雅思怎么读-大雾山

探讨两个数比较大小问题
陕西省西乡县第二中学 王仕林

比较大小是数学及其生活中常常遇到的问题,也是每年高考考查的热点之
一。如 何比较两个数的大小，对于迎接高考或者解决现实生活都是最迫切的
问题。本专题主要是针对高一年级学 生对比较大小问题的迷茫和对比较两个
数大小方法的未知进行探讨。
一、比较两个数大小常用的方法：

（1）单调性法； （2）图象法； （3）引进中间数法；

（4）范围比较法； （5）作差或作商法； (6) 公式法；
二、方法介绍及其例题精选：

（1）单调性法：根据两 个数构造一函数，利用函数的单调性来比较两个数
的大小，这种方法叫单调性法。
例1、比较下列各组中两个数的大小.
①
log
0.2
0.5
和
log
0.2
0.3
②
log
2
3
和
log
1.5
3

③
0.4
0.3
和
0.4
0.2


④
-0.75
-0.1
和
-0.75
0.1

分析：① 可构造函数
f(x)log
0.2
x
，利用对数函数< br>f(x)log
0.2
x
在定义域上的
单调性比较其大小；
②先把两个数化成
11
和，可构造函数
f(x)log
3
x
，利用对数函
log
3
1.5
log
3
2
数
f(x)log
3
x
在定义域上的单调性比较
lo g
3
2
与
log
3
1.5
大小；然后再利用函数< br>f(x)
1
的单调性比较
log
2
3
和
l og
1.5
3
的大小。
x
③ 可构造函数
f(x)0 .4
x
，利用对数函数
f(x)0.4
x
在定义域上的单调性比较其大小；

④可构造函数
f(x)0.75
x，利用对数函数
f(x)0.75
x
在定义域上的单调性比
较其大小；
例2、比较下列各组中两个数的大小.
2

1

①

与


5

3

0.50.5

2

3

②

与
-

-



3

5< br>
-1-1
分析：①可构造函数
f(x)x
0.5
在

0，+

上是单调递增的；
②可构造函数
f( x)x
-1
在

-，0

上是单调递减的；
例3、①定义在R上的偶函数
f(x)
满足：对于任意的
x
1
,x< br>2


0,

x
1
x
2< br>
，
f(x
1
)f(x
2
)
0
。则（ ）
x
1
x
2
A
f(3)f(2)f(1)
B
f(1)f(2)f(3)

C
f(2)f(1)f(3)
D
f(3)f(1)f(2)

分析：由题意
x
1
,x
2


0,

x
1
x
2

时，有
f(x
1
)f(x
2
)
0< br>可知函数
f(x)
在

0，+

上
x< br>1
x
2
递减；又因为函数
f(x)
在R上是偶函数，则函数
f(x)
在

-，0

上是增函数。
所以要比较
f(3)、f(-2)与f(1)
的大小，只需要比较
f(3)、f(2)与f(1)
的大小即可。
②已知函数
f(x)
在区间

0，+
上是减少的，试比较
f(a
2
a1)
与
f()< br>的大小
3
1

3
分析：由于
a
2
a1

，
0
。根据题意：
f(x)
在区间

0，+

上是
a0

4
24

2
3
4
减
少的；同时
a
2
a1 
，所以
f(a
2
a1)f()

小结：单调性法适用于两个数中的底数或指数有一个相同，通过构造函数，利
用函数的单调性来比较两个数的大小。
（2）图象法：把要比较的两个数看成是某个函数图象 上的对应函数值；因此
通过图象比较两个数大小的方法，叫图象法。
3
4
3
4

例1、比较下列各组中两个数的大小.
2

①



3

-0.3
4

与



5

- 0.1

②
log
x
3.1
2
与
log
3.2
2.1
x

2

③
log
3
0.5
与



3

0.1


2

4

分析：①可作函数f(x)

与函数
f(x)

的图象，并找到当x0.3
和

3

5

观察两个点对应 的函数值大小，从而即可比较两个数的大
x0.1
时对应的点。
小。

②可作函数
f(x)log
3.1
x
与函数
f(x)l og
3.2
x
的图象，并找到当
x2
和
x2.1
时对应的点。观察两个点对应的函数值大小，从而即可比较两个数的大
小。
2


③可作函数
f(x)log
3
x
与函数
f(x)


的图象，并找到当
x0.5和

3

x
x0.1
时对应的点。观察两个点对应的 函数值大小，从而即可比较两个数的大
小。
例2、已知二次函数
f(x)ax2
bxc(a0)
，满足关系
f(2+x)f(2-x)
，试比 较
f(0.5)
与
f(

)
的大小。
分析：由 于
f(2+x)f(2-x)
可知：
x=2
是二次函数
f(x) ax
2
bxc(a0)
的对称轴
｜2-0.5｜>|

-2|
，由图象可知，
f(0.5)
>
f(

)
方程。又
小结：图像法主要是把要比较的两个数分别看成某个函数图像上对应的点的纵
坐标，可通过点的纵坐标大小来比较两个数的大小。
（3）引进中间数法：为了比较两个数的 大小，需要引进一个数，分别与要比
较的两个数都有一定的关系，然后分别比较这两组数的大
小 ，这种比较两个数大小的方法叫引进中间数法。

例1、比较下列各组中两个数的大小.

①
0.7
0.6
与
0.6
0.7
②
log
0.2
0.3
与
log
0.3
0.2

分析：①引进中间数
0.6
0.6
或
0.7< br>0.7
，然后分别比较
0.7
0.6
与
0.6
0.6
及
0.6
0.7
与
0.6
0.6
的大
小， 利用不等式的性质，即可比较两个数的大小。

②引进中间数
log
0.2
0.2
或
log
0.3
0.3
，然后分别比较log
0.2
0.3
与
log
0.2
0.2
及
log
0.3
0.2
与
log
0.2
0.2
的大小，利用不等式的性质，即可比较两个数的大
小。
小结：引进中间数法主要利用不等式的传递性，通过引进一个与两个有关系的
数，分别比较这两个数与中间数的大小，然后利用不等式的传递性来比
较这两个数的大小。
（4）范围比较法：为了比较两个数的大小，可先对这两个数的值进行估算，
如果这两个数分别在不同的范围内，那么可根据其不同的范
围就可对这两个数的大小进行判定，这种比较两个数大小的
方法叫范围比较法。
例5、比较下列各组中两个数的大小.

3
3

-2. 12
2
3
log0.5
0.7x+x1
5.3

①

与 ②与 ③ 与
-x+
3
4

4

0.8
1
3

3

log0.5
分析：
①由于

的值大于零，而的值小 于零，因此
3

>
log
3
0.5

4

4

0.80.8

②由于< br>5.3
2

1
3
的值大于零且小于1，而
0.7一定大于1，因此
5.3
<
0.7
-2.1
.
-2. 1
2

1
3
33
1

33
2③由于
x+x1=

，但是
-x+
，因此
x
2
+x1

x
2
+x1
。
x++

44

2

44
例6、已知
xln

,ylog
5
2,ze
，则（ ）
A
xyz

1
2

B
zxy

C
zyx

D
yzx

1

111
1
1

5
,又因为
e
2

1
=
2
2
e
e
2
1
2
分析：由于
ln

lne 1
,而
log
5
2log
5

由此可知：ln

>
e
>
log
5
2
.选D

练习：
比较
0.3
2
、
log
2
0.3
及
2
0.3
三个数的大小.
小结：范围比较法主要通过图像或观察的方法，分别对这两个数进行估算，估
算的值分别落在不同的范围内，从而达到比较这两个数大小的方法。
（5）作差或作商法：要比较两个数的大小，可以对这两个数进行作差或作商，
并进行化简，然后判定其化简的值是大于零还是小于零，
或者是大于1还是小于1.从而确定了这两个数的大小，
这
种方法叫作差法或作商法。
例6、比较下列各组中几个数的大小.

①
x+x1
与
3
②
log2
5
3
6
、
log
5
10
和
log
7
14

2
323
1

3
2
x+x1
分析: ① 由于
x
2
+x1
-=
x
2
+x
=
>0,所以>
x

55

5
2
20
②由于
log
3
6log
5
10=
log
3
2log
5
2
5log3
0

=
log
1
3

log
1
2< br>=
log
1
3

log
1
5
=log
log3•log5
22
252222
所以
log
3
6
>
log
5
10
,同理可解得：
log5
10
>
log
7
14
.
由此可知：
log
3
6
>
log
5
10
>
log< br>7
14

小结：作差或作商法通过对要比较的两个数进行作差或作商，并进行化简，然
后与零或1进行比较，从而达到比较两个数大小的方法。
通过以上对两个数比较大小方法的探 究，我们发现不管是选择、填
空题还是解答题，有些方法都可以运用。尤其是作差法，它不仅能解决两个数的大小问题，而且对恒等式证明和不等式证明都是很好的方法。
当然，比较两个数的大小，有 时可能运用其中一种或多种方法才能解决。