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我们应该拥有怎样的思维方式
——“植树问题”听课随笔
丁杭缨 （浙江省杭州市长青小学 ）
2007年11月14日至11 月16日参加了“同上一堂课——浙江省
小学数学课堂教学观摩评比活动”，并且非常有幸地做为评课嘉 宾对
两节“植树问题”的课发表了自己的见解。“当时只道是寻常”，现在细
细想来，或许可以 提升到对课堂教学改革的辨证思考，是一个关系到
思维方式的问题，特写下听课随笔。
植树问 题通常是指沿着一定的路线植树，这条路线的总长度被树
平均分成若干段，由于路线不同、植树要求不同 ，路线被分成的段数
和植树的棵数之间的关系就不同，存在着“总距离÷间隔距+1=棵数、
总 距离÷间隔距=棵数、总距离÷间隔距–1=棵数”三种基本模型。以前
这部分内容作为数学课外思维训 练，现在编排在人民教育出版社义务
教育课程标准试验教科书四下的数学广角单元，其主要目的是渗透有
关植树问题的一些数学思想方法。教材通过3个例题分别列举了“两
端都要栽”、“只在一端栽 另一端不栽”、“两端都不栽”三种情形的生活
中植树问题事例，让学生初步体会解决植树问题的思想方 法以及这种
思想方法在解决问题中的应用，同时培养学生在解决问题中探索规律，
找出解决问题 有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。
绍兴市和台州市的两位教师执教了植树问题一课 ，她们分别以各
自在数学教学中的价值取向为听课教师诠释了“教什么”与“怎么教”的
两个问 题。

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第一，教什么？郦丹老师对教什么的取舍可以用这样路径 表示：
简单呈现三种常见植树问题→以“两端都栽”为重点展开学习内容→
“两端都栽”为基本 模型的基本练习→以“两端都不栽”和“只栽一端”为
模型的拓展练习。叶婉红老师在教什么的问题上和 郦丹老师则有很大
的不同，在寻找解决“王叔叔小院前有一条20米长的小路，每隔（ ）
米 种一棵，一共需要种多少棵？”这个问题的方案中，三种常见植树
问题的内容及它们的基本模型同时呈现 并且“平分秋色”，然后在四个
层次的练习里，不仅有三种情形的基本题，还有与此密切相关的“求间隔距离”和“总距离”的变式题。
第二，怎么教？郦丹老师先从较短路程的植树问题入手，借助 画
图让学生初步了解植树问题的三种情形；接着学生独立画图探求“两
端都栽”的情形中棵数与 间隔数之间的关系；然后通过脑中想图的形
式归纳抽象出“两端都栽”的植树问题模型，并在尝试应用中 巩固模型；
最后在拓展练习中与“两端都不栽”或“只栽一端”的植树问题建立联系，
让学生灵 活解决生活中的植树问题。叶婉红老师上课的最大特点是让
学生在小组合作中动脑、动手、探究植树问题 ，教学的第一个环节就
是通过设计植树方案展现植树问题的三种模型，在第二个环节四个层
次的 习题设计中，前三个层次分别围绕每一种模型分基本题和变式题
两个部分，让学生在练习与比较中巩固模 型，最后是灵活运用植树问
题的思想方法解决生活中的问题。
纵观两位教师的课堂，“教什么 ”和“怎么教”是紧密地联系在一起
的。郦老师认为课堂应该凸现实效和数学味的，因此这节课的价值< br>
2

取向是注重引导学生利用线段图分析数量关系，用“数形结合”的 思
想解决问题，同时重视学生的独立思考，让他们自己去建构知识、
探究解决问题的策略，老师 带着孩子们“拾阶而上”。而叶老师把教
学重点放在让学生积极参与探索并发现植树问题的解题规律，激 发
学生对数学的好奇心和求知欲，把植树问题作为数学思想方法的一
个学习支点，感悟数学建模 的重要意义，课堂里孩子们和老师“并驾
齐驱”。
正因为有了两位执教老师各自的“教什么” ，所以在听课老师眼
前出现的是两种截然不同的课堂教学风格。孰是孰非？孰优孰劣？
各有各的 说法，各有各的价值取向，各有各的思维方式。但这也许
正是听课老师最关心的问题，也是令评课老师最 头疼的问题，同时
也是我最困惑的问题。
与其期待方法，不如发现思想。因此，与其在那儿讨 论两节课存
在的方式和价值，不如寻找走出听课困境的根本出路，即尝试改变我
们习以为常的思 维方式，告别单纯的主客二分立场，采纳更为灵活和
具有包容性的三分立场，即主观世界、客观世界、现 实世界平等对话
的观点，让我们的思维链接到智慧。
最近读了李现平的“中国教育改革的辨证 思考”一文，文中对我们
现有的思维方式进行了深入剖析：“二分法也能认识世界改造世界，
由 于它的偏至，有时甚至更深刻更果断，能发人猛醒，能救急一时。
但也由于它的偏至，总难持久平稳，不 免常从一个极端跳向另一个极
端，在相对中画成大大小小的怪圈。”这不也是对评价课堂教学方法

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论困境的逼真写照吗？不知什么时候起，我们在听课的过程中渐渐习< br>惯了停留在简单的二选一的思维方式上，这样很容易非此即彼，忽略
了我们作为听课教师所处的主 、客观交融的现实世界的存在。
教师听课，不仅应该是有效率的，也应该是有灵魂的；如果说效
率取决于听课教师理解“他（们）为什么这么教”？那么灵魂则更多的
取决于“我要教什么、怎么教” ？这是听课的方向问题，也是听课的根
本问题。智慧的听课应该是正确的方向与有效的方法的统—。 < br>因此，我们在听课评课时不妨让思维具有灵活性和变通性，善于
寻找矛盾（课堂问题）的结合点， 善于寻找融合彼此（听课教师与上
课教师）的中间地带，真正让主观世界、客观世界、现实世界在我们< br>的思维里平等对话。其实，我们认为的好课是一种对课堂的理想，我
们应该在每一天的教学中追求 理想的课堂，但是还需要更多地把握充
满偶然性、不确定性、多样性的自己的真实课堂。
再回 到那两个我们熟悉的课堂，郦老师课堂中最大的特色也暴露
了她的缺憾，即在教学植树问题中如何把“不 自由”的知识和解决植树
问题时“自由”的思维完美地结合，让课堂充满灵动；而叶老师在放手
让学生自主探究的过程中如何带领学生执着地经历数学化的过程，使
每一个孩子在最近发展区内得到充分 有效的发展，这也是数学课一个
永恒的话题。但是，在我们的课堂中不能因为“不完美”而放弃“完美”
的那一部分，应该在“不完全”中追求“完全”。这好比走路，只能左一
步、右一步交替进行， 每一步看上去都是“不完全”的，可无数次左右
交替的“不完全”就形成了“完全”。

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如果有机会能上这节课，走进自己的课堂之前，我会再一次地思
考 ：关于植树问题我应该“教什么”、“怎么教”？在追求教育的价值旨
趣上，“教什么”比“怎么教”更 重要；从关注教学效率的角度讲，“怎么
教”自然比“教什么”更重要。
备选方案有两套：一 套是遵守教材呈现的顺序，每一种情形的植
树问题分三节课完成。第一节课突出“两端都要栽”的问题解 决中的思
维过程，让学生自主建构数学模型，同时强化这一类型的变式训练（求
总距离或间隔距 ），培养学生的可逆思维；第二节课以“两端都不栽”
为主要学习内容，放手让学生以同桌合作的形式掌 握解题要点，然后
引导学生与例1比较异同，进一步体会植树问题的数学思想；第三节
课则让学 生通过复习与猜想，以“只栽一端”为重点，全面了解植树问
题的不同表现形态。最后安排一节练习课， 用植树问题的数学思想灵
活解决生活中万千变化的“植树”问题。第二套备选方案会鉴借叶老师
的教学，在第一课时中让三种简单的植树问题同时呈现，并且围绕求
“棵数”就三种现象不断地分析、比 较，通过分类、概括、抽象、寻找
生活原型等各种方式，在学生头脑中建构“合三为一”的数学模型，求
“棵数”的三种表现形态在课堂里“唇齿相依”；第二课时以求“总距离”为
大背景，三种情形 的表现形态依旧是“不弃不离”；第三课时则以“间隔
距离”为突破口，全面理解植树问题的解题策略及 数学模型；第四课
时为练习课，从前三节课的教学（效果）实际出发，查漏补缺的同时
进行分层 学习，让不同的孩子在最近发展区内得到各自的发展。
不知道那一套方案适合孩子们，确切地说哪一套方案更适合哪一

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类的孩子的学习？实践是检验智慧的唯一标准！

（注：本文作者为浙江省特级教师，浙江省教育学会小学数学教学分会学术委员）


感谢您的阅读，祝您生活愉快。



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