南秦雪-关于法制的手抄报

第41专题训练 指对数比较大小
在填空选择题中我们会遇到一类 比较大小的问题,通常是三个指数和对数混在一起,进行
排序。这类问题如果两两进行比较,则花费的时 间较多,所以本讲介绍处理此类问题的方法与技
巧
一、一些技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来:
判断对数 的符号,关键看底数和真数,区间分为

0,1

和

1, 


(1)如果底数和真数均在

0,1

中 ,或者均在

1,

中,那么对数的值为正数
(2)如果底数 和真数一个在

0,1

中,一个在

1,

中,那么对数的值为负数
例如:
log
3
0.50,log0.5
0.30,log
2
30
等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了
3、比较大小的两个理念:
(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过 真数的大小与指对数函数的单调
性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的 对象转化为某一部分相
同的情况
例如:
3,4,5
,比较时可进行转化,尽 管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同
1
3
1
4
1
2
3

3
1
3
1
4
12
,4

4
1
4
1
3
12

,5

5
1
2
1
6
12

,从 而只需比较底数的大小即可
(2)利用特殊值作“中间量”:在指对数中通常可优先选择“0,1”对 所比较的数进行划分,然
后再进行比较,有时可以简化比较的步骤(在兵法上可称为“分割包围,各个击 破”,也有一些
题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如
lo
2,可知
g3
1lo
2
g2
n
l
2
og3
2
,进而可估计
log42log
2
3
是一个1 点几的数,从而便于比较
4、常用的指对数变换公式:

m

m
(1)
a

a
n



( 2)
log
a
Mlog
a
Nlog
a
MN
log
a
Mlog
a
Nlog
a
(3 )
log
a
Nnlog
a
N

a0,a1, N0


n
M

N
(4)换底公式:
log
a
b
log
c
b

log
c
a
n
1
n
(令
cb
)
log
a
m
Nlog
a
N

m
log
b
a
进而有两个推论:
log
a
b

二、典型例题:
例1:设
alog
3

, blog
2
3,clog
3
2
,则
a,b,c
的大小关系是______________
思路:可先进行
0,1
分堆,可判断出
a1,0b1,0c1
,从而
a
肯定最大,只需比较
b, c
即
可,观察到
b,c
有相同的结构:真数均带有根号,抓住这个特点,利用 对数公式进行变
换:
blog
2
3
11
log
2
3,clog
3
2log
3
2
,从而可比较出
log
3
21log
2
3
,所以
22
cb

答案:
cba

例2:设
alog
3
2,bln2,c5

1
2
,则
a,b,c
的 大小关系是___________
思路:观察发现
a,b,c
均在
0,1

内,
a,b
的真数相同,进而可通过比较底数得到大小关
系:
ab
,在比较和
c
的大小,由于
c
是指数,很难直 接与对数找到联系,考虑估计
a,b,c
值得
大小:
c5

1
2

11
111

,可考虑以为中间量,则
alog
3
2log
3
3
,进而
22
54< br>2
1
c
,所以大小顺序为
bac

2
答案:
bac

ln2ln3ln5
,b,c,
则
a,b,c
的大小关系为( ) 例3:设
a
235
A.
abc
B.
acb
C.
bac
D.
bca

思路:观察到
a,b,c
都是以
e< br>为底的对数,所以将其系数“放”进对数之中,再进行真数的比较。
a
11
1
ln2ln3ln5
aln2
2
,bln3
3
,c ln5
5
,
发现真数的底与指数也不相同,所以依然考
235
虑 “求同存异”,让三个真数的指数一致:
22
1
2

1
15
30
,3

3
1
3
1
10
30

,5

5
1
5
1
6
30

,通过比较底
数的大小可得:
bac

答案:C
小专题训练有话说:(1)本题的核心处理方式就是“求同存异”,将三个数变形为具备某相同的
部分,从而转换比较的对象,将“无法比较”转变为“可以比较”
(2)本题在比较指数幂时,底数 的次数较高,计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个数两
两进行比较,从而减少底数的指数便于计 算。例如可以先比较
a,b:
2=2
1
2

1
3
6
,3=

3
1
3
1
2
6

,从而
ab
,同理再比较
a,c
或
b,c
即 可
例4:设
alog
3
6
,
blog
510
,
clog
7
14
,则( )
A.
cba
B.
bca
C.
acb
D.
abc

思路:观察可发现:
alog
3

32

1log
3
2,blog
5

52

1log
5
2, clog
7

72

1log
7
2

log
3
2log
5
2log
7
2
,所以可得:
abc

答案:D

3

2

2

,c

, 则
a,b,c
的大小关系为( )

5

5

5

A.
abc
B.
acb
C.
bac
D.
bca

思路:观察 可发现
b,c
的底数相同,
a,c
的指数相同,进而考虑先进行这两轮的比较 。对于
b,c
,
例5:设
a

,b

两者底数在

0,1

,则指数越大,指数幂越小,所以可得
b c
,再比较
a,c
,两者指数相同,所以
底数越大,则指数幂越大,所以ac
,综上:
acb

答案:B
2
5
3
5
2
5
3
,则它们之间的大小关系是( )
2
A.
cba
B.
cab
C.
abc
D.
bca

例6:已知 三个数
a3,blog
3
2,ccos
0.5
思路:可先进行
0,1
分组,
a3
0.5
1
,
0b,c1
,所以只需比较
b,c
大小,两者都介于
0,1
之
间且一个 是对数,一个是三角函数,无法找到之间的联系。所以考虑寻找中间值作为桥梁。以
33
3

1
作为入手点。利用特殊角的余弦值估计其大小。
cosco s
,而
223232
11
log
3
2log
3
3
,从而
cb
,大小顺序为
cba

22
cos
答案:A
小专题训练有话说:在寻找中间量时可以以其中一个为 入手点,由于非特殊角的三角函数值可
用特殊角三角函数值估计值的大小,所以本题优先选择
c
作为研究对象。

例7:(2015甘肃河西三校第一次联考)设
alo g
3
7,b2
1.1
,c0.8
3.1
,则( )
A.
bac
B.
acb
C.
cba
D.
cab

思路:首先 进行
0,1
分组,可得
c1a,b
,下面比较
a,b
的 大小,可以考虑以
2
作为中间
量,
b2
1.1
2,a log
3
7log
3
92
,所以
a2b
, 从而
cab

答案:D

1

例8:设ab0,ab1
且
x

,ylog

1 1

ab,zlog
1
a
,则
x,y,z
的大小 关系是




a

b

ab< br>
( )
A.
yxz
B.
zyx
C.
yzx
D.
xyz

b
1
a1
,先用
0,1< br>将
x,y,z
分堆,
x0
,
y,z0
,
2
则
x
为最大,只需要比较
y,z
即可,由于
y,z
的底数与真数不同,考虑进行适当变形并寻找中间
思路:由
ab0,ab1
可得:
0b
量。
ylog

11





ab

ablog
ab
ablog
1
ab1
,而
zlog
1
alog
b< br>a
,因为
0b1
,所
abab
b
以
lo g
b
alog
b
b1,zlog
b
a1y< br>,所以顺序为
yzx

答案:C

例 9:下列四个数:
a

ln2

,bln

l n2

,cln2,dln2
的大小顺序为________
思路:观 察发现
bln

ln2

0
,其余均为正。所以只需比 较
a,c,d
,考虑
ln2

0,1

,所以< br>2
ad
,而
cln2
1
ln2d
,所以下一 步比较
2
11

2

a,c
:
ac< br>
ln2

ln2ln2

ln2

ln2ln2lne0
,所以
ac
,综上所述,
22
< br>
大小顺序为
bcad

答案:
bcad


1

1
< br>例10:已知
a,b,c
均为正数,且
2log
1
a,
log
1
b,

log
2
c
,则( )

2

2

22
a
bc
A.
abc
B.
cba
C.
cab
D.
bac

思路:本题 要通过左右相等的条件,以某一侧的值作为突破口,去推断
a,b,c
的范围。首先观察
等式左侧,左侧的数值均大于0,所以可得:
log
1
a,log
1
b,log
2
c
均大于0,由对数的符号特点
22

1< br>
可得:
a,b

0,1

,c1
,只 需比较
a,b
大小即可。观察到
21

,从而
2

a
b
log
1
alog
1
b ab
,所以顺序为
abc

22
答案:A
小专题训 练有话说:本题也可用数形结合的方式比较大小,观察发现前两个等式右侧为

1
< br>ylog
1
x
的形式,而第三个等式也可变形为

log
2
clog
1
c
,从而可以考虑视
2

2
2
a,b,c
分别为两个函数的交点。先作出
y log
1
x
图像,再在这个坐标系中作出
2
c

1

1

y2,y

,y

,比较交点的位置即可。

2

2

x
xx