不等关系与不等式练习题含解析人教版
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不等关系与不等式练习题（含解析人教版）
第三章不等式
§3.1不等关系与不等式
课时目标
1．初步学会作差法比较两实数的大小．
2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关
问题．
1．比较实数a，b的大小
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么ab；
如果a－b等于0，那么a＝b；
如果a－b是负数，那么ab，反之也成立．
(2)符号表示
a－b0⇔ab；
a－b＝0⇔a＝b；
a－b0⇔ab.
2．常用的不等式的基本性质
(1)ab⇔ba(对称性)；
(2)ab，bc⇒ac(传递性)；
(3)ab⇒a＋cb＋c(可加性)；
(4)ab，c0⇒acbc；ab，c0⇒acbc；
(5)ab，cd⇒a＋cb＋d；
(6)ab0，cd0⇒acbd；
(7)ab0，n∈N，n≥2⇒anbn；
(8)ab0，n∈N，n≥2⇒nanb.
一、选择题
1．若a，b，c∈R，ab，则下列不等式成立的是()
A.1a1bB．a2b2
2＋1bc2＋1D．a|c|b|c|
答案C
解析对A，若a0b，则1a0，1b0，此时1a1b，∴A不成立；
对B，若a＝1，b＝－2，则a2b2，∴B不成立；
对C，∵c2＋1≥1，且ab，∴ac2＋1bc2＋1恒成立，
∴C正确；
对D，当c＝0时，a|c|＝b|c|，∴D不成立．
2．已知a0，b－1，则下列不等式成立的是()
A．2aba
2a
答案D
解析取a＝－2，b＝－2，则ab＝1，ab2＝－12，
∴abab2a.
3．已知a、b为非零实数，且ab，则下列命题成立的是
()
A．a2b2B．a2bab2
答案C
解析对于A，当a0，b0时，a2b2不成立；
对于B，当a0，b0时，a2b0，ab20，a2bab2不成立；
对于C，∵ab，1a2b20，∴1ab21a2b；
对于D，当a＝－1，b＝1时，ba＝ab＝－1.
4．若x∈(e－1,1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x，则()
A．abcB．cab
C．bacD．bca
答案C
解析∵1ex1，∴－1lnx0.
令t＝lnx，则－1t0.
∴a－b＝t－2t＝－t0，∴ab.
c－a＝t3－t＝t(t2－1)＝t(t＋1)(t－1)，
又∵－1t0，∴0t＋11，－2t－1－1，
∴c－a0，∴ca.∴cab.
5．设a，b∈R，若a－|b|0，则下列不等式中正确的是()
A．b－a0B．a3＋b30
C．a2－b20D．b＋a0
答案D
解析由a|b|得－aba，
∴a＋b0，且a－b0.∴b－a0，A错，D对．
可取特值，如a＝2，b＝－1，
a3＋b3＝70，故B错．
而a2－b2＝(a－b)(a＋b)0，∴C错．
6．若abc且a＋b＋c＝0，则下列不等式中正确的是()
A．abacB．acbc
C．a|b|c|b|D．a2b2c2
答案A
解析由abc及a＋b＋c＝0知a0，c0，
又∵a0，bc，∴abac.故选A.
二、填空题
7．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围为
________．
答案[－1,6]
解析∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5，
∴－1≤a－b≤6.
8．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f
(x)与
g(x)的大小关系是________．
答案f(x)g(x)
解析∵f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋10，
∴f(x)g(x)．
9．若x∈R，则x1＋x2与12的大小关系为________．
答案x1＋x2≤12
解析∵x1＋x2－12＝2x－1－x22(1＋x
2)＝－(x－1)22(1
＋x2)≤0，
∴x1＋x2≤12.
10．设n1
，n∈N，A＝n－n－1，B＝n＋1－n，则A与B
的大小关系为________．
答案AB
解析A＝1n＋n－1，B＝1n＋1＋n.
∵n＋n－1n＋1＋n，并且都为正数，∴AB.
三、解答题
11．设ab0，试比较a2－b2a2＋b2与a－ba＋b的大小．
解方法一作差法 <
br>a2－b2a2＋b2－a－ba＋b＝(a＋b)(a2－b2)－(a－b)(a2
＋b2)
(a2＋b2)(a＋b)
＝(a－b)[(a＋b)2－(a2＋b2)](a2＋b2)(a＋b
)＝2ab(a
－b)(a＋b)(a2＋b2)
∵ab0，∴a＋b0，a－b0,2ab0.
∴2ab(a－b)(a＋b)(a2＋b2)0，∴a2－b2a2＋b2a－ba＋
b.
方法二作商法
∵ab0，∴a2－b2a2＋b20，a－ba＋b0.
∴a2－
b2a2＋b2a－ba＋b＝(a＋b)2a2＋b2＝a2＋b2＋
2aba2＋b
2＝1＋2aba2＋b21.
∴a2－b2a2＋b2a－ba＋b.
12．设f(x)
＝1＋logx3，g(x)＝2logx2，其中x＞0且
x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小
．
解f(x)－g(x)＝1＋logx3－2logx2＝logx3x4，
①当0＜x＜1，3x4＞1，或x＞1，0＜3x4＜1，
即1＜x＜43时，logx3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；
②当3x4＝1，即x＝43时，logx3x4＝0，即f(x)＝g(x)；
③当0＜x＜1，0＜3x4＜1，或x＞1，3x4＞1，
即0＜x＜1，或x＞43时，logx3x4＞0，即f(x)＞g(x)．
综上所述，当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；
当x＝43时，f(x)＝g(x)；
当0＜x＜1，或x＞43时，f(x)＞g(x)．
能力提升
13．若0a1a
2,0b1b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代
数式中值最大的是()
A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1D.12
答案A
解析方法一特殊值法．
令a1＝14，a2＝34，b1＝14，b2＝34，
则a1b1＋a2b2＝1016＝58，a1a2＋b1b2＝616＝38，
a1b2＋a2b1＝616＝38，
∵581238，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.
方法二作差法．
∵a1＋a2＝1＝b1＋b2且0a1a2,0b1b2，
∴a2＝1－a1a1，b2＝1－b1b1，
∴0a112，0b112.
又a
1b1＋a2b2＝a1b1＋(1－a1)(1－b1)＝2a1b1＋1－a1
－b1，
a1a2＋b1b2＝a1(1－a1)＋b1(1－b1)＝a1＋b1－a21－
b21，
a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋b1(1－a1)＝a1＋b1－2a1b1，
∴(a1b2＋a2b1)－(a1a2＋b1b2)＝a21＋b21－2a1b1
＝(a1－b1)2≥0，
∴a1b2＋a2b1≥a1a2＋b1b2.
∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝4a1b1＋1－2a1－2b1
＝1－2a1＋2b1(2a1－1)＝(2a1－1)(2b1－1)
＝4a1－12b1－120，
∴a1b1＋a2b2a1b2＋a2b1.
∵(a1b1＋a2b2)－12＝2a1b1＋12－a1－b1
＝b1(2a1－1)－12(2a1－1)＝(2a1－1)b1－12
＝2a1－12b1－120，
∴a1b1＋a2b212.
综上可知，最大的数应为a1b1＋a2b2.
14．设x，y，z∈R，试比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z
－2的大小．
解∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)
＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1
＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，
∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，
当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．
1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．
a－b0⇔ab；a－
b＝0⇔a＝b；a－
b0⇔ab.
2．作差法比较的一般步骤
第一步：作差；
第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，
将“差”化成“积”；
第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于
0.(不确定的要分情况讨论)
最后得结论．
概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变
形”是关键．
3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要
严格依照性质进行，千
万不可想当然．