南充中考-村民委员会

纵观近几年高考对于大小比较问题的考查，重点放在与函数、数列、三角函数的大小 比较问
题上，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答，从实际教学来看，这
部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易
之外，主 要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文
就高中阶段出现这类 问题加以类型的总结和方法的探讨.
1 函数中的大小比较问题
函数是高中数学必修教材中 重要的部分，应用广泛，教材中重点介绍了利用判断单调性、
最值、单调性、奇偶性、周期性等基础知识 ，但是高考数学是以能力立意，所以往往以数列、
方程、不等式为背景，综合考察学生转化和化归、分类 讨论、数形结合等数学思想的应用能
力，面对这种类型的题目，考生会有茫然，无所适从的感觉，究其原 因是没有认真分析总结
这种题目的特点和解题思路.
1.1 指数函数中的大小比较问题
比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等，是用指数函数的单调性，
还是用幂函数的单调性，要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第
一象限内“底 大图高(逆时针方向底数依次变大)”，还应注意中间量0，1等的运用．
232
2
5
2
5
3
5
例1. 设
a()
，
b()
，
c()
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是（ ）
55
5
A．
acb
B．
abc

C．
cab

D．
bca

【答案】A.

1.2 对数函数中的大小比较问题
比较对数值的大小时，要注意区分对数底数是否相等，是用对数函数 的单调性，还是用对
数函数的单调性，要注意对数函数图象的应用，还应注意中间量0，1等的运用．

例2. 【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】已知
1x1 0
，
algx
2
,blg

lgx

,c

lgx

，那么有（ ）
A．
cab
B．
cba

【答案】C
【解析】因为
1x10
，所以
0lgx1
，所以
b lg(lgx)0
，
0c(lgx)
2
1
．因为
C．
acb
D．
abc

2
ca
＝
(lgx)
2
lgx
2
(lgx)
2
2lgx(lgx1)
2
10
，所以
ca
，所 以
acb
，故
选C．
1.3 通过求函数的最值证明不等式
在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该
函数的最大值或最 小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明
转化到求函数的最值上来.
例3. 已知函数
f(x)kex
（其中
kR
，
e< br>是自然对数的底数
)

（1）若
k2
，判断函数
f(x)
在区间
(0,)
上的单调性；
（2）若函数
f(x)
有两个极值点
x
1
，
x
2
(x
1
x
2
)
，求
k
的取值范围；
（3）在（2）的条件下，试证明：
0f(x
1
)1
.
【答案】（1）
f(x)
在
(0,)
上单调递减；（2）实数
k
的取值范围是
(0,)
；（3）见解析.
x2
2
e
2 数列与不等式相结合

数列与不等式 交汇主要以压轴题的形式出现，试题还可能涉及到与导数、函数等知识综
合一起考查．主要考查知识重点 和热点是数列的通项公式、前
n
项和公式以及二者之间的关系、
等差数列和等比数列、 归纳与猜想、数学归纳法、比较大小、不等式证明、参数取值范围的
探求，在不等式的证明中要注意放缩 法的应用．此类题型主要考查学生对知识的灵活变通、
融合与迁移，考查学生数学视野的广度和进一步学 习数学的潜能．近年来加强了对递推数列
考查的力度，这点应当引起我们高度的重视．预计在高考中，比 较新颖的数列与不等式选择
题或填空题一定会出现．数列解答题的命题热点是与不等式交汇，呈现递推关 系的综合性试
题．其中，以函数与数列、不等式为命题载体，有着高等数学背景的数列与不等式的交汇试
题是未来高考命题的一个新的亮点，而命题的冷门则是数列与不等式综合的应用性解答题．
2.1 数列中的不等问题
例4. 若等差数列
{a
n
}
满足
a
7
a
8
a
9
0,a
7
a
10
0
，则当
n
时，
{a
n
}
的前
n
项
和最大.
【答案】
8
.
【解析】由等差数列的性质，
a
7
a
8
a
9
3a
8
，
a
8
 0
，又∵
a
7
a
10
0
，∴
a
8
a
9
0
，
∴
a
9
0
，
S
8
S
7
，
S
8
S
9，故数列
{a
n
}
的前
8
项最大.
2.2 数列参与的不等式证明
此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法；（2）分析法与综合法 ，一般是利用分析法
分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数 的增加与
减少等手段达到证明的目的．
例5.【2016年高考四川理数】已知数列{
a
n
}的首项为1，
S
n
为数列
{a
n
}
的前n项和，

S
n1
qS
n
1
，其中q>0，
nN
*
.
（Ⅰ）若
2a
2
, a
3
,a
2
2
成等差数列，求
{a
n
}
的通项公式；
5
y
2< br>4
n
3
n
（Ⅱ）设双曲线
x
2
1 的离心率为
e
n
，且
e
2

，证明：
e
1
e
2
e
n


n1
3
3
a
n
.
2
【答案】（Ⅰ）a
n
=q
n-1
；（Ⅱ）详见解析.

所以
a
n
=2
n-1
(n?N
*
)
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
a
n
=q
n-1
.
y
2
所以双曲线
x-
2
=1
的离心率
e
n
=1+a
n
2
=1+q
2(n-1)
．
a
n
2
由
q=1+q
2
=
54
解得q=
.
33
1
因为
1+q
2(k-1)
>q
2(k-1)
，所以
1+q
2(k-1)
>q
k-
（
.
k?N
*
）
?e
n
>1+q+鬃?q
于是
e
1
+e
2
+鬃
4
n
-3
n
故
e
1
+e
2
+鬃
.
?e
3
>
n-1
3
n-1
q
n
-1
=
，
q-1
3 三角函数的最值与综合运用
1. 掌握求三角函数最值的常用方法：① 配方法（主要利用二次函数理论及三角函数的有界
性）；②化为一个角的三角函数（主要利用和差角公式 及三角函数的有界性）；③数形结合法
（常用到直线的斜率关系）；④换元法（如万能公式，将三角问题 转化为代数问题）；⑤基本
不等式法等.
2. 三角函数最值都是在给定区间上取得的，因而特别要注意题设中所给出的区间.
（1）求三角函数最值 时，一般要进行一些代数变换和三角变换，要注意函数有意义的条件及
弦函数的有界性；
（2）含参数函数的最值问题，要注意参数的作用和影响.
3.1 解三角形中的最值问题
例6.【湖北省襄阳市四校2017届高三上学期期中联考】在
ABC
中，
a,b,c
分别为内角

A,B,C
所对的边，若
a3,A

3
，则
bc
的最大值为( )
A．4 B．
33
C．
23
D．2
【答案】C
3.1 与三角函数有关的最值问题
例7. 【湖南省郴州市201 7届高三上学期第一次教学质量监测】已知函数
f(x)3cos
2
x2sinx cosx3sin
2
x
.
（I）求函数
f(x)
的最小正周期及单调递增区间；
（II）求函数f(x)
在区间
[0,
【答案】（I）
T

，
[

2
]
的最大值及所对应的
x
值.
511< br>
k

,

k

](kZ)
；（II）最大值为
3
,
x0
.
1212

【反思提升】综合上面的三种类型，解决函数、数列、三角 函数中的大小比较问题，解答时
首先要找准模型，通过转化来解决，一般情况下，此类问题是几个知识点 的交汇，需综合不
等式、函数等性质解题.大小比较问题是函数、数列、三角函数的综合应用，在近几年 的高考
试题中经常出现，成为高考中的一个命题热点，同时也是高中数学必修课中的几大内容之一，解决大小问题不仅会用到函数的基本定义、单调性、奇偶性、周期性、有界性和图象，同时，
常常涉 及到初等函数、不等式、方程、几何等方面问题；而且在解决一些不等式、数列等问
题中也会用最值来求 解.