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从植树问题谈数学模型
数教132 周云龙 28#
摘要：给出路的总长度 、植树方式（端点是否植树）、间隔距离，就可以求出需
要种多少棵树，这就是植树问题。植树问题具有 一定抽象性，有数学模型的特征。
本文以植树问题为例，体会数学模型在小学数学教学中的重要性。
关键词：小学数学 植树问题 模型
引言
模型思想的建立是学生体会和理解数 学与外部世界练习的基本途径。数学模
型的建立大致有以下步骤：（1）了解问题实际背景，明确要解决 的问题。（2）简
化，符号化，数学化题目中的情境。（3）建立模型，以数量关系或图表形式表示出来。（4）解决问题。植树问题是人教版五年级上册数学广角中的内容，植树问
题作为渗透数学思 想方法的支点之一，有助于学生经历和体验知识的形成过程，
感悟数学思想和方法，培养学生建立数学模 型的能力，提高学生的数学素质。
一、植树问题知识基础
在人教版教材一年级下册 中就出现类似“植树问题”的问题：我们一共有10
个男生，老师让相邻两个男生之间站一个女生，问一 共可以站进多少个女生？以
及二年级上册表内乘法（二）“9的乘法口诀”练习中有如下这题。
因此，人教版教材对植树问题早已有过渗透，学生对“间隔个数×间隔长度
=总长度” 这个关 系式的理解是在乘法意义的基础上。而“总长度÷间隔长度=
间隔个数”仅仅是作为包含除的延伸。
二、植树问题解决方案
（一）教学过程
1.激趣导入
师：同学们，你们 知道每年的3月12日是什么节日吗？对于植树你们知道
什么呢？（引导学生说一说两棵树的距离）。
师：植树中有许多数学问题，今天我们就来研究植树中的数学问题。

2.充分经历，探究新知
呈现：


（1） 读图
① 每隔5m栽一棵是什么意思？
每隔5m栽一棵就是两棵树之间的距离是5m，间隔为5m。
② 两端要栽是什么意思？
说一说，实物演示，指一指尺子的两端是哪里？一边指的又是什么？
（2） 猜想
① 猜一猜要栽多少棵树？怎么验证自己的猜想？
② 画线段图验证猜想。
3.探索规律
（1）初步感知，化繁为简
师：如果我们用线段表示100m的小路 ，每隔5m种一棵，每隔5m种一棵„„
是不是显得比较麻烦？为什么会麻烦呢？
预设：100m太长，每隔5m种一棵树，要种很多棵树。
师：恩，也就是100m这个数字 在这题目中比较大，给我们画图带来了不便。
那我们可以先来研究一小段。
（3）直观感知
师：我们先取20m看看可以栽几棵树。
呈现：


引 导：20m长的路，有4个间隔，每个间隔为5m，可以植树5棵。看看我们
的小手，把手指看成树，把 手指的空隙看成间隔，有几个间隔个数？有几棵树？
师：我们再来看25m，30m长的路可以栽几棵 树。老师用线段图来表示，老
师用线段图表示。线段表示小路总长度，一个分割点表示一棵树。

（4）推测规律
师：你发现了什么规律？
预设：间隔个数+1=棵树，棵树-1=间隔个数。（植树方式为两端都栽）
师：现在你们知 道全长100m的小路，每隔5m栽一棵树（两端都栽），要栽
多少棵了吗？100÷5=20表示什么 意思？为什么还要20+1=21（棵）？
（5）两端不栽，只栽一端
师：那如果25m这段路每隔5m栽一棵树，两端都不栽，要栽几棵树？

预设：4棵。
师：它们的间隔个数是多少？有没有发生改变？模仿两端都栽“间隔个数+1=
棵树”这个规律，你能得出两端不栽的规律吗？
预设：间隔个数-1=棵树
师：继 续挑战，那如果25m这段路每隔5m栽一棵树，只栽一端，要栽几棵
树？也请找出只栽一端的规律。

预设：间隔个数=棵树
三、教学分析
植树是学生熟悉的生活情境，课程 基本理念中课程内容的选择要贴近学生的
实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。从植树问题中，探 究一系列植树方
案的问题，渗透有关植树问题的一些思想方法，建立植树问题的数学模型，并运
用于解决实际问题。
（一）植树问题解决方案
1.发现规律

刚开 始在100m的小路上植树，每隔5m栽一棵，100这个数据偏大不适合以
直观地方式直接呈现要栽树 的棵树，通过探究较短长度的路，如20m，25m，30m
来发现“间隔个数”、“棵树”之间的关系 ，继而推广到100m，甚至更大的总长
度。
2.模型建立
通过线段图建立植树问 题的模型，学生画线段图或示意图的方法直观感受不
同植树方式（两端栽树、只栽一端、两端都不栽）， 把分割点数和植树棵树一一
对应，发现并初步总结出“间隔个数”与“棵树”之间的联系，建立植树问题 的
数学模型。
四、模型的运用
（一）锯木头问题
把一根粗细均匀的木料锯成6段，每锯一次要用2分钟，一共要用多少分钟？
分析：锯木头的 段数问题，只要是明白锯成木头的段数比锯木头的次数多一。
即：段数=次数+1，次数=段数-1。（ 6-1）×2=10（分）
（二）爬楼问题
小明从1楼到3楼需走36级台阶，小明从1楼 到5楼需走多少级台阶？（每
两层楼之间的台阶数相同）。
分析：从1楼走到3楼，走了36 级台阶，层数为3-1=2（层），所以从1楼
走到6楼，共6-1=5（层），一共要走36÷2×5 =90（级）
（三）敲钟问题
家里时钟6点敲6下，10秒钟敲完。敲12下，需要多少秒？
分析：敲6下有6-1=5（ 个）时间间隔，每次间隔10÷5=2（秒），所以敲
12下有12-1=11（个）时间间隔，需要时 间是11×2=22（秒）。
五、用建模思想指导小学数学教学
数学模型是用数学语言概括 地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系
和空间形式的一种数学结构。现行的数学课程标准对符号 化思想有明确的要求，
如要求学生“能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号表示”这实< br>际上就包含了模型思想。在植树问题中，学习目的主要体现在：（1）数学思想方
法的渗透；（2 ）植树问题数学模型的建立；（3）用发现的规律解决生活中的简单

实际问题。
总而言之，数学模型在小学数学教学过程中作为重要的教学手段，有助于学
生感悟重要的数学思想和方 法，培养学生建立数学模型的能力，提高学生的数学
素质，为以后的数学学习夯实基础。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准[S]北京师范大学出版社 ，
2012，1：2.
[2]小学数学义务教育教科书· 数学（五年级下册）[M]．人民教育出版社，2014，
6：106—108.