没有任何借口-四年级语文教学反思

教案讲义·训练检测

2．1 等式性质与不等式性质

考点
不等关系的表示
数(式)大小比较
不等式的性质
学习目标
会用不等式(组)表示实际问题中的不等关
系
会运用作差法比较两个数或式的大小
掌握不等式的性质，会用不等式的性质证
明不等式或解决范围问题
核心素养
数学建模
逻辑推理
逻辑推理

问题导学
预习教材P37－P42，并思考以下问题：
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？

1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果 a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么
a(2)符号表示
a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a■名师点拨
符 号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以
推出p，即p与 q可以互推．
2．常用的不等式的基本性质
性质1 a>b⇔b性质2 a>b，b>c⇒a>c；
性质3 如果a>b，那么a＋c>b＋c；
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性质4 如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；
性质6 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
性质7 如果a>b>0，那么a
n
>b
n
(n∈N，n≥2)．
■名师点拨
对不等式性质的五点说明
(1)性质1和性质2，分别称为“对称性” 与“传递性”，在它们的证明中，要用到比较
大小的“定义”等知识．
(2)性质3(即可加 性)的依据是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后，
可以把它从一边移到另一边”．
(3)性质4(即可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”．
(4)性质5(即同向可加性)，即“同向不等式只能相加，不等号方向不变，不能相减”．
(5)性质6和性质7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均为正数的同向不等式相乘，得
同向不等式 ，并无相除式．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.( )
(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.( )
(3)若a(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、 乙
两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是( )
A．x＋y>120
C．x＋y≥120
答案：C
已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是( )
A．ad＞bc
C．a－c＞b－d
B．ac＞bd
D．a＋c＞b＋d
B．x＋y<120
D．x＋y≤120
解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝ 3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，
D一定成立．
若x<1，M＝x
2
＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．
解析：M－N＝x
2
＋x－4x＋2＝x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－ 2)，
又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N.
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答案：M>N


用不等式(组)表示不等关系
(1)某车工计划在15天里加工零件408个， 最初三天中，每天加工24个，则以
后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？ 设以后平均每天至少需
要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________．
(2)用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积
不小于110 m
2
，靠墙的一边长为x m．试用不等式表示其中的不等关系．
【解】 (1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加 工(15－3)天共加工12x个
零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋1 2x>408.
故填72＋12x＞408.
(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以030－x

x
这时菜园的另一 条边长为＝

15－
2


(m)．
2
x
15－

， 因此菜园面积S＝x

2

x
15－

≥110， 依题意有S≥110，即x

2

故该题中的不等关系可用不等式表示为
0




x

15－
x≥110.

2




1．本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11 m，对面积没有要求，则x应满足的不等
关系是什么？
x
解：因为矩形的另一边15 －≤11，所以x≥8，又02
2．本例(2)中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？
x
15－

的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13，14，解：函数S＝x
2

15，16，17时S≥110.

利用不等式表示不等关系时的注意点
(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可 用不等式来表示，没有可比性的
两个量之间不能用不等式来表示．
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(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．

1．某厂技术科组 织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了
如下估计：理论考试成绩x超过85 分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于
95分，用不等式组表示为( )
x>85


A.

y≥90



z≥95
x>85


C.

y≥90



z>95
x≥85

B.

y>90



z>95
x≥85

D.

y>90



z≥95
解析：选C.x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C.
2．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为
t ℃，那么t应满足的关系式是________．
解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.
答案：4.5t<28 000

数(式)大小的比较
(1)比较3x
3
与3x
2
－x＋1的大小．
(2)已知a≥1，试比较M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．
【解】 (1)3x< br>3
－(3x
2
－x＋1)＝(3x
3
－3x
2
)＋(x－1)
＝3x
2
(x－1)＋(x－1)＝(3x
2
＋1)(x－1)．
当x≤1时，有x－1≤0，而3x
2
＋1>0.所以(3x
2
＋1 )(x－1)≤0，所以3x
3
≤3x
2
－x＋1.
当x>1时，(3x
2
＋1)(x－1)>0，
所以3x
3
>3x
2
－x＋1.
(2)因为a≥1，
所以M＝a＋1－a>0，N＝a－a－1>0.
a＋1－aa＋a－1
M
所以＝＝.
N
a－a－1a＋1＋a
因为a＋1＋a>a＋a－1>0，
M
所以<1，所以MN

利用作差法比较大小的四个步骤
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(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)作出结论．
[注意] 上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关
键． 其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．

1．若x∈R，y∈R，则( )
A．x
2
＋y
2
>2xy－1
C．x
2
＋y
2
<2xy－1
B．x
2
＋y
2
＝2xy－1
D．x
2
＋y
2
≤2xy－1
解析：选A.因为x
2
＋y
2
－(2xy－1)＝x
2
－2xy＋y
2
＋1＝(x－y)
2
＋1>0，所以x
2
＋y
2
>2xy －1，
故选A.
2．已知x>y>0，试比较x
3
－2y
3
与xy
2
－2x
2
y的大小．
解：由题意，知(x
3< br>－2y
3
)－(xy
2
－2x
2
y)＝x
3
－xy
2
＋2x
2
y－2y
3
＝x(x
2
－y
2
)＋2y(x
2
－y
2
)＝(x
2
－y
2
)(x＋2y)
＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，
因为x>y>0，所以x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
所以(x
3
－2y
3
)－(xy
2
－2x
2
y)>0，即x
3
－2y
3
>xy
2
－2x
2
y.
3． 比较5x
2
＋y
2
＋z
2
与2xy＋4x＋2z－2的大小 ．
解因为5x
2
＋y
2
＋z
2
－(2xy＋4x ＋2z－2)＝4x
2
－4x＋1＋x
2
－2xy＋y
2
＋ z
2
－2z＋1＝(2x－1)
2
1
＋(x－y)
2
＋(z－1)
2
≥0，所以5x
2
＋y
2
＋z
2
≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到
2
等号．

不等式的基本性质
(1)对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac
2
>bc
2
，则a>b；
③若a2
>ab>b
2
；
其中正确的是________(填序号)．
(2)若c>a>b>0，求证：
ab
>.
c－ac－b
【解】 (1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故
①不正确．
②中，由ac
2
>bc
2
，知c≠0，故c
2
>0，所以 a>b成立，故②正确．
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