
把线段向一边无限延长，就得到有一个端点，长度是无限的，不可以
射线
一条射线 度量
把线段向两边无限延长，就得到没有端点，长度是无限的，不可以度
直线
一条直线 量

（2）线的位置关系
同一平面内两条直线的相对位置关系如下：
平

行
垂直
相
交
不垂直


①平行线：在同一平面内永不相交的 两条直线叫作平行线。平行线间的距离处处相等。平行线间垂直线段最短。
②垂线：两条直线相交成直 角，这两条直线互相垂直。其中一条叫作另一条的垂线，它们的交点叫作垂足。
③从直线外一点到直线的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段叫作点到直线的距离。

2、角
（1）角的意义
从一点引出两条射线所组成的图形叫作角。这个点叫作角的 顶点，这两条射线叫作角的边。角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。
（2）测量
利用量角器可以画角或量出角的度数。首先将量角器的中心与角的顶点重合，然后再将量角器的零刻度 线与角的一边重合，另一条边所对准的刻度就是这个角的度数。
（3）画角
画角的方法 在很多，我们应该学会用量角器画角。首先要确定角的顶点，并画出角的一条边，然后将量角器的中心和零刻度线 与角的顶点和画好的一条边重合，数出量角器上所画角的度数，做好
标记，然后连接顶点和标记，这样就 画好了一个指定度数的角。

（4）角的分类
名称 图形 特征

锐角

直角

钝角
平角




大于0°小于90°的角
等于90°的角
大于90°小于180°的角
等于180°的角
1平角=2直角

等于360°的角
周角
1周角=2平角=4直角

二、平面图形
1、三角形
（1）定义：由三条线段首尾互相连接围成的图形叫三角形。
（2）三角形的分类
（3）各类三角形的关系
按
角
三
分
角
形 按
边
分
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个角都是锐角的三角形
有一个角是直角的三角形
有一个角是钝角的三角形
等腰三角形 两条边相等的三角形
三条边都相等的三角
形。每个角都是60°
三条边都不相等的三角形
等边三角形
不等边三角


（4）三角形三边之间的关系



等边三角形 等腰三角形 三角形


①三角形任意两边的和大于第三边。

②三角形任意两边的差小于第三边。
（5）三角形内角和等于180°。
（6）三角形具有稳定性。

2、各类四边形的关系、定义和特征

四边形
平行四边形
长方形
正方形 梯形



（1）由四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形。
（2）平行四边形
①定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。
②特征：平行四边形的对边平行且相等，对角相等。
（3）长方形
①定义：有一个角是直角的平行四边形叫作长方形。
②特征：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等。
（4）正方形
①定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
②特征：对边平行且四条边相等，四个角都是直角。
（5）梯形
①定义：只有一组对边平行的四边形叫作梯形。
②特征：只有一组对边平行。

3、圆
（1）定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心。定长称为半径。
（2）圆的位置和大小：圆心决定圆的位置，圆的半径或直径决定圆的大小。
（3）特征：同 圆或等圆的所有半径相等，同圆或等圆的所有直径相等，同圆或等圆的直径等于半径的2倍。

4、扇形
（1）圆上A、B两点之间的部分叫做弧，读作“弧AB”。
（2）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。
（3）顶点在圆心的角叫做圆心角。
（4）扇形的大小与半径和圆心角的大小有关。
5、平面图形的周长、面积
周长：图形一周的长度，就是图形的周长。常用C表示。
面积：围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。常用S表示。

6、周长相等时：S圆形 > S正方形 > S长方形

面积相等时：C长方形>C正方形>C圆形

三、立体图形
1、表面积、体积、容积的含义及体积单位
（1）表面积：物体表面面积的总和。表面积通常 用S表示。常用面积单位是km
2
、m
2
、dm
2
、cm< br>2
。
（2）体积：物体所占空间的大小。体积通常用V表示。常用体积单位是m
3
、dm
3
、cm
3
。
（3）容积：容器所能容纳物体的体积。常用容积单位是L、mL。
（4）体积与容积的计算 方法相同，但它们的意义不同，测量的方法（体积是从物体的外面测量，容积是从容器的里面测量）不同，计量单 位不同，计算物体的体积，必须使用体积单位“立方米、
立方分米、立方厘米”等，计算容积一般使用容 积单位“升、毫升”；但计算较大物体的容积时，也拿体积单位“立方米”来通用，因为升和毫升只限于计量液体 ，如桶装的汽油、小瓶装的药水。

2、长方体


特征：6个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。 相对的面互相平行且面积相等，12条棱相对的4条棱（互相平行）长度相等。 有8个顶点。 相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫
做长、宽、高。 两个面相交的边叫做棱。三条棱相交的点叫做顶点。 把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。 长方体或者正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。

3、正方体


特征：六个面都是正方形；六个面的面积相等； 12条棱，棱长都相等； 有8个顶点； 正方体可以看作特殊的长方体；

4、圆柱


圆柱的认识 圆柱的上下两个面叫做底面。 圆柱有一个曲面叫做侧面，展开图是一个长方形 （长是底面周长，宽是高）。圆柱两个底面之间的距离叫做高，有无数条高。 把圆柱切开可以拼成一个

近似的长方体，拼成长方体的长等于 圆柱底面周长的一半（πr），宽等于圆柱的半径（r），高等于圆柱的高。

5、圆锥


圆锥的认识 圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。 从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，只有一条。 把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
立体图形表面积体积的计算公式
图
形
正
方
体
字母
表示
V：体
积
S：表
面积
a：棱
长
V：体
积
S：表
面积
a：长
b：宽
h：高
V：体
积
h：高
S：面
积
r：半径
c：周
长
V：体
积
h：高
S：底
面积
r：半径
表面积
计算公式
体积
字母公式
S=a×a×6
=a²×6
=6 a²
计算公式 字母公式
表面积=棱长×棱长
×6
体积=棱长×棱长V=a×a×a
×棱长 =a³
长
方
体
表面积=
（长×宽+长×高+宽
×高）×2
S=
体积=长×宽×高
2（ab+ah+bh）
V=abh
V=Sh
圆
柱
体
侧面积=底面周长×
高
底面周长=底面直径
×π
=底面半径
×2×π
表面积=侧面积+底
面积×2

S侧面积=ch
=π
dh
=2πrh
体积=底面积×高 V =πr
2
h
S表面积=
S侧+S底×2

体积=底面积×高
1
×
3
圆
锥
体


1

V=Sh
3
1
=π
3
r
2
h


第二节 图形的变换

1、平移
（1）意义：物体沿直线移动，这种现象叫作平移现象。
（2）特征：物体的形状、大小不变，只是物体位置发生变化。

2、旋转
（1）意义：物体以某一点为旋转点，或以某一轴为旋转轴，按一定方向转动，这种现象叫旋转现象。
（2）特征：物体的形状、大小不变，只是物体位置发生变化。

3、轴对称图形
（1）意义：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形叫作思对称图形，这 条直线叫作对称轴。
（2）特征：对称轴两边的图形大小完全相等。


（3）轴对称图形

4、放大或缩小
（1）意义：图形按一定的比例放大或缩小。
（2）特征：放大或缩小后的图形与原图形大小不同，形状完全相同。

第三节 图形与位置

1、确定位置的方法
（1）用前、后、左、右确定位置。
（2）用东、西、南、北确定位置。

北



西北 东北
西 东

西南 东南
南
（3）用数对确定位置。
①横行竖列：在生活中我们把横行看成“行”，把竖列看成“列”。
②确定位置：寻找到行列的交点，就是物体的位置。
③位置的表示方法：列前行后，也就是我们用数对表示位置时，列放在前，行放在后。

（4）将方向和距离结合起来确定位置。
①选择观测点。
②确定方向。
③测量距离。
2、观察测绘要点
（1）掌握方向，按序观察。
（2）看清特征，认识形状。
（3）分别测绘，排列有序。

6、只有综合一般是从正面、侧面和上面三个方向观察到的平面图形，才能确定立方体图形的形状。


第四节

1、量、计量和计量单位的意义
(1)量：事物的多少、长短、轻重、快慢等，这些可以测定的客观事物的特征叫作量。
(2)计量：把一个要测定的量同一个作为标准的量相比较叫作计量。
(3)计量单位：用来作为计量标准的量叫作计量单位。

2、常用的计量单位及进率
各单位间的进
计量单位 各单位间的进率 量 计量单位
率
千米 km 千米
(1000)
米 m 米

(10)
分米 dm 分米 世纪
世纪
(100)
(10)
厘米 cm 厘米 年
年
(12)
(10)
毫米 mm 毫米 月
月
时间
日
日
平方千米 平方千米
(100)(24)
2
时
时
km 公顷
(10000)
(60)
分
分
公顷 平方米
(100)
(60)
2
秒
秒
hm 平方分数
(100)

平方米 m
2
平方厘米
常见的量
量
长
度
面
积

平方分米
dm
2

平方厘米
cm
2

吨 t 吨 有31日的月份是：
质千克 千克
(1000)

（1，3，5，7，8，10，12）。
量 kg 克
(1000)
有30日的月份是：
克 g （4，6，9，11）。
立方米 m
3
立方米
平年（365天）的二月份有28天，
体立方分米 立方分米
(1000)
闰年（366天）的二月份有29天。
积dm
3
立方厘米
(1000)
公历年份是4的倍数的一般都是闰
（升） L 升
年，但公历年份是整百（整千）数的，
容立方厘米 毫升
(1000)
必须是400的倍数才是闰年。如1990
积 cm
3

年不是闰年，而2000年是闰年。
（毫升） mL
一年有四个季度，一个季度三个月。
人

一个月分为上中下旬（上旬10天，
民
元 元
中旬10天，下旬为剩下的天数。）
币
角 角
(10)
分 分
(10)
3、名数的概念及互化方法

（1）名数的概念
①名数：带有计量单位名称的数量叫作名称。
②单名数：只带一个计量单位名称的名数叫作单名数。
③复名数：带有两个或两个以上计量单位名称的名数叫作复名数。

（2）互化方法
乘以进率


高级单位名称 低级单位名称
除以进率


1、统计图表分类

单式统计表
统计表
复式统计表
统
单式条形统计图
计
条形统计图
图
表

第三章 统计与概率

第一节 统计

统
计
图
复式条形统计图
单式折线统计图
折线统计图
复式折线统计图
扇形统计图



2、各种统计图的特点和作用
条形统计图 折线统计图 扇形统计图
用一个单位长度表示相同的数量 用整个圆的面积表示总数
用圆内各个扇形的面积
特< br>用直条的长度表示用折线的起伏表示数量增
量，
点
数量的多少 减的变化，用点的高低表
表示各部分数量占总数量
的百分数
示数量的多少
能清楚地反映出数不仅能清楚地反映出数量能清楚地反映出各部分数
作
量的多少，便于数的多少 ，而且能反映出数量占总数量的百分之几，以
用
量间的比较 量变化的趋势 及各部分数量之间的关系

3、制作统计图的步骤
（1）制作条形统计图的一般步骤
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的线条，作为纵轴和横轴。
②在水平射线(横轴)上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。
③在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位。
④根据数据的大小，画出长短不同的直条，并标上标题。
⑤若条形太小可适当在条形内画上颜色等区分。
（2）制作折线统计图的一般步骤
①根据图纸的大小，画出两条互相垂直的射线。
②适当分配各点的位置，确定各点的间隔。
③在与水平射线垂直的射线上，根据数据大小的具体情况,确定单位长度表示多少。
④按照数据的大小描出各点，再用线段顺次连接起来。
⑤在图纸上方写上统计图的标题，注明制图日期及制图人姓名。
（3）制作扇形统计图的一般步骤
用圆规画一个圆，然后把统计表上的条件计算一遍（例如 食品支出占总开支35％），用360°乘以每个条件相对应百分数，求得每个条件在扇形统计图应画多少度。这 些工作完成后，确定好这个圆
的中心点，然后用量角器分别画出扇形，最后在每个扇形中标出相对应的条 件和标上百分数。

4、平均数
（1）两个或两个以上的数相加的和除以相加的数的个数，所得的商叫平均数。
（2）平均数=总数÷总份数

5、众数：是指一组数中个数最多的数，一组数众数可以是1个或几个。
中位数：把一 组数从大到小排列后，最中间的数（若总数为偶数，则为中间两数的平均数）。一组数的中位数只有1个。

第二节 可能性

1、可能性
一定发生
能确定
一定不发生
事
等可能性
件 不
可能发生（大或小）
能
用分数表示发生的可能性
确
定

可能不发生（大或小）
2、可能性大小的求法
可能性的大小
事件发生的可能的结果总数

所有可能的结果总数


一、打电话—最优方案
1、逐个法：所需时间最多；2、分组法：相对节约时间；3、同时进行法：最节约时间。

……
时间 共知道总人数
新通知人已经通知总人
数 数
1 2 1 1
2 4 2 3
3 8 4 7
4 16 8 15
…… …… …… ……
n 2
n
2
n
÷2 2
n
－1
已经通知总人数=时间数n个2相乘－1

二、找次品
数目与测试的次数的关系：2～3（3
1
）个物体，保证能找出次品需要测的次数是1 次
4～9（3
2
）个物体，保证能找出次品需要测的次数是2次
10～27（3
3
）个物体，保证能找出次品需要测的次数是3次
第四章数学思考 综合与实践

28～81（3
4
）个物体，保证能找出次品需要测的次数是4次
82～243（3
5
）个物体，保证能找出次品需要测的次数是5次
…… （3
n
） ……n次
保证能找出次品需要测的次数是待测物品数小于或等于多少个3相乘的个数。
用天 平找次品，当待测物品是3个或3个以上时，保证找出次品所称次数最少的方法是：将待测物品分成3份，能平均 分的要平均分，不能平均分的要使多的那一份与少的那一份相差1。

三、确定起跑线
1、每条跑道的长度 = 两个半圆形跑道合成的圆的周长 + 两个直道的长度。
2、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）
3、相邻两个跑道的差是= C外－C内
=(πD＋两直道)－（πd＋两直道）
=2πR－2πr
=2×π×跑道的宽度
四、数与形
在数与形之间建立联系，寻找规律，发现规律，运用规律提高计算技能。
例如：
1+3+5+7+9+……+n=[(n+1) ÷2] ² （奇数个数的平方）
2+4+6+8+……+n=（n ÷2）（n ÷2+1） （偶数的个数X偶数的个数多1的数）
1+2+3+4+5+……+n+（n-1）+……+5+4+3+2+1=n ²
1111
12
+
23
+
34
+…+

（n-1）n
=1－
1
n

2
13
+
2
35
+
2
57
+…+
2
(n-2) n
=1－
1
n

1
2
+
1
4< br>+
1
8
+
1
1
1
n-1
16
+
32
+…+
n
=
n



1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
1 6
+
1
32
+…=1


五、抽屉原理（鸽巢原理）
1、抽屉原理
(1)要保证“至少”必须平均分，余下的数要进行二次平均分，就能保证“至少”。
(2)找准不同情况数看作抽屉数。
把10个苹果要放到9个抽屉里，无论怎样放，我们会发 现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。6只鸽子飞进5个鸽巢，总有 一个鸽巢至少飞进2只鸽

子，所以也称为“鸽巢原理”。
如果物体的个数除以抽屉数有余数，用所得的商+1，就能确定总有一个抽屉里至少放几个物体了。
物体数÷抽屉数=商……余数
至少数=商＋1
2、抽屉原理逆用
从最不利原则出发，保证“至少”。
商×抽屉数＋1=至少的物体数

六、植树问题的公式
线路上的植树问题主要可分为以下三种情形：
1、如果在线路的两端都要植树，那么：
株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1
全长＝株距×(株数－1)
株距＝全长÷(株数－1)
2、如果在线路的一端要植树,另一端不要植树，那么：
株数＝段数＝全长÷株距
全长＝株距×株数
株距＝全长÷株数
3、如果在线路的两端都不要植树，那么：
株数＝段数－1＝全长÷株距－1
全长＝株距×(株数＋1)
株距＝全长÷(株数＋1)

七、鸡兔同笼
许多小学算术应用题都可以转化成这类问题，或者用解它的典型解法——“假设 法”来求解。因此很有必要学会它的解法和思路。通常是假设法比较简单易懂一点。
今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？
假设法
假设全是鸡：2人教版小学数学知识点2×35=70（只）；鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）；兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）；兔子的只数：24÷2=12 （只）；鸡的只数：35－12=23（只）。
方程法
解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。
4x＋2(35－x)=94；解得 x=12；鸡：35-12=23(只）。
注：通常设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其他类似鸡兔同笼的问题上，好算一些。
抬腿法
方法一：假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。笼子 里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
方法二：假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚 ， 这时鸡是屁股坐在地上， 地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
方法三：我们可以先让兔子都抬起2只脚，那么就有35×2=70只脚，脚数和原来差94-70=2 4只脚，这些都是每只兔子抬起2只脚，一共抬起24只脚，用24÷2得到兔子有12只，用35-12得到< br>鸡有23只。
公式
1：（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数
总只数－鸡的只数=兔的只数
2：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数

3：总脚数÷2－总头数=兔的只数
总只数－兔的只数=鸡的只数
4：鸡的只数=(4×鸡兔总只数－鸡兔总脚数）÷2 兔的只数=鸡兔总只数－鸡的只数
5：兔总只数=（鸡兔总脚数－2×鸡兔总只数）÷2 鸡的只数=鸡兔总只数－兔总只数
6：（头数×4－实际脚数）÷2=鸡
7：4x＋2（总数－x）=总脚数 （x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）



八、优化
合理安 排事情，在生活中可以提高效率，节省时间。在我们的身边还有许许多多需要合理安排的事情，聪明的人总是把事 情进行最优的安排来提高效率。

九、自行车里的数学的
前齿轮数×前齿轮转数=后齿轮数×后齿轮转数
蹬一圈的路程=前齿轮齿数÷后齿轮齿数×车轮的周长

十、数字编码



十一、探索图形（棱长为1的小正方体拼成大正方体后）

十二、找规律
1、第n 幅图有多少个棋子？
1×1=1 2×2=4 3×3=9
2、6个点可以连多少条线段


棱长 三面涂色的块两面涂色的块一面涂色的块没有涂色的块数
数 数 数
2 8 0 0 0
3 8 12 6 1
4 8 24 24 8
5 8 36 54 27
…… …… …… …… ……
n 8 (n-2) ×12 (n-2) ×(n-2) ×6 (n-2) ×(n-2)
×(n-2)

4×4=16 n×n=n²

点数 增加条
数
总条数
2 1
3 2 1＋2＝3（条）
4 3 1＋2＋3＝6（条）
5 4 1＋2＋3＋4＝10（条）
6 5
1＋2＋3＋4＋5＝15
（条）

n个点呢？
1＋2＋3＋……＋（n－1）=n（n－1）÷2

3、六年级有三个班，每班有2个班长。开班长会时，每次每班只要一个班长参加。第一次到 会的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。请问：哪两位班长是同班的？
用数字“1” 表示到会，用数字“0”表示没到会。
A B C D E F
第一次 1 1 1 0 0 0
第二次 0 1 0 1 1 0
第三次 1 0 0 0 1 1
第一次到会可以看出A只可能和D、E或F同班；第二次到会可以判断A只可能和 D或F同班；第三次到会可以判断A只可能和D同班。同理B和F同班，C和E同班。