玫瑰数量的含义-教师党员工作总结

题型2比较大小之作差比较法
作差比较法的理论依据：
a -b
O= a
b
a-b=0u a=b
a — b
：：
O
：
= a
：：
b
作差比较法的步骤：作差、变形、定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分解、提取公因式、十字相乘、配方、分子分母有理化、平方后作 差等
方法，同时注意每一步变形必须是等价变形。
变形的结果是因式积，完全平方式等形式。
变形的目的是为了判断差值的符号。
作差比较法适用于实数 （代数式）的大小不明显，作差后可化为积或商的形式的比较大小问
题。
回想高一学习定义法证明函数单调性的过程，分别是取值、作差、变形、定号、下结论。 两者之
间大致相同。
例1已知
a,b∙= R ',
且
a =b,
试比较
a
5
+b
5
和
a
3
b2
a
2
b
3
的大小.
解：
a
5< br>+b
5
「
a
3
b
2
「
a
2
b
3

=
a
3
（a
2

~b
2
）+b
3
（b
2
「
a
2
）
=
（a
2

-b
2
）（a
3
「
b
3
）
=
(a b)(a -b)(a -b)(a

ab b
22
)
=
(a -b)(a b) (a
2
1

b) ■ - b
22
12 4
」
因为
a,b R ',
且
2
a = b,
所以
(a -b)

O
，
a b O
，
(a b)
所以
a
5
+b
5
- a
3
b
2
-a
2
b
3
O
所以
a
5
+b
5
a
3
b
2
a
2
b
3

1
2
3
b
2
O
，
2 4
小结：此题采用提取公因式、因式分解、配方等变形方法
1
例2：设
X ∙ R
,比较 ------ 与
1 -x
的大小.
X +1
-(^)=
2
X
X
当
X =O
时，
O
1 +x
=(
1
-χ)

x∙ιχ
1 2

当
-1.; X

：：：
O
或
X . 0
时，
O
1 +x
1
X 1

>(
1
-X)
小结：此题采用通分，同时注意结合使式子有意义的隐含条件进行分类讨论
例
3•
已知
a
丄
1
,试比较
M= a • 1 -a
和
N = ... a - .. a -1
的大小
•



解:
M-N^


(” a 1+
、、
a)(
「'
a . a -1)
因为
a _1
,所以、.
a -1
一、、
a • 1
>0, ∙..
a • 1 +
-、
a
>0,、、
a ∙ ∙. a -1
>0,
所以
M - N 0
,所以
M ∙N
•
小结：此题采用分子有理化、通分等变形技巧
来看看几道练习题：
2 2 2 2
1、 若
X
：：：
y
：：：
0
,试比较
(
X ∙ y )(x - y)
与
(X - y )(x y)
的大小关系•
1
2、 若
a
R
,
p=a -a 1
,
q
2
2
a +a +1
,比较P与q的大小关系•
3、 设
a 5,
试比较
M
=、
a-3-
〔
a-4
与
N= a-4-∙∙. a-5
的大小关系
答案：1、
(x
2

y
2
)(χ
「
y)
>
(χ
2
「
y
2
)(X y)
2、
P —q,
当且仅当
a=0
时，等号成立
3、M

_ Ja -1 - Ja+1
题型
2
比较大小之作差比较法 作差比较
法的理论依据：
a b OU a b
a - b = 0
二
a = b
a - b O = a b
作差比较法的步骤：作差、 变形、
定号、下结论。
变形的方法：通分、因式分 解、提取
公因式、十字相乘、配 方、分子分母有理
化、平方后作 差等方法，同时注意每一步
变形 必须是等价变形。
变形的结果是因式积，完全 平方式
等形式。
变形的目的是为了判断差值 的符号。
作差比较法适用于实数（代 数式）
的大小不明显，作差后可 化为积或商的
形式的比较大小问 题。
回想高一学习定义法证明函 数单调
性的过程，分别是取值、 作差、变
形、定号、下结论。 两者之间大致
相同。

例
1
已知
a,b R,
且
a∙b,
试比 较
a
+b
和
55
ab ab
的大小
.
解：
a
+b
-
ab-ab
=
a(a-
∖
b)+bb-
55
3223
3223
2
a)
=< br>(a-^-b
2
=
(a b)(a b)(a b)(a ab b )
1
2
3
2 I
2
_
(a - b)(a b) (a ~b) ~b
=
2 4
2
2 2

因为
a, b R
J
且
a
b,
所以
(
a - b)

O
，
a b O
，
2
1
(a b)
2
b
2
O
55
3
4
32
，
23
所以
a
+b
-
ab - ab O
所以
a
+b
ab ab
小结：此题采用提取公因式、
因式分解、配方等变形方法
•
1
55
3223
例
2
:设
X R
,
比较与

I- X
的大小
.
X
(

一
)=
1

X
2
X
)
X
2
当
X T
时，厂二
1
Γ7<
(V X)

0
或
X 0时，
1
v
X
当-V
Γ7>(
)
小结：此题采用通分，同时注意 结
合使式子有意义的隐含条件 进行分
类讨论 例
3.
已知
a
，
1
，试比较
M a V
∖
a
和
N =
∖
a -
∖
a~ 1
的
大小
.
=
1 1
解:
Qa -
1 - Ja + 1
=
(y a 1+
∖
a
)( 7 a √a - 1)
因为
a-1
,所以
a1
「
a 1
>0,

4a^1+ia>0^la4a-1>o,
所以
M-No
,所
以
M N
.
小结：此题采用分子有理化、 通分
等变形技巧
•
来看看几道练习题：
+
1
、 若
X y 0
,试比较
(Fy)Xy)
与
(X-y)(x
y)
的大小关系
.
2
q

1
1
2
、 若
R
,
p=a -a
,
q-
孑
a 1
,
比较
P
a
与
q
的大小关系
.
3
、 设
a 5,
试比较
M =
、二
5- Ja-4
与
N='. a-4-
∖
a-5
的大小关系
.
答
案：
1
、
(Xy)Xy)
>
(χ y)(χ y)
22
r
2
、
P q
3
、
M