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2011年1月15日植树问题（方阵问题）
课堂讲解
1、方阵的概念：
横着排叫行，竖着排叫列，若行数与列数都相等，恰好排成一个正方形，这
就是一个方队，这种 方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。在摆放的方阵中如果是实
心的，我们叫它实心方阵；如果这个方阵是 空心的，我们叫它空心方阵。
2、方阵的基本特点：
方阵中，里一层总比外一层的一边少2 个物体，里一层物体的个数一定比个
一层物体总个数少8个。
实心方阵中，物体个数=最外层的一边个数×最外层一边的个数；
（每边数—1）×4=每层数； 每层数÷4+1=每边数
空心方阵中物体的个数=（最外层一边的个数—层数）×层数×4
3、方阵去掉行或列以后的人数变化：
去掉的行数和列数
去掉一行一列
去掉二行二列
去掉三行三列
去掉四行四列
去掉的总数目
每边数×2-1
每边数×（2+2）-2×2
每边数×（3+3）-3×3
每边人数
去行列人数
每边人数×（行数+列数）-（行数×列数）
每边数×（4+4）-4×4 （行列人数+行数×列数）÷（行数+列数）
4、方阵中其它特性问题：
1、如果把最外圈形成的正方形叫第一层，再向里一圈叫第二层的 话，会发现相
邻的这两个正方形每边个数相差为2，相邻两层相差总个数为8。
2、每边人( 或物)数和四周人(或物)数的关系：四周人(或物)数=【每边人(或物)
数-1】×4；每边人(或 物)数=四周人(或物)数÷4+1
3、中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
4、观察中空方阵，我们不难发现方阵的基本特点：
中空方阵的总人(或物)数=（最外层每 边人(或物)数－中空方阵的层数）×
中空方阵的层数×4

课堂练习题 例题1：
学生排成12人一行共12行的一个队伍，如果去掉一行一列，共需要
去掉多少人 ？
解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数×2-1”，即12×2-1=23人。
例题2：
小丁在围棋盘上摆一个方阵，其中二行二列是白子，其余都是黑子，
黑子共有 81枚，这个方阵共有多少枚棋子？
解：可以画个图。并且这是个特殊的方针问题，它去掉的另一边棋 子是对齐的。81枚黑子，
则每边是9枚，所以黑棋每行梅列都是9枚，最上层的棋子数就是（9+2） =11（枚），那么
这个方针共有棋子：11×11=121（枚）。
11



9×9=81
10
例题3：
游 行队伍中，少先队员在彩车周围围成每边两层的方阵，最外面一层
每边15人，那么彩车周围共有少先队 员多少人？
解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边数-1）×4，而两层之间人 数
相差8人。所以答案为：（15-1）×4×2-8=104人，如果有三层学生，那么答案为：（1 5-1）
×4×3-8×（1+2）=144人。

例题4：
有一队学生排成一个中空方阵，最外层有64人，最内层有 32人，这
队学生共有多少人？
解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边 数-1）×4，
而两层之间人数相差8人。那么第二层人数是：64-8=56人，第三层：56-8= 48
人，第四层：48-8=40人，第五层：40-8=32人。而最外层每边人数：64÷4+1= 17
（人），第二层是17-2=15人。第三层是：15-2=13人，第四层是：13-2=11人 ，
第五层：11-2=9人，
第一种方法：第六层：9-2=7人，第七层：7-2=5人， 第八层是：5-2=3人，
所以根据方阵特点可以这样做：17×17-（24+16+8+1）=24 0（人）
第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或
物) 数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4
所以总人数=（17-5）×5×4=240人
第三种方法：64+56+48+40+32=240（人）






例题5：
有一队学生如果排成三层中空方阵，则多10人，如 果在中间空心部分
接着增排一层又少6人，问这队学生共有多少人？






解：这是个空心方阵。因为根据方阵特点，每层人数=（每边数-1） ×4，
而两层之间人数相差8人。根据题意，最后少6人，得出增加的一层人数是16
人（10 +6=16）。
第一种方法：那么第四层每边人数：16÷4+1=5人，第三层每边人数：5+2= 7
人，第二层每边人数：7+2=9人，最外层每边人数：9+2=11人。那么总人数：
11 ×11-5×5+10=106（人）；
第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人(或物)数=（ 最外层每边人(或
物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4
所以总人数=（11-4）×4×4-6=106人

第三种方法：把每一层的 人数相加，减去不足的6人。16+24+32+40-6=106（人）
例题6：
一方正形 桃园，共10层，最里层共种了16棵桃树，若每颗桃树结桃
60千克，这个桃园共结桃多少千克？？






解：这是个实心方阵，又结合了植树 问题。最外层每边的种桃数：（16÷4+1）
+2×（10-1）=23（棵），而最里层共种了16 棵，即每边数：16÷4+1=5棵，那
么还有一层没种。即每边还可以种3棵。
第一种方法 ：可以得出：这个桃园共种了：23×23-3×3=520（棵），那么
棵结桃：60×520=31 200（千克）。
第二种方法：另外根据公式：中空方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－中空方阵的层数）×中空方阵的层数×4
所以总棵数=（23-10）×10×4=520（棵）；60×520=31200（千克）。
当然也可以用比较复杂的办法，把每一层的数目相加的办法来做，但实在
有点太繁琐。

（2011年1月15日）植树问题（方阵）---课堂练习1
1、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1列，要去掉
多 少人？


2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76 枚，而其余是黑子，
问这个方阵共有多少枚棋子？


3、手持鲜花的同学 在一辆车的四周围成了每边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车周
围的同学有多少人？



4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？


5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉
两行两列，问这个方阵还有多少人？



6、小丁把棋子排成一 个正方形方阵，如果在这个方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了
13枚棋子，那么这个方阵共有棋子 多少枚？



7、在一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有8 4人，其余都是女生，问这个方阵
共有学生多少人？


8、学生排成正方 行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充15人，问原来参加队列的
学生有多少人？


9、一堆一分硬币排成方阵多余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9枚，问< br>这堆硬币有多少枚？



10、小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层每边15枚，这个方阵共有多少棋子？

（2011年1月15日）植树问题（方阵）---课堂练习1
1 、军训的学生进行列队表演，排成了一个10行10列的队伍，如果去掉1行1列，要去掉
多少人？
解：因为根据方阵特点，去掉一行一列需要去掉“每边数×2-1”，即10×2-1=19人。


2、小明在围棋上摆出了一正方形方阵，其中两行两列是白子，共有76枚，而其 余是黑子，
问这个方阵共有多少枚棋子？
解：根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了 一个正方形，即最外层的棋子总数为
76枚。那么最外层的每边数：76÷4+1=20（枚），那么这 个方阵的总数为：20×20=400（枚）；
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3、手持鲜花的同学在一辆车的四周围成了每 边两层的方阵，最外面一层每边13人，彩车
周围的同学有多少人？
解：根据方空心阵特点，总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4，所以彩车周围的学
生 数：（13-2）×2×4=88（人）；也可以用第二种方法，最外层每边人数为13人，那么最
外层 总人数为：（13-1）×4=48人，第二层人数为：48-8=40人，总数为：48+40=88人。


4、有一队学生排成中心空的方阵，最外层是52人，最内层是28人，这队学生有多少人？
解：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8，所以，层数：（52-28）÷8+1=4（层），
因为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：52÷4+1=14（人），因为总人数=（最外层
每边人数-层数）×层数×4，所以这队学生数为：（14-4）×4×4=160（人）；


5、三年级学生组成一个正方形方阵，共13行，每行13人，后来由于服装不够，只好去掉
两行两列，问这个方阵还有多少人？
解：因为根据方阵特点，去掉两行两列，需要去掉“每边 数×（2+2）-2×2”，那么这个方
阵还有：13×13-【13×（2+2）-2×2】=169 -（52-4）=121人。


6、小丁把棋子排成一个正方形方阵，如果在这个 方阵中去掉横竖各一排，则这个方阵少了
13枚棋子，那么这个方阵共有棋子多少枚？
解：根 据下图，我们可以得出最外层每边的棋子数：（13+1）÷2=7（枚），因为交叉点是公
共点；那么 这个方阵共有棋子：7×7=49（枚）；

7、在 一个正方形的方阵中，其中两行两列都是男生，有84人，其余都是女生，问这个方阵
共有学生多少人？
解：根据下图，我们可以分别把两边平移，就变成了一个正方形，我们可以得出最外层的
学生总 人数为84人，那么最外层每边学生数：84÷4+1=22（人），那么这个方阵共有学生：
22×2 2=484（人）；
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8、学生排成正方行列，如果这个队列横竖再增加一排，还需补充15人，问原来 参加队列的
学生有多少人？




解：因为根据图示， 虚线是增加的一层，那么最外层（增加的）每边的人数：（15+1）÷2=8
人，因为有个交叉点。那 么原来方阵共有：8×8-15=49（人）；


9、一堆一分硬币排成方阵多 余4枚，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9枚，问
这堆硬币有多少枚？




解：因为根据图示，虚线是增加的一层，那么最外层（增加的）每边的硬币数：（ 4+9+1）
÷2=7（枚），因为有个交叉点。那么这对硬币共有：7×7-9=40（枚）；


10、小明用棋子排成一个四层空心方阵，最外层每边15枚，这个方阵共有多少棋子？
解：根据方空心阵特点，总人数=（最外层每边人数- 层数）×层数×4，那么这个方阵共有：
（15-4）×4×=176（枚）棋子。

（2011年1月15日）植树问题（方阵）---课堂练习2
1、某公园把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵外层每边摆多少盆花？




2、一队学生排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这 一方阵共有
多少人？




3、一方阵桃园共十层，最 里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃60千克，这个桃园可结桃
多少千克？




4、一个大型方阵，外层每边30人，内层每边10人，中间位置由16人表演， 问这个方阵共
有多少人？




5、有学生若干人，如 列成三层中空方阵多9人，如中空部分增加两层则少15人，问有学生
多少人？




6、游行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方针，最 外层每边
13人，彩车周围的少先队员有多少人？




7、有一队学生排成一个中空的方阵，最外层52人，最内层28人，这队学生有多少人？



8、一些学生如果排成三层空心方阵，则多10人，如果在中间空心部分，接着增 排一排则又
少6人，问共有学生多少人？

（2011年1月15日）植树问题（方阵）---课堂练习2
1、某公园把40盆花排成二层中空方阵，这一方阵外层每边摆多少盆花？
解：根据方空心阵特点，总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4，那么最外层每边的
花 有：40÷2÷4+2=7（盆）。或者：（40+8）÷2÷4+1=7（盆）
2、一队学生排成中 空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这一方阵共有
多少人？
解：根据方 空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8，所以，层数：（44-28）÷8+1=3（层），
因为最外 层总人数为44人，所以最外层每边的人数为：44÷4+1=12（人），因为总人数=（最
外层每边 人数-层数）×层数×4，所以这队学生数为：（12-3）×3×4=108（人）；
3、一方阵 桃园共十层，最里层共种16棵桃树，若每棵桃树结桃60千克，这个桃园可结桃
多少千克？
解：根据方阵特点，相邻的这两个正方形每边个数相差为2，最里层每边有桃树：16÷4+1=5（棵），那么
最外层每边有桃树：5+2（10-1）=23（棵），因为总人数=（最外层每边人数-层数）×层数 ×4，所以这个
桃园共有桃树：（23-10）×10×4=520（棵）；共结桃：60×520=3 1200（千克）
4、一个大型方阵，外层每边30人，内层每边10人，中间位置由16人表演， 问这个方阵共
有多少人？
解：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8，最外层总人数 为：（30-1）×4=116
（人），最内层总人数为：（10-1）×4=36（人），那么层数： （116-36）÷8+1=11（层），因
为：总人数=（最外层每边人数- 层数）×层数×4，所以这个方阵共有：（30-11）×11×
4+16=852（人）；
5、有学生若干人，如列成三层中空方阵多9人，如中空部分增加两层则少15人，问有学生
多少人？
有多少人？
解：根据题意，增加两层少15人，那么增加的两层总人数为：9+15=24（ 人），那么增加两
层中的最外层为：（24+8）÷2=16（人）。根据方空心阵特点，相邻两层总人 数人数相差8，
那么这个中空方阵最外层的人数为：16+8×（4-1）=40（人），最外层每边的 人数：40÷4+1=11
（人），因为：总人数=（最外层每边人数- 层数）×层数×4，所以这个方阵共有：（11-3）
×3×4+9=105（人）；
6、游 行队伍中，手持鲜花的少先队员在一辆彩车四周围成了两边两层的方针，最外层每边
13人，彩车周围的 少先队员有多少人？
解：根据方空心阵特点，总人数=（最外层每边人数-层数）×层数×4，所以彩 车周围的学
生数：（13-2）×2×4=88（人）；也可以用第二种方法，最外层每边人数为13人 ，那么最
外层总人数为：（13-1）×4=48人，第二层人数为：48-8=40人，总数为：48 +40=88人。
7、有一队学生排成一个中空的方阵，最外层52人，最内层28人，这队学生有多少人？
解 ：根据方空心阵特点，相邻两层总人数人数相差8，所以，层数：（52-28）÷8+1=4（层），
因为最外层总人数为52人，所以每边的人数为：52÷4+1=14（人），因为总人数=（最外层
每 边人数-层数）×层数×4，所以这队学生数为：（14-4）×4×4=160（人）；
8、一些 学生如果排成三层空心方阵，则多10人，如果在中间空心部分，接着增排一排则又
少6人，问共有学生 多少人？
解：根据题意，增排一层少6人，那么增加的最内层总人数为：10+6=16（人），根据 方空
心阵特点，相邻两层总人数人数相差8，那么这个中空方阵最外层的人数为：16+8×（4-1）
=40（人），最外层每边的人数：40÷4+1=11（人），因为：总人数=（最外层每边人数- 层数）
×层数×4，所以这个方阵共有：（11-3）×3×4+10=106（人）；