横头山-党小组意见

典型例题
比较大小
例1、比较下列各组数的大小:
(1) 和 (2) 和
(3) 和 (4) 和 , .
分析:当两个幂形数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征
构造相应的指数 函数,借助函数的单调性来比较大小.
解: (1)
< .
在 上是减函数,又 ,故
(2)
>
=
.
,由 的单调性可得, > 即
(3)由 >1而 <1,可知 > .
(4)当 时, < ,当 时, > .
小结:此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函数的两个函数值 ,此时
可以借助一些特殊数如0或1来搭桥间接比较两个数的大小,而(2)小题则可以通
过指 数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.
根据条件比较字母的大小
例1、比较下列各组数的大小：
（1）若 ，比较 与 ；

1

（2）若
（3）若
（4）若
（5）若
，比较
，比较
与
与
；
；
，比较
a
与
b
；
，比较
a
与
b
．
，且
，且
分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比
较它们的商与1的大小．掌握指数函数的图象规律，还要 掌握底的变化对图象形
状的影响．这主要有两方面：其一是对 ；对
．用语言叙述即在
y
轴右侧，底越大其图象越远离
x
轴；
在
y
轴左侧，底越 大，其图象越接近
x
轴．这部分内容即本题（2），（3）所说
的内容．其二是当底均 大于1时，底越大，其图象越接近
y
轴；当底均小于1
时，底越小，其图象越接近y
轴．一个便于记忆的方法是：若以离1远者为底，
则其图象接近
y
轴． 当然这是指底数均大于1或均小于1．这部分内容即本题（4）
与（5）．
解：（1）由
故 ．
，故 ，此时函数 为减函数．由 ，
（2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
（3）由
而 ．
，因 ，故 ．又 ，故 ．从
（4）应有
．又因
．因若
，故
，则 ．又 ，故
，这与已知
，这样
矛盾． ．从而
（5）应有
．又因
矛盾．

．因若
，且
，则
，故
．又
．从而
，故 ，这样有
，这与已知
2

小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解．

根据图象比较底数大小
例1、(1)指数函数①
它们的图象是 ( ).
② 满足不等式 ,则


分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大
小比较判断对应的曲线.
解:由 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 或 ,
进而再判断①②与 和 的对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,
令 ,①②对应的函数值分别为 和 ,由 可知应选 .
(2)曲线
的图象,则


分别是指数函数
与1的大小关系是 ( ).

, 和

3

(






,在
,故应选 .
分析:首先可以根据指数函数单调性,确定
轴右侧令 ,对应的函数值由小到大依次为
小 结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转
化,第(2)题则是由图到 数的翻译,它的主要目的是提高学生识图,用图的意识.
化简
例1、已知
来,并化简.
,试把 用含 的式子表示出
分析:此题涉及指数式的变换和分类讨论的使用.
解: 由

可知 ,
=
当
若
当
当
若
,
时,若
,则
时,
时, 若
,则
,则
,此时
,则
,此时
.
,此时
.
,此时
.

,
,
小结:此题中涉及对根式的化简,绝对值的概念及指数函数单调性的使用,特
别是对 和 的讨论要分清楚.

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利用换元法求最值
例1、设
分析：注意到
，求函数
，设
的最大值和最小值．
，则原来的函数成为
，利用闭区间上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值．
解：设 ，由 知，

，故函数最小值为
轴
，函数成为
，因端点
．
，
较
，对称轴
距对称
远，故函数的最大值为
小结：换元法是一种常用的数学方法，在涉及指数形式的换元时，经常用到
诸如 ，
图形求解．
选题角度：
比较大小、根据条件比较字母的大小、根据图象比较底数大小、利用换元法< br>求最值求函数单调区间及值域、求函数的定义域、人口增长、讨论字母求单调区
间、指数函数图象 的变换。
等．二次函数在有界区间上求最值时，可以借助于



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