大连理工大学录取分数线-伊思昭

函数、数列、三角函数中大小比较问题
1.若不等式

1

n
1

a3
n1
n1
对任意的正 整数n恒成立，则实数
a
的取值范围是____
2.已知函数
f

x

{
2
x
,x1
ln

x 1

,1x2,



若不等式
f

x

5mx
恒成立，则实数
m
的取值范围是____ ___.
3.已知函数
f

x

sin
x
在区间

0,
在横线上）．
①函数
f
< br>x

sin

x
在区间


< br>

上是增函数，则下列结论正确的是__________（将所有符合题意的序号填
6




,0

上是增函数；

6

②满足条件的正整数

的最大值为3；
③
f






f
< br>.

4

12

4.已知
S
n
是等差数列

a
n

的前
n
项和,且S
6
S
7
S
5
,给出下列五个命题:
①
d0
;②
S
11
0
;③
S
12
0
;④数列

S
n

中的最大项为
S
11
;⑤
a
6
a
7
.
其中正确命题的是___________.
5.若
{a
n
}是等差数列，首项
a
1
0,a
1007
a
1008
0,a
1007
a
1008
0
，则使前
n< br>项和
S
n
0
成立的最大自然数
n
是
（ ）
A．2020 B．2020 C．2020 D．2020
6.已知函数
f(x)sin(

x
为（ ）
A．

6
)
1113

，
xR，且
f(

)
，
f(

)
.若
|



|
的最小值为，则

的值
2224
428
B． C. 1 D．
333
7.若
ab1,1c0
，则（ ）
A.
ab
c
ba
c
B.
a
c
b
c
C.
log
a
clog
b
c
D.
blog
a
calog
b
c

8. 已知函数
yf

x

是

1,1

上的偶函数，且在区间

1,0

上单调递增，A,B,C是锐 角三角形
VABC
的三个
内角，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A.
f

sinA

f

cosA< br>
B.
f

sinA

f

cosA


C.
f

sinC
f

cosB

D.
f

sin C

f

cosB


9.已知
alog
2
0.3
，
b2
0.3
，
c0.3
2
，则（ ）

A.
abc
B.
cba
C.
bac
D.
bca

10.已知
a
，
bR
，
ab0
，则下列不等式一定成立的是
A.
11

B.
tanatanb
C.
log
2
alog
2
b
D.
a2
b
b2
a

ab
11.设
a
23
，则
a
，
b
，
c
的大小关系是 ( )
(sin17
o
cos17
o
)
，
b2cos
2
13
o
1
，
c
22
C.
bac
D.
cba

x
A.
cab
B.
acb

12.设函数
f (x)
定义在实数集上，它的图像关于直线
x1
对称，且当
x1
时，
f(x)31
，则有（ ）
132231
323323
2 13321
C.
f()f()f()
D.
f()f()f()

332233

是（ ）
（A）
(1，1
A .
f()f()f()
B.
f()f()f()

13.已知
ABC
的三边
a
、
b
、
c
成等比数列，
a
、
b
、
c
所对的角依次为
A
、
B
、
C
. 则
sinBcosB
的取值范围
1
313
]
（B）
[，1]
（C）
(1，2]
（D）
[，2]

2
222
14. 设
S
n
为等差数列

a
n

的前
n
项和，
(n 1)S
n
＜nS
n1
(nN

)
.若
a
8
1
，则（ ）
a
7
A.
S
n
的最大值为
S
8
B.
S
n
的最小值为
S
8
C.
S
n
的最大值为
S
7
D.
S
n
的最小值为
S
7

x
2
y
2
x
2
y
2
2
15.已知椭圆
2

2
1
的离心率为
e
1
，双曲线
2

2
1
的离心率为
e
2
，抛物线
y2px
的离心率为
e
3
，
abab
a5
log
3< br>e
1

1

，
b


5

log
1
e
2
2
，
c5
log
1
e
3
2
，则
a,b,c
之间的大小关系 是（ ）
A.
acb
B.
abc
C.
cba
D.
bca

16.已知锐角
,

满足
sin

sin

2
，设
atan

tan

,f

x< br>
log
a
x
，则下列判断正确的是（ ）
cos

cos

A.
f

sin

f

cos


B.
f

cos


f

sin



C.
f

sin


f

sin


D.
f

cos


f

cos



17.已知函 数
f

x

2sin
2
xcos
< br>2x
(I)求
f

x

的最小正周期；
(Ⅱ)求证：当
x

0，

时，
f

x







．
3





2

1
．
2

18.已知数列

a
n

,
b
n

，
a
0
1
，
a
n1

的前
n
项和．
求证：（Ⅰ）
a
n1
a
n
；
（Ⅱ）
a
n

（Ⅲ）
a
n

a
n
，（
n0,1,2,LL
），
T
n
为数列

bn

b
n
n,

n1,2,3,LL
< br>，
2
1a
n
31


n1,2,3,L L

；
4b
n
n
T
n

n 1,2,3,LL

．
2
19.食品安全问题越来越引起人们的重视，农药 、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带
来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入 200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万
元，其中甲大棚种西红柿， 乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现这种西红柿的年收入
P
、种黄瓜的年收入
Q
与投入
a
（单位：万元）满足
P8042a
，
Q大棚的总收益为
f(x)
（单位：万元）．
（1）求
f(50)
的值；
（2）试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益
f(x)
最大？
1
，每年能两个
a120
．设甲大棚的投入为
x
（单位：万元）< br>4
20.在
ABC
中，角
A、B、C
所对的边为
a 、b、c
，且满足
cos2Acos2B2cos

（1）求角
B
的值；
（2）若
b




< br>A

cos

A



6
6

1
3
且
ba
，求
ac< br>的取值范围．
2
21.已知

a
n

是等差数列，

b
n

是正项的等比数列，且
a
1
b
1
2
，
a
5
14
，
b
3
a
3
．
（I）求

a
n

、

b
n

的通项公式．
（II）求 数列

a
n

中满足
b
4
a
n
b
6
的各项的和．
22.设函数
f(x)
x
aln(1x),g(x)ln(1x)bx

1x
（1）若函数
f(x)
在
x0
处有极值，求函数
f(x)
的最大值；
（2）是否存在实数
b
，使得关于
x
的不等式
g(x)0
在

0,

上恒成立？若存在，求出
b
的取值范围； 若不存在，
说明理由；
（3）证明：不等式
1

k1
lnn

n1,2,

2
2
k1
k 1

n