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二次根式比较的巧妙方法

二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学 习中的重点内容；而比
较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根
式的大小的问题。尽管 教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求
近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料 中也总结了不少诸如“作
差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在< br>考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类
题目时缺少方法与对 策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式
大小的有效方法。

一、移动因式法

此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大
小。

例1：比较

解：

＞ ∴
的大小。

＞


二、运用平方法

两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较

解：∵



＞0，
与的大小。
，
＞0
∴＜

三、分母有理化法

此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较

与的大小。

解：


∴＞

四、分子有理化法：此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较

与的大小
解：∵



＞



∴＞

五、求差或求商法

求差法的基本思路是：设

＜0时，＜；当
小。

求商法的基本思路是：设
同号：当＞1时，＞；


为任意两个实数 ，先求出与的差，再根据“当
时，；当＞0时，＞”来比较与的大
为任意两个实数，先求出与的 商，再根据“①
＝1时，；＜1时，＜。②异号：
正数大于负数” 来比较与的大小。

例5：比较

的大小。
解：∵

＜

∴

例6：比较

＜
的大小。

解：∵

＞1
∴＞

六、求倒数法

先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较

解：∵

＞

∴＜

七、运用媒介法

此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的
换元法。

例8：已知
的大小。

解：设

则

∵＜，∴
，
，
，，试比较

的大小。

＜，即＜

八、设特定值法

如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特
殊值来进行比较。

例9：比较

解：设


∵＜1，∴＞

九、局部缩放法

如果要比较的二次根式一 眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放
法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小 的目的。

例10：比较

解：设

∵



∴＜，即

例11：比较

解：∵



∴

十、“结论”推理法

＞
＞
＜
，
，7＜
的大小。

＜8，即7＜＜8
，8＜

＜9，即8＜＜9
，则：
＝1，＝
与 的大小。
与的大小。

通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“
＞

例12：比较1与

解：∵

由

＞

即

又∵

＞
＞


＞

的大小。
，
（＞
＞（
＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。
＞0）可知：
∴＞，即1＞

总的来说，比较二次根式大小的方法不仅 仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆
项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等 等，但不管使用哪种方法，
都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二 次根式的结
构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。

附：“

证明：∵



∴＞

【典题新练】：

1、比较

2、比较

3、比较

与
与
与
的大小；
的大小；
的大小；
＞
（＞
＞（＞＞0）”的证明。
，，

＞0）

4、比较

与的大小；
5、比较

6、比较

7、设

8、比较

9、比较

10、 比较

11、比较

12、比较

13、比较

14、 比较

与
与
与
的大小；
的大小（其中为正整数）；
，
的大小；
，试比较它们的大小；
与
与
的大小；
的大小；
与
的大小；
的大小；
与的大小；
与的大小；
的大小； 15、若为正整数，试比较

16、比较

的大小；
的大小。 17、比较与

【典题新练参考答案】：

1、提示：，

2、提示：平方后再进行比较。

，

∴

＞
，∴＜
，

3、提示：可利用

＞（＞
＞
＞0）。
＞，即

4、提示：分母有理化后再进行比较。



，，＜，
∴＜

5、提示：分子有理化后再进行比较。






∵

＞，∴

＜，
即

＜
6、提示：∵

其中为正整数， ∴

故

7、提示：设

则：

＜
，

＞
，


，
∵ ＜ ∴

8、平方后再进行比较。
＜，∴＜

，

∴

＜，∴
＜3，7＜
＜
＜8，∴

＜5＜，∴＜

，又∵＞，∴＞
9、提示：∵2＜


10、提示：分子有理化后再进行比较。

因为


，，而＞
所以＜，故

11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。

∵

＞

12、提示：∵


＜
，而7＜
，
，∴
＜

＜
＜8，∴的整数部分为7 。同样可得
的整数部分为8，∴

13、提示：∵

＞
∴＞

14、提示：平方后再比较大小。

∵

∴

＜
，，

15、提示：由偶次根式的定义得
0，

∴

16、提示：由

＞16，∴

∴假设不成立，故＜。

17、提示：可在方格纸或坐标纸上作折线图。
＞0，
，设
＞4，这与
＜0，∴
＞
＜
，∴＜2009，∴＜
＞
，则
＝4相矛盾，

＞4，两边平方得：
，示例如下图：
，
＞

；

。由图可知：＞
，
，即