赣南医学院教务处-凝聚态

高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，
往往将幂函数 、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.
这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面 加以探寻，即利用函数的
性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧.
【方法归纳】

（一）常用技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我
慢慢道来：
判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为

0,1

和
1,


（1）如果底数和真数均在

0,1
< br>中，或者均在

1,

中，那么对数的值
为正数
（2）如果底数和真数一个在

0,1

中，一个在

1 ,

中，那么对数的值
为负数
例如：
log
3
0.50,log
0.5
0.30,log
2
30
等
2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，
一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过 真数
的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要
熟练运用公式，尽量 将比较的对象转化为某一部分相同的情况
1
3
1
4
1
2< br>例如：
3,4,5
，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指
数可以 变为相同
3

3
1
3
1
4
12

,4

4
1
4
1
3
12

,5

5
1
2
1
6
12
，从而只需比较底数的大小即可
（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“- 1，0,1”对
所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在
兵法上可 称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常
数对所比较的数的值进行估计，例如log
2
3
，可知
1log
2
2log
2
3log
2
42
，进而可估计
log
2
3是一个1点几的数，从
而便于比较
4、常用的指对数变换公式：

m

m
n
（1）
a

a

< br>
n
（2）
log
a
Mlog
a
Nl og
a
MN

log
a
Mlog
a
N log
a
n
（3）
log
a
Nnlog
aN

a0,a1,N0


M

N< br>（4）换底公式：
log
a
b
log
c
b

log
c
a
1
n
（令
cb
）
log
a
m
N
n
log
a
N

log
b
a
m
进而有两个推论：
log
a
b
（二）利用函数单调性比较大小
1、函数单调性的作用：
f

x

在

a,b

单调递增，则
x
1
,x
2


a,b

,x
1
x
2
f

x
1

f

x
2


(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁）
2、导数运算法则：
（1）

f

x

g

x


f
'

x

g

x

f

x

g
'
x



f

x

f
'

x

g

x

f< br>
x

g
'

x

（2）




2
gxgx


''
3、常见描述单调性的形式
（1）导数形式：
f
'
x

0f

x

单调递增；
f
'

x

0f

x

单调递减
（2）定义形式：
f

x
1

f

x
2

f

x
1

f

x
2


0
：
0
或

x< br>1
x
2



x
1
x
2

表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号< br>则说明函数单调递减
4、技巧与方法：
（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找 入手点.所以处理这类问题
要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列
出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点
（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜 想，例如出现轮流求导便
猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整
（ 3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变
量放入至同一单调区间中进行比较
（三）数形结合比较大小
1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观 察
得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐
标轴的距离，即可得 到函数值的大小关系
（1）若
f

x

关于
x a
轴对称，且

a,

单调增，则图象可能以下三
种情 况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小
（2）若
f

x

关于
xa
轴对称，且

a,

单 调减，则图象可能以下三
种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大
2、 函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的
根视为两个函数的交点.抓住共同的函 数作为突破口，将其余函数的图
象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.

【经典例题】

alog
2
0.2，b2
0 .2
，c0.2
0.3
，例1【.2019全国Ⅰ卷理数】已知

则（ ）
A．
abc

C．
cab

【答案】
B


B．
acb

D．
bca

【解析】
alog
2
0.2 log
2
10,
b2
0c0.2
0.3
0.2< br>0
1,
即
0c1,

0.2
2
0
1,

则
acb
．

故选
B
．

例
2.
【
2019全国Ⅱ卷理数
】若
a>b
，则（

）

A
．
ln(a−b)>0
C
．
a
3
−b
3
>0
【答案】
C
B
．
3
a
<3
b

D
．
│a│>│b│
【解析】取
a2,b1
，满足< br>ab
，但
ln(ab)0
，则
A
错，排除
A< br>；
由
93
2
3
1
3
，知
B< br>错，排除
B
；

取
a1,b2
，满足
ab
，但
|1||2|
，则
D
错，排除
D
；

3
因为幂函数
yx
是增函数，
ab
，所以< br>a
3
b
3
，即
a
3
−b
3
>0
，
C
正确
.
故选
C
．

例
3.
【
2019全国Ⅲ卷理数
】设
f

x

是定义域为
R
的偶函数，且在

0,+

单 调递减，则

2
3
1


2
ff
）＞（
2
）＞（
2
3
）

4
2
3
1


3
fff
B
．（
log
3
）＞（
2
）＞（
2
2
）

4
2
3
1


C
．
f
（
2
2
）＞
f
（
2
3
）＞
f
（
log
3
）

4
2
3
1


3
2
fff
D
．（
2
）＞（
2
）＞（log
3
）

4
A
．
f
（
log
3
【答案】
C
1
Qfx
f(log)f(log
3
4)
．


【解析】是定义域为
R
的偶函数，
3
4

Qlog
3
4log
3
31,122
0

2
3
2,log
3
42

32

2
3
2

3
2
，
< br>又
f

x

在
(0
，
+∞)
上单调递减，

3




2


∴
f(log
3
4)f

2
3
< br>f

2
2

，



2




3

1

3< br>2
f2f2flog
即




3< br>
.
4



故选
C
．

例4 .【2017天津】已知奇函数
f(x)
在R上是增函数，
g(x)xf(x).若
ag(log
2
5.1)
，
bg(2
0.8
)
，
cg(3)
，则a，b，c的大小关系为（ ）
（A）
abc
（B）
cba

【答案】
C

（C）
bac
（D）
bca

【解析】因为
f(x)
是奇函数且在
R
上是增函数，所以在
x0
时，
f(x)0
，
从而g(x)xf(x)
是
R
上的偶函数，且在
[0,)
上是 增函数，
ag(log
2
5.1)g(log
2
5.1)
，
2
0.8
2
，又
45.18
，则
2log
2
5.13
，所以即
02
g(2
0.8
)g (log
2
5.1)g(3)
，
0.8
log
25.13
，
所以
bac
，故选C．
例5.【2017山东】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是
1bb1

a
log
2

ab

B.
a
log
2

ab

a

b22b
1b1b
C.
alog
2

ab


a
D.
log
2

ab

a
a

b2b2
A.
a
【答案】B
【解析】因为
ab0
，且
ab1
，
所以
a1,0b1,

2
a
1
b
b
1,log
2

ab

log
2
2ab1,

2
a
a
11
abalog
2

ab

，所以选B.
bb
例6.【20 19天津理数】已知
alog
5
2
，
blog
0.5< br>0.2
，
c0.5
0.2
，则
a,b,c
的大小关 系为（ ）
A．
acb

C．
bca

【答案】
A
【解析】因为
alog
5
2log
5
5
blog
0.5
0.2log
0.5
0.25 2
，

0.5c0.5
10.2


B．
abc

D．
cab

1
，

2
1
0.5
，即
c1
，

2
0
所以
acb
.
故选
A.

【最新模拟】



1
1
．（
2020·
福建高三（理））设
ae

2
，
b4e
2< br>，
c2e
1
，
d3e

2
，
则
a,b,c,d
的大小关系为（

）

A
．
cbda
B
．
cdab

C
．
cbad

【答案】
B
【解析】

D
．
cdba
.

3
9e
16< br>1e
3
44e
2
2
2
2
a
4< br>，
b
4
，
c
2

4
，
d
4
，由于
e2.7
，
e
2
7.39
，
e
e
eeee
2
e
3
20.09
， 所以
cdab
，故选：
B
．


2
．（
2020·
湖南高三学业考试）
10
名工人某天生产同一零件，生产的件
数是
15
，
17
，
14
，
10
，
15
，
17
，
17
，
16
，
14
，
12.
设其平均数为
a
，

中位数为
b
，众数为
c
，则有（

）
.
A
．
abc

C
．
cab

【答案】
B
1
(15 171410151717161412)14.7
，

10< br>1
中位数为
b(1515)15
，众数为
c=17
.< br>故选：
B.
2
B
．
cba

D
．
bca


【解析】
a
qlog5
10
3.
（
2020·
四川省泸县第二中学高三月考（文）） 已知
plog
3
6
，
rlog
7
14
，则
p
，
q
，
r
的大小关系为（

）

A
．
qpr
B
．
prq

【答案】
C
【解析】依题意得
p1+log
3
2
，
q1log
5
2
，r1log
7
2
，而
C
．
pqr
< br>rqp
D
．
log
3
2log
5
2 log
7
2
，所以
pqr
.
4.
（
2020·
四川省泸县第四中学高三月考（理））设｛
a
n
｝是等比数列，
则
“a
1
＜
a
2
＜
a
3
”
是数列｛
a
n
｝是递增数列的

A
．充分而不必要条件

C
．充分必要条件

【答案】
C
B
．必要而不充分条件、

D
．既不充分也不必要条件


a
1
0

a
1
0
2
aaaaaqaq
【解析】1
或

，所以数列

23111
q1
0q 1


｛
a
n
｝是递增数列
,
若数列< br>{a
n
}
是递增数列，则
“a
1
＜
a
2
＜
a
3
”
，因此
“a
1
＜
a
2
＜
a
3
”
是数列｛
a
n
｝是递 增数列的充分必要条件，选
C
5
．（
2020·
四川棠湖中学高三 月考（文））设
alog
2018
2019
，
blog
2019
2018
，
c2018
1
2019
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（

）．

B
．
acb

D
．
cba

A
．
abc

C
．
cab

【答案】
C
【解析】

1
因为
1log
2018
2018alog
2018
2019log
2018
2018,

2
1
1
blog
2019
20 18log
2019
2019,
c2018
2019
201 8
0
1
，

2
故本题选
C.
0.10 .1
6
．（
2020·
北京八十中高三开学考试）设
a4,bl og
3
0.1,c0.5
，
则

（

）

A
．
abc
B
．
bac

C
．
acb
D
．
bca

【答案】
C
【解析】
a4
0.1

1,blog
3
0. 10,0c0.5
0.1
1
，
acb
，故选
C
.
2.9
4
1

7
．（
2020·< br>河南高三月考（文））己知
a
4
6
，
blog
5
，
c

，
4
21

3
则（

）

A
．
abc
B
．
acb

C
．
bca
D
．
cab

【答案】
B
【解析】因为
a 666
0
1
4
1
4
，
4

1

blog
5
log
5
10,0c
 

3

4
21
4
所以
acb
，故选：
B.
2.9

1



1
，


3

0
8.
（
2020·
广东高三月 考（文））已知
alog
3
8
，
b0.25
0.8< br>，
c8
，
则（

）

A
．
abc
B
．
bac

C
．
bca
D
．
acb

【答案】
D
【解析】
log
3
82，
0.25
0.8
4
0.8
2
1.6
 2
1.5
222
，
∴
acb
．

故选：
D.
9.
（
2020·
新兴县第一中学高三期末 （理））函数
f

x


象如图所示，则下列结论成立的是
( )
xb

xc

2
的图

A
．
b0,c0
B
．
b0,c0

C
．
b0,c0

【答案】
C
【解析】
∵
f

x


∴
y
xb

D
．
b0,c0


xc

2的图象与
y
轴交于
M
,
且点
M
的纵坐标为正，
b
0
，故
b0
，

c
2
Qf

x


xb

xc

2
∴
定义域为

x|xc

其函数图象间断的横坐标为正 ，
c0
，故
c0
.
故选：
C

10 .
（
2020·
云南高三（理））已知
t1
，
x=log
2
t,ylog
3
t,z=log
5
t
，则A
．
2x3y5z
B
．
5z2x3y

C
．
3y5z2x

【答案】
D
【解析】由题意
2x2log
2
tlog
2
t
，
3y3log
3
tlog
3
3
t
，

D
．
3y2x5z


5z5log
5
tlog
5
5
t
，

又
228
，
339
，

3
12
1
6
1
3
1
6
易知
2
2< br>3
3
，
5
5
25
10
，
22
32
10
，即
5
5
2
2
，
∴
15
5
2
2
3
3
，又t1
，
∴
3y2x5z
，故选
D
．
< br>11
．（
2020·
天水市第一中学高三月考（理））定义在
R
上的函数
f

x

2x
的图象是连续不断的曲线，且f

x

f

x

e
， 当
x0
时，
1
1
1
1
111
1
11
1
f


x

f

x
恒成立，则下列判断一定正确的是（

）

5
A
．
ef

2

f

3
< br>
5
C
．
ef

2

f

3


5
B
．
f

2

ef

3


5
D
．
f

2

ef

3


【答案】
B
f

x

2x
【解析】构造 函数
g

x


x
，因为
f
< br>x

f

x

e
，

e
f

x

f

x

2x
f

x

f

x

所以
f< br>
x


2x
，则
，

e
gxgx

e
e
x
e
x
e
x
所以
g

x

为偶数，当
x0
时，
g


x


f

x

f

x

0
，

x
e
所以
g

x

在

0,

上单调递增，所以有
g

3

g

2

，则
g

3

g

2

，
即
f

3

f

2

5
ef

3

f
< br>2

.

，即
32
ee
12.
．（
2020·
海南中学高三月考）已知函数
f

x
< br>ln

x
2
1x
，设

af

log
3
0.2

，
bf

30.2

，
cf

3
1.1

，则（

）

A
．
abc
B
．
bac

C
．
cba

【答案】
D
【解析】
∵
f

x

ln
D
．
cab



x
21x
∴
f(x)ln(x
2
1x)ln

1
x1x
2
，
2
∴
f(x)ln(x1x)< br>

∵
当
x0
时，
x
2< br>1x1
；当
x0
时，
0x
2
1x1
，

222
∴
当
x0
时，
f(x)l n(x1x)ln(x1x)ln(x1x)
，
f(x)ln(x2
1x)
；

22
当
x0
时
f (x)ln(x1x)ln(x1x)
；
f(x)ln(x
21x)ln(x
2
1x)
.
∴
f(x)f(x )
，
∴
函数
f

x

是偶函数，

∴
当
x0
时，易得
f(x)ln(x
2
1 x)
为增函数

∴
af(log
3
0.2)f(log
3
5)
，
cf(3
1.1
)f(3
1.1< br>)
，

∵
1log
3
52
，
0 3
0.2
1
，
3
1.1
3

∴< br>f(3
1.1
)f(log
3
5)f(3
0.2
)
，
∴
cab
，故选
D.

blog
4
8
，
13.
（
2020·
黑龙江实验中学高三开学考试（文））若
alog
2
3
，
clo g
5
8
，则
a,b,c
的从大到小顺序为
.
【答案】
abc

1
【解析】由于
blog4
8log
2
8log
2
8log
2
9 a
，即
ab
.
2
由于
blog
4
8
11
c
，即
bc
.
所以
abc.
log
8
4log
8
8
14
、（
2020·
山东高三月考）已设
a,b
都是正数，则
“
log
a
3
＜log
b
3
”
是
“
3
a
＞
3
b
＞
3
”
的

条件
.
（填
“
充分不必要
”
、
“< br>必要不充分
”
、
“
充要
”
、
“
既不 充分也不必要
”
）

【答案】必要不充分

【解析】

1
，由
3
a
＞
3
b< br>＞
3
，
1
或
0＜a＜＜1b
或
a＞b＞由
log
a
3＜log
b
3
，得
0＜b＜a＜
1
，

“
log
a
3
＜log
b
3
”
是
“
3
a
＞3
b
＞3
”
的必要不充分条件．

得
a＞b＞
|x|
15. < br>（
2020·
四川省泸县第四中学高三月考（理））已知
f(x)xg2，
1
af(log
3
5)
，
bf(log
3
)
，
cf(ln3)
，则
a,b,c
的从大到小顺序< br>2
为
.
【答案】
cab

x
【解析】由函数的解析式可知函数为奇函数，当
x0
时，
f
x

x
2
，
此时函数为增函数，结合奇函数的性 质可知函数
f

x

是定义在
R
上的
单调 递增函数，由于
ln31log
3
50log
3
1
,
2
1

fln3flog5flog
故
3

3

.
即
cab
.
2


16.
（
2020·
河北工业大学附 属红桥中学高三月考）已知函数
f(x)3x2cosx
,
若
af(3
2
),
bf(2),
cf(log
2
7),
则
a,b,c
的从小
到大顺序为
.
【答案】
bca

【解析】

因为函数
f
x

3x2cosx
，所以导数函数
f'
x

32sinx
，可得
f'

x
32sinx0
在
R
上恒成立，所以
f

x
在
R
上为增函数，

又因为
2log
2< br>4log
2
733
2
，所以
bca
，故选
D.