送灶神-哈姆雷特教案

★【速算技巧五：差分法】
李委明提示：
“差分法”是在比较两个分数大小 时，用“直除法”或者“化同法”等其他速算方式难
以解决时可以采取的一种速算方式。

适用形式：
两个分数作比较时，若其中一个分数的分子与分母都比另外一个分数的分子与分母 分别
仅仅大一点，这时候使用“直除法”、“化同法”经常很难比较出大小关系，而使用“差分法”却可以很好地解决这样的问题。

基础定义：
在满足“适用形式”的两个分数 中，我们定义分子与分母都比较大的分数叫“大分数”，
分子与分母都比较小的分数叫“小分数”，而这 两个分数的分子、分母分别做差得到的新的
分数我们定义为“差分数”。例如：324与313比较大小 ，其中324就是“大分数”，313
就是“小分数”，而324-313就是“差分数”。

“差分法”使用基本准则——
“差分数”代替“大分数”与“小分数”作比较：
．．．．．．．．．．．．．．．
1、若差分数比小分数大，则大分数比小分数大；
2、若差分数比小分数小，则大分数比小分数小；
3、若差分数与小分数相等，则大分数与小分数相等。
比如上文中就是“11代替324与3 13作比较”，因为11＞313（可以通过“直除法”
或者“化同法”简单得到），所以324＞31 3。

特别注意：
一、“差分法”本身是一种“精算法”而非“估算法”，得出来 的大小关系是精确的关系
而非粗略的关系；
二、“差分法”与“化同法”经常联系在一起使用 ，“化同法紧接差分法”与“差分法紧
接化同法”是资料分析速算当中经常遇到的两种情形。
三、“差分法”得到“差分数”与“小分数”做比较的时候，还经常需要用到“直除法”。
四 、如果两个分数相隔非常近，我们甚至需要反复运用两次“差分法”，这种情况相对
比较复杂，但如果运 用熟练，同样可以大幅度简化计算。

【例1】比较74和95的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
大分数 小分数
95 74
9－75－1=21(差分数)
根据：差分数=21＞74=小分数
因此：大分数=95＞74=小分数
李委明提示：
使用“差分法”的时候，牢记将“差分数”写在“大分数”的一侧，因为它代替 的是“大
分数”，然后再跟“小分数”做比较。

【例2】比较101和103的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：
小分数 大分数
101 103
－103－101=2(差分数)
根据：差分数=2=30200＜101=小分数（此处运用了“化同法”）
因此：大分数=103＜101=小分数
［注释］
本题比较差分数和小分数大小时，还可采用直除法，读者不妨自己试试。

李委明提示（“差分法”原理）：
以例2为例，我们来阐述一下“差分法”到底是怎样一种原理，先看下图：

上图显 示了一个简单的过程：将Ⅱ号溶液倒入Ⅰ号溶液当中，变成Ⅲ号溶液。其中Ⅰ号
溶液的浓度为“小分数” ，Ⅲ号溶液的浓度为“大分数”，而Ⅱ号溶液的浓度为“差分数”。
显然，要比较Ⅰ号溶液与Ⅲ号溶液的 浓度哪个大，只需要知道这个倒入的过程是“稀释”还
是“变浓”了，所以只需要比较Ⅱ号溶液与Ⅰ号溶 液的浓度哪个大即可。

【例3】比较和的大小
【解析】运用“差分法”来比较这两个分数的大小关系：


根据：很明显，差分数=＜2＜=小分数
因此：大分数=＜=小分数
［注释］ < br>本题比较差分数和小分数大小时，还可以采用“直除法”（本质上与插一个“2”
是等价的）。< br>

【例4】下表显示了三个省份的省会城市（分别为A、B、C城）2006年GDP 及其增长情
况，请根据表中所提供的数据回答：
、C两城2005年GDP哪个更高？
、C两城所在的省份2006年GDP量哪个更高？

A城
B城
C城

【解析】一、B、C两城2005年的GDP分别为：1＋%、1＋%；观察 特征（分子与分母都
相差一点点）我们使用“差分法”：
1＋% 1＋%
GDP（亿元）



GDP增长率
%
%
%
占全省的比例
%
%
%

%
运用直除法，很明显：差分数＝%＞1000＞1＋%＝小分数，故大分数＞小分数
所以B、C两城2005年GDP量C城更高。
二、A、C两城所在的省份2006年GDP 量分别为：%、%；同样我们使用“差分法”进行
比较：
% %
%=%
2%=212620%
上述过程我们运用了两次“差分法”，很明显：212620%＞%，所以%＞%；
因此2006年A城所在的省份GDP量更高。

【例5】比较×和×的大小 【解析】与很相近，与也很相近，因此使用估算法或者截位法进行比较的时候，误差可
能会比较大， 因此我们可以考虑先变形，再使用“差分法”，即要比较×和×的大小，我们
首先比较和的大小关系：

2
根据：差分数=2＞2＞=小分数
因此：大分数=＞=小分数
变型：×＞×

李委明提示（乘法型“差分法”）：
要比较a×b与a′ ×b′的大小，如果ａ与ａ＇相差很小，并且ｂ与ｂ＇相差也很小，
这时候可以将乘法a×b与a′×b ′的比较转化为除法ab′与a′b的比较，这时候便可以
运用“差分法”来解决我们类似的乘法型问题 。我们在“化除为乘”的时候，遵循以下原则
可以保证不等号方向的不变：



“化除为乘”原则：相乘即交叉。
★【速算技巧九：增长率相关速算法】
李委明提示：
计算与增长率相关的数据是做资料分析题当中经常遇到的题型，而这类计算有一 些常用

的速算技巧，掌握这些速算技巧对于迅速解答资料分析题有着非常重要的辅助作用 。

两年混合增长率公式：
如果第二期与第三期增长率分别为r
1
与r
2
，那么第三期相对于第一期的增长率为：
r
1
＋r
2
＋r
1
× r
2


增长率化除为乘近似公式：
如果第二期的值为A，增长率为r，则第一期的值A′：
A′＝A1＋r≈A×（1-r）
2
（实际上左式略大于右式，r越小，则误差越小，误差量级为r）

平均增长率近似公式：
如果N年间的增长率分别为r
1
、r
2、r
3
……r
n
，则平均增长率：
r≈r
1
＋r
2
＋r
3
＋……r
n
n
（实际上左式略小于右式，增长率越接近，误差越小）
求平均增长率时特别注意问题的表述方式，例如：
1.“从2004年到2007年的平均增长率”一般表示不包括2004年的增长率；
2.“2004、2005、2006、2007年的平均增长率”一般表示包括200４年的增长率。

“分子分母同时扩大缩小型分数”变化趋势判定：
B中若A与B同时扩大，则①若 A增长率大，则AB扩大②若B增长率大，则AB缩小；
AB中若A与B同时缩小，则①若A减少得快， 则AB缩小②若B减少得快，则AB扩大。
A＋B中若A与B同时扩大，则①若A增长率大，则AA＋ B扩大②若B增长率大，则AA
＋B缩小；AA＋B中若A与B同时缩小，则①若A减少得快，则AA＋ B缩小②若B减少得
快，则AA＋B扩大。

多部分平均增长率：
如果量 A与量B构成总量“A＋B”，量A增长率为a，量B增长率为b，量“A＋B”的增
长率为r，则AB =r-ba-r，一般用“十字交叉法”来简单计算：
A：a r-b A
r =
B：b a-r B
注意几点问题：
一定是介于a、b之间的，“十字交叉”相减的时候，一个r在前，另一个r在后；
2.算出来的AB=r-ba-r是未增长之前的比例，如果要计算增长之后的比例，应该在这
个比例上再乘以各自的增长率，即A′B′=（r-b）×（1＋a）（a-r）×（1＋b）。

等速率增长结论：
如果某一个量按照一个固定的速率增长，那么其增长量将越来越大，并且这 个量的数值
成“等比数列”，中间一项的平方等于两边两项的乘积。

【例1】20 05年某市房价上涨%，2006年房价上涨了%，则2006年的房价比2004年上
涨了（ ）。
% % % %

【解析】%＋%＋%×%≈%＋%＋%×6%≈24%，选择B。

【例2】2007年第一季度，某市汽车销量为10000台，第二季度比第一季度增长了12%，
第三 季度比第二季度增长了17%，则第三季度汽车的销售量为（ ）。
B.13000
【解析】12%＋17%＋12%×17%≈12%＋17%＋12%×16＝31%，10000×( 1＋31%)＝13100，
选择C。

【例3】设2005年某市经济增长率为6 %，2006年经济增长率为10%。则2005、2006
年，该市的平均经济增长率为多少？（ ）
A.7.0% 【解析】r≈r
1
＋r
2
2=6%＋10%2=8%，选
择B。

【例4】假设A国经济增长率维持在％的水平上，要想GDP明年达到200亿美元的水平，
则今年至少需要达到约多少亿美元？（ ）
B.191
【解析】2001＋%≈200×（%）==，所以选C。
22
［注释］
本题速算误差量级在r=%)≈610000，200亿的610000大约为亿元。


【例5】如果某国外汇储备先增长10％，后减少10％，请问最后是增长了还是减少了？
（ ）
A.增长了 B.减少了 C.不变 D.不确定
【解析】A×（1＋10％）×（1－10％）＝0.99A，所以选B。
李委明提示： < br>例5中虽然增加和减少了一个相同的比率，但最后结果却是减少了，我们一般把这种现
象总结叫做 “同增同减，最后降低”。即使我们把增减调换一个顺序，最后结果仍然是下降
．．．．．．．．
了。












★【速算技巧二：直除法】
李委明提示：
“直除 法”是指在比较或者计算较复杂分数时，通过“直接相除”的方式得到商的首位
（首一位或首两位），从 而得出正确答案的速算方式。“直除法”在资料分析的速算当中有非
常广泛的用途，并且由于其“方式简 单”而具有“极易操作”性。

“直除法”从题型上一般包括两种形式：
一、比较多个分数时，在量级相当的情况下，首位最大小的数为最大小数；
二、计算一个分数时，在选项首位不同的情况下，通过计算首位便可选出正确答案。

“直除法”从难度深浅上来讲一般分为三种梯度：
一、简单直接能看出商的首位；
二、通过动手计算能看出商的首位；
三、某些比较复杂的分数，需要计算分数的“倒数”的首位来判定答案。
【例1】
738.491328.543955.432894.34
中最大的数是（ ）。
、、、
22.0347.01133.49101.56
738.491328 .543955.432894.34
＋---
＝30，＝30，＝30，＝30，
22.0347.01133.49101.56
【解析】直接相除：
明显
738.4 9
为四个数当中最大的数。
22.03

【例2】324094103、3 28954701、239553413、128941831中最小的数是（ ）。
【解析】
324094103、239553413、128941831都比7大，而328954701比7 小，
因此四个数当中最小的数是328954701。
李委明提示：
即使在使用速算技巧的情况下，少量却有必要的动手计算还是不可避免的。

【例3】、、、中最大的数是（ ）。


在本节及以后的计算当中由于涉及到大量的估算，因此我们用a+表示一个比a大的数，
用a- 表示一个比a小的数。
【解析】

只有比9大，所以四个数当中最大的数是。

【例4】、、、中最大的数是（ ）。
【解析】本题直接用“直除法”很难直接看出结果，我们考虑这四个数的倒数：
、、、，
利用直除法，它们的首位分别为“4”、“4”、“4”、“3”，
所以四个倒数当中最小，因此原来四个数当中最大。

【例5】阅读下面饼状图，请问该季度第一车间比第二车间多生产多少？（ ）

【解析】5632-39453945=16873945==40%，
所以选B。

【例6】某地区去年外贸出口额各季度统计如下，请问第二季度出口额占全年的比例为
多少？（ ）

出口额（亿元）
第一季度
4573
第二季度
5698
第三季度
3495
第四季度
3842
＋+
＋+
全年
17608
【解析】5698 17608＝=30%，其倒数
＋-
176085698＝3，所以569817608＝(1 3)，所以选B。

【例7】根据下图资料，己村的粮食总产量为戊村粮食总产量的多少倍？（ ）

A.2.34 B.1.76 【解析】直接通过直除法计算÷：

根据首两位为*得到正确答案为C。

★【速算技巧十：综合速算法】
李委明提示：
“综合速算法”包含了我们资料分析 试题当中众多体系性不如前面九大速算技巧的速算
方式，但这些速算方式仍然是提高计算速度的有效手段 。

平方数速算：
牢记常用平方数，特别是11~30以内数的平方，可以很好地提高计算速度：
121、144、169、196、225、256、289、324、361、400
441、484、529、576、625、676、729、784、841、900

尾数法速算：
因为资料分析试题当中牵涉到的数据几乎都是通过近似后得到的结果，所以一般 我们计
算的时候多强调首位估算，而尾数往往是微不足道的。因此资料分析当中的尾数法只适用于
未经近似或者不需要近似的计算之中。历史数据证明，国考试题资料分析基本上不能用到尾
数法，但在 地方考题的资料分析当中，尾数法仍然可以有效地简化计算。
错位相加减：
A×9型速算技巧：A×9=A×10-A；如：743×9=7430-743=6687
A×型速算技巧：A×=A×10+A÷10；如：743×==
A×11型速算技巧：A×11=A×10+A；如：743×11=7430+743=8173
A×101型速算技巧：A×101=A×100+A； 如：743×101=74300+743=75043

乘除以5、25、125的速算技巧：
A×5型速算技巧：A×5=10A÷2；A÷5型速算技巧：A÷5=0.1A×2
例×5=÷2=
÷5=×2=

A× 25型速算技巧：A×25=100A÷4；A÷ 25型速算技巧：A÷25=0.01A×4
例7234×25=723400÷4=180850
3714÷25=×4=

A×125型速算技巧：A×125=1000A÷8；A÷125型速算技巧：A÷125=0.00 1A×8
例8736×125=8736000÷8=1092000
4115÷125=×8=

减半相加：
A×型速算技巧：A×=A+A÷2；

例3406×=3406＋3406÷2=3406＋1703＝5109

“首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧：
积的头＝头×（头+1）；积的尾=尾×尾
例：“23×27”，首数均为“2”，尾数“3”与“7”的和是“10”，互补
所以乘积的首数为2×(2＋1)=6，尾数为3×7=21，即23×27=621
【例1】假设某国外汇汇率以％的平均速度增长，预计8年之后的外汇汇率大约为现在
的多少倍？（ ）
84
A.3.4 B.4.5 【解析】（1＋％）＝≈＝（）＝≈
＝≈＝，选择D
［注释］
本题速算反复运用了 常用平方数，并且中间进行了多次近似，这些近似各自
只忽略了非常小的量，并且三次近似方向也不相同 ，因此可以有效的抵消误差，达到选项所
要求的精度。


【例2】根据材料，9～10月的销售额为（ ）万元。

B.42.54 【解析】－－－－－的尾数为“4”，排除
A、D，又从图像上明显得到， 9-10月份的销售额低于7-8月份，选择B。
［注释］
这是地方考题经常出现的考查类 型，即使存在近似的误差，本题当中的简单
减法得出的尾数仍然是非常接近真实值的尾数的，至少不会离 “4”很远。