2014年高考-低碳环保手抄报

指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题， 通常是三个指数和对数混在一起，进
行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲 介绍处理此类问题的方
法与技巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：
判断对数 的符号，关键看底数和真数，区间分为

0,1

和

1, 


（1）如果底数和真数均在

0,1

中 ，或者均在

1,

中，那么对数的值为正数
（2）如果底数 和真数一个在

0,1

中，一个在

1,

中，那么对数的值为负数
例如：
log
3
0.50,log0.5
0.30,log
2
30
等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过 真数的大小与指对数函数
的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的 对象转化为
某一部分相同的情况
例如：
3,4,5
，比较时可进行转化，尽 管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同
1
3
1
4
1
2
3

3
1
3
1
4
12
,4

4
1
4
1
3
12

,5

5
1
2
1
6
12
，从而只需比较 底数的大小即可

（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对 所比较的数进行划分，
然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击 破”，也
有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如
log
2< br>3
，可知
1log
2
2log
2
3log2
42
，进而可估计
log
2
3
是一个1点几的数， 从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：

m

m
（ 1）
a

a
n



（2）
log
a
Mlog
a
Nlog
a
MN
< br>log
a
Mlog
a
Nlog
a
（3）
log
a
Nnlog
a
N

a0,a1,N0

n
n
M

N

（4）换底公式：
log
a
b
log
c
b

log
c
a
1
n
n
（令
cb
）
log
a
m
Nlog
a
N

log< br>b
a
m
进而有两个推论：
log
a
b
二、 典型例题：
例1：设
alog
3

,blog
23,clog
3
2
，则
a,b,c
的大小关系是______ ________
思路：可先进行
0,1
分堆，可判断出
a1,0b 1,0c1
，从而
a
肯定最大，只需比较
b,c
即可，观察到< br>b,c
有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：
11< br>blog
2
3log
2
3,clog
3
2l og
3
2
，从而可比较出
log
3
21log
2
3
，所以
22
cb

答案：
cba

例2：设
alog
3
2, bln2,c5

1
2
，则
a,b,c
的大小关系是_ __________
思路：观察发现
a,b,c
均在

0,1< br>
内，
a,b
的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：
ab
，在比较和
c
的大小，由于
c
是指数，很难直接与对数找到联系，考 虑估计
a,b,c
值
得大小：
c5
进而
a
< br>1
2

111
11

，可考虑以为中间量，则alog
3
2log
3
3
，
22
54< br>2
1
c
，所以大小顺序为
bac

2
ln2ln3ln5
,b,c,
则
a,b,c
的大小关系为（ ）
235
答案：
bac

例3：设
a
A.
abc
B.
acb
C.
bac
D.
bca

思路：观察 到
a,b,c
都是以
e
为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行 真数的
11
1
ln2ln3ln5
3
2
ln2,bl n3,cln5
5
,
发现真数的底与指数也不相同，所比较。
a
235
以依然考虑“求同存异”，让三个真数的指数一致：
22
通过比较底数的大 小可得：
bac

答案：C
1
2

1< br>15
30
,3

3
1
3
1
10< br>30

,5

5
1
5
1
6
30
，

小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变 形为具备某相同的部

分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”
（2）本题在比较指数幂时， 底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三
个数两两进行比较，从而减少底数的指数便 于计算。例如可以先比较
a,b:
2=

2
1
2
1
3
6

,3=

3
1
3
1
2
6

，从而
ab
，同理再比较
a,c
或b,c
即可
例4：设
alog
3
6
，
b log
5
10
，
clog
7
14
，则（ ）
A.
cba
B.
bca
C.
acb
D.
abc

思路：观察可发现：
alog
3

32

 1log
3
2,blog
5

52

1 log
5
2,clog
7

72

1lo g
7
2

log
3
2log
5
2lo g
7
2
，所以可得：
abc

答案：D
例5 ：设
a

,b

,c

,
则
a,b,c
的大小关系为（ ）
A.
abc
B.
acb
C.
bac
D.
bca

思路：观察可发现
b,c
的底数相同，
a,c
的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于

3


5

2
5

2


5

3
5

2


5

2
5
b,c
，两者底数在

0,1

，则指数越大，指数幂越小 ，所以可得
bc
，再比较
a,c
，两者指
数相同，所以底数越大， 则指数幂越大，所以
ac
，综上：
acb

答案：B 例6：已知三个数
a3,blog
3
2,ccos
0.5
3
，则它们之间的大小关系是（ ）
2
A.
cba
B.
cab
C.
abc
D.
bca

思路：可先进行
0,1
分组，
a3
0.5
1
，
0b,c1
，所以只需比较
b,c
大小，两者都介于
0,1
之间且一个是对数，一个是三角函数，无法找到之间的联系。所以考 虑寻找中间值作为桥梁。
以
cos
33

3

1< br>作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。
coscos
，而
22 3232
11
log
3
2log
3
3
，从而< br>cb
，大小顺序为
cba

22
答案：A
小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特
殊角三角函数 值估计值的大小，所以本题优先选择
c
作为研究对象。

1.13.1
例7：（2015甘肃河西三校第一次联考）设
alog
3
7,b2,c0.8
，则（ ）
A.
bac
B.
acb
C.
cba
D.
cab

思路：首先 进行
0,1
分组，可得
c1a,b
，下面比较
a,b
的 大小，可以考虑以
2
作为中间
量，
b2
答案：D
1.1
2,alog
3
7log
3
92
，所以
a 2b
，从而
cab


1

例8：设ab0,ab1
且
x

,ylog

1 1

ab,zlog
1
a
，则
x,y,z
的大小 关系




a

b

ab
是（ ）
A.
yxz
B.
zyx
C.
yzx
D.
xyz

思路：由
ab0,ab1
可得：
0b
b
1
a1
，先用
0,1
将
x,y, z
分堆，
x0
，
2
y,z0
，则
x
为 最大，只需要比较
y,z
即可，由于
y,z
的底数与真数不同，考虑进行适当
变形并寻找中间量。
ylog

11




ab

而
zlog
1
alogb
a
，
ablog
ab
ablog
1
a b1
，
abab
b
因为
0b1
，所以
lo g
b
alog
b
b1,zlog
b
a1y< br>，所以顺序为
yzx

答案：C
例9：下列四个数：
a

ln2

,bln

ln2

, cln2,dln2
的大小顺序为________
思路：观察发现
bln< br>
ln2

0
，其余均为正。所以只需比较
a,c,d，考虑
ln2

0,1

，
所以
ad，而
cln2
2
1
ln2d
，所以下一步比较
a ,c
：
2
11

2

ac

ln2

ln2ln2

ln2

ln2ln2 lne0
，所以
ac
，综上所述，
22


大小顺序为
bcad

答案：
bcad


1

1

例10：已知
a,b,c
均为正数， 且
2log
1
a,

log
1
b,

log
2
c
，则（ ）

2

2

22
a
bc
A.
abc
B.
cba
C.
cab
D.
bac

思路：本题 要通过左右相等的条件，以某一侧的值作为突破口，去推断
a,b,c
的范围。首先
观 察等式左侧，左侧的数值均大于0，所以可得：
log
1
a,log
1
b,log
2
c
均大于0，由对数的
22


1

符号特点可得：
a,b

0,1

,c1
，只需比较
a,b
大小即可。观察到< br>21

，从而

2

a
b
l og
1
alog
1
bab
，所以顺序为
abc< br>
22
答案：A
小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现 前两个等式右侧为
ylog
1
x
2

1

的形式，而第三个等式也可变形为


log
2
clog
1
c
，从而可以考虑视
a,b,c
分别

2

2
为两个函数的交点。先作出
ylog
1
x
图像，再 在这个坐标系中作出
2
c

1

1

y 2
x
,y

,y

，比较交点的位置即可。

2

2


xx