成都纺织专科学校-义工招募

专题二 数与式大小的比较
一、问题的提出
【2016高考新课标1文数】若
ab0
,
0c1
,则
（A）log
a
c
b
c
（B）log
c
a
c
b
（C）
a
<
b

二、问题的探源
本题解法：由< br>0c1
可知
ylog
c
x
是减函数,又
ab 0
,所以
log
c
alog
c
b
．故选B.< br>本题也可以
用特殊值代入验证.
【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或 对数的底数相同,通常利用指数函数或对
数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
一、思路点拨
1.比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是：
（1）若能化为同指数,则用幂函数的单调性；
（2）若能化为同底数,则用指数函数的单调性；
（3）若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．
2.若题中所给的对数式的底数相同时,可以考虑利用对数函数的单调性来比较大小,在比较时,
xx
一定要注意底数所在范围对单调性的影响,即
a
＞1时
ylog
a
是增函数,0＜
a
＜1时
ylog
a
cc
利用指数函数、对数函数、及幂函数的性质比较数与式的大小是高考中的热点
题对此问题作深入 探讨,帮助同学们掌握数与式大小的基本方法.
,本
拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼 背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。
（D ）
c
>
c

ab
是减函数,当对数底数为变量时,要分情况对底数进行讨论来比较两个对数的大小. 3.若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时,可以找一个中间量作为桥梁,通过比较中间
量与 这两个对数式的大小来比较对数式的大小,.在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分
出正负；正数 通常再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较,另外若题中
既有对数式又有指数式 ,也常用中间量比较大小.
4.比较复杂的数与式大小的比较有时可通过作差或作上比较大小
二、技巧和方法
1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来：
判断对数 的符号,关键看底数和真数,区间分为

0,1

和

1, 



- 1 -

（1）如果底数和真数均在

0,1

中,或者均在

1,

中 ,那么对数的值为正数
（2）如果底数和真数一个在

0,1

中 ,一个在

1,

中,那么对数的值为负数
例如：
l og
3
0.50,log
0.5
0.30,log
2
3 0
等
2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系,一作图,自明了
3、比较大小的两个理念：
（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同,则可通过 真数的大小与指对数函数的
单调性,判断出指数（或对数）的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的 对象转化为某一部
分相同的情况
例如：
3,4,5
,比较时可进行转化,尽 管底数难以转化为同底,但指数可以变为相同
1
3
1
4
1
2
3

3
1
3
1
4
12
,4

4
1
4
1
3
12

,5

5
1
2
1
6
12
,从而只需比较 底数的大小即可

（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对 所比较的数进行划分,
然后再进行比较,有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围,各个击 破”,也有一
些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计,例如
log
,可 知
3
2
1lo
2
g2l
2
og3
2
log
,进而可估计
42log
2
3
是一个1点几的数, 从而便于比较
4、常用的指对数变换公式：

m

m
（ 1）
a

a
n



（2）
log
a
Mlog
a
Nlog
a
MN
< br>log
a
Mlog
a
Nlog
a
（3）
log
a
Nnlog
a
N

a0,a1,N0

n
n
M

N
（4）换底公式：
log
a
b
log
c
b

log
c
a
n
1
n
（令
cb
）
log
a
m
Nlog
a
N

m
log
b
a
进而有两个推论：
log
a
b
三、 问题的佐证
4
1

1

－
【例1】已知a
＝

3,
b
＝2
3
,
c
＝

3,
则下列关系式中正确的是( )

2
< br>2

21
A．
c
<
a
<
b


B．
b
<
a
<
c

- 2 -

C．
a
<
c
<
b

4
D．
a
<
b
<
c

421
1

1

1

1

1

【解析】把
b
化简为
b
＝

3,
而函数
y
＝

在R上为减函数,>>,所以

3<

3<

3,
即
333

2
2

2

2

2

x
421
b
<
a
<
c
.
1

log
3
0.3

log 3.4log 3 .6
【例2】已知
a
＝5
2
,
b
＝5
4< br>,
c
＝

,则( )

5

A．
a
>
b
>
c

C．
a
>
c
>
b

B．
b
>
a
>
c

D．
c
>
a
>
b

log
3
0.3
10
－log 0.3log
3
＝5＝5
3
3
.


1
< br>【解析】选C.
c
＝


5

法一：在同 一坐标系中分别作出函数
y
＝log
2
x
,
y
＝l og
3
x
,
y
＝log
4
x
的图象,如图 所示．
由图象知：

10
log
2
3.4>log3
>log
4
3.6.
3
10
x
由于
y
＝5为增函数,∴5log
2
3.4>5log
3
>5log< br>4
3.6,∴
a
>
c
>
b
.
3

【例3】【2017天津高考】已知奇函数
f(x)
在
R
上是增函数.若
1
af(log
2
),bf(log
2
4.1),cf(2
0.8
)
，则
a,b,c
的大小 关系为
5
（A）
abc

（B）
bac

（C）
cba

（D）
cab


- 3 -

【答案】
C

【解析】由题意：
af

log
2


1

0.8

 f

log
2
5

，且：
log
2
5log
2
4.12,122
，
5

0.8< br>据此：
log
2
5log
2
4.12
0.8，结合函数的单调性有：
f

log
2
5

 f

log
2
4.1

f2
，

即
abc,cba
，本题选择C选项.
【点睛】本题 主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，属于基础题型，首先根据奇
函数的性质和对数运算法则 ，
af

log
2
5

，再比较
log
2
5,log
2
4.1,2
0.8
比较大小.
【 例4】【2016高考浙江】已知
a
，
b
>0，且
a
≠1，
b
≠1，若
log
a
b>1
，则（ ）
A.
(a1)(b1)0

C.
(b1)(ba)0







B.
(a1)(ab)0

D.
(b1)(ba)0


【易错点睛】在解不等式
loga
b1
时，一定要注意对
a
分为
a1
和
0 a1
两种情况进行讨
论，
否则很容易出现错误．
四、问题的解决
1. 【2016高考新课标Ⅲ文数】 已知
a2,b3,c25
，则（ ）
(A)
bac

【答案】A
【解析】因为
a 24
，
c255
，又函数
yx
在
[0,)上是增函数，所以
4
3
2
3
1
3
2
3
4
3
2
3
1
3
(B)
abc
(C)
bca
(D)
cab

2
3
345
，即
bac
，故选A．
【技 巧点拨】比较指数的大小常常根据三个数的结构联系相关的指数函数与对数函数、幂函
数的单调性来判断 ，如果两个数指数相同，底数不同，则考虑幂函数的单调性；如果指数不
同，底数相同，则考虑指数函数 的单调性；如果涉及到对数，则联系对数的单调性来解决．
2
3
2
3
2
3

- 4 -