高三数学试题.docx
万象更新-金茂祥
精品文档
高三数学试题
一．填空题：
1. 假设某
10 张奖券中有 1 张，奖品价值 100 元，有二等奖 3 张，每份奖品价值 50 元； 其余
6 张没有奖 . 现从这 10张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值
概率为 .
不少于其数学期望
E
的
2.已知对任意的
x ,0 U
0, , y 1, 1
，不等式
.
2
6
2xy
2
8
2
x
x
1 y
x
a 0
恒成立，则实数
a
的取值范围为
3. 在
xOy
平面上，将两个半圆弧
2 2
2 2
(x
1) y 1(x 1)
和
1
围成的封
(x 3) y 1(x 3)
、两条直线
y 1
和
y
闭图形记为 D，如图中阴影部分．记
的几何体为
面面积为
，过
(0, y)(| y | 1)
作
2
D 绕 y 轴旋转一周而成
的水平截面，所得截
4
1 y 8
，试利用祖暅原理、一个平放的圆
的体积值为 。 柱和一个长方体，得出
f (x) 是定义在
?
上的增函数 , 且 y f (x) 的图像关于点
(6,0) 对称. 若实数 x, y 满
2 2 2 2
足不等式
f (x 6x) f (y 8 y 36) 0 , 则 x y 的取值范围
___________.
4. 已知 y
y
5. 已知一玻璃杯杯口直径
6cm, 杯深 8cm. 如图所示 , 其轴截
面截杯壁所得曲线是抛物线的一部分 ,
一个玻璃小球放入玻璃
杯中, 若小球能够碰到杯底 , 求小球半径的范围 (不记玻璃杯的
玻璃厚度 ).
P
C
O x
.
精品文档
二．选择题：
6.
已知 O 是
ABC
外接圆的圆心 , A,B,C为
ABC
的内角
, 若
ur u uur
cos B
uuur
cosC
uu
AB AC 2m AO , 则 m 的值为 答 [ ]
sin C
sin B
A. 1 B.
sin A
C.
cos A
D.
tan A
x
B
y
7.
已知点列
A
n
a
n
,b
n
n N
均为函数
y a a 0,a 1
n,0
n
O
A x
的图像上，点列
B
满足
A B
n n
A B
n n 1
，若数列
b
中
n
C
任意连续三项能构成三角形的三边，则
（A）
0,
a
的取值范围为（
（B）
）
5 1
U
2
3 1
U
2
5 1
,
2
3 1
,
5 1 5 1
,1 U 1,
2 2
3 1 3 1
,1 U 1,
2 2
（C）
0,
D
（ ）
2
2
8. 过圆
2
C：(x 1)
圆
( y 1) 1
的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B，
AOB
被
分成四部分（如图） ，若这四部分图形面积满足
有（ ）
（B） 1 条 （C） 2 条
S S
￥
S
S
|||
,
则直线 AB
（A） 0 条 （D） 3 条
三．解答题：
2
9.已知直线
y 2x
是双曲线
C
x
:
2
2
y
2
的一条渐近线，点
A 1,0 ,M m,n n 0
都
1
a b
O.
y
轴相交于点
P，设坐标原点为
在双曲线
C
上，直线
AM
与
（1）设点 M 关于 y 轴相交的对称点为 N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在
x
轴上是否
存在定点 T，使得
TP TQ
?
若存在，求出点 T 的坐标 若不存在，请说明理由 .
uuur
，试求直线
l
的
uuur uu ur
（2
）若过点
D 0,2
的直线
l
与双曲线
C 交于 R,S两点， 且
OR OS RS
方程.
.
精品文档
2
10. 已知双曲线
C :
r
x
2
.
y 1, 设过点 A( 3 2,0) 的直线
l 的方向向量为 e (1,k)
2
(1) 当直线 l 与双曲线 C的一条渐近线
m 平行时 , 求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离
(2) 证明: 当
k
2
时, 在双曲线 C的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l 的距离为
6 .
2
11. 已知集合 M 是满足下列性质的函数
k
等式
f (kx )
＝ ＋
f (x)
恒成立．
f (x)
的全体： 存在非零常数 k，对定义域中的任意 x，
2
（1）判断一次函数
f (x)
＝ax＋b(a≠0)是否属于集合 M ；
（2）证明函数
f (x)
＝
log x
属于集合
M，并找出一个常数 k；
2
（3）已知函数
f (x)
＝
log
a
x
( a＞1)与 y＝x 的图象有公共点，证明
f (x)
＝
log
a
x
∈M ．
12. 设函数
f (x)
和
g (x)
都是定义在集合
M
上的函数
,
对于任意的
x M
，都有
f (g (x)) g( f ( x))
成立，称函数
f (x)
与
g (x)
在
M
上互为“
H
函数” .
（1）函数
f (x) 2x
与
g(x)
（2）若函数
x
sin x
在
M
上互为
“
H
函数”，求集合
M
；
f (x) a
(
a 0且a 1)
与
g(x) x
1
在集合
M
上互为 “
H
函
数” ,
求证：
a 1
；
*
（3）函数
f
( x)
函数”，当
0
x 2
与
g( x)
在集合
M { x | x
1)
1
x
且
2k 3
，
k N }
上互为“
H
x
1
时,
( ) log (
g x
2
x
，且
g( x)
在
( 1 ,1)
上是偶函数 , 求函数
g
(x)
在集合
M
上的解析式 .
.
精品文档
13.
设数列
a
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
n
2
1 a S n N .
n n
（1）求出
S
1
,S
2
, S
3
的值，并求出
S
n
及数列
（2）设
b
n
n 1
a
n
的通项公式；
1 a a
n n 1
n
n N
，求数列
，在数列
b
的前
n
项和
T
n
；
n
（3
）设
c
n
n 1 a n N
c
n
中取出
m m N 且m 3
项，按照原来的
顺序排列成一列， 构成等比数列
d
n
，若对任意的数列
d
，均有
d
1
d
2
L
n
d
n
M
，
M
的最小值
.
试求
2
14. 已知
数列
{ a }
的各 项均为 正数，其前
n
项 的和为
S
n
， 满足
( p 1)S
n
n
p
a
n
n
（
N *
），其中
p
为正常数，且
p 1
．
（1）求数列
{
}
n
a
的通项公式；
（2）是否存在正整数
M
，使得当
n M
时，
a
1
a a
4 7
a
n
3 2
a
恒成立？若
78
存在，求出使结论成立的
p
的取值范围和相应的
M
的最小值；若不存在，请说明理由；
N *
，都有
b
1
a
n
b
2
a
n 1
b
3
a
n 2
b
n 1
a
2
（3）若
1
，设数列
{b
n
}
对任意
n
p
1
2
，问数列
{b
n
}
是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，
n
n
b
a
1
2 n 1
2
请说明理由．
.
精品文档
15. 已知抛物线
C : y
2
（1）求抛物线的方程。
2 px( p 0)
上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于 5。
（ 2 ） 设 直 线
y kx
b(k 0)
与 抛 物 线 交 于 两 点
( , ), ( ,
A
x
1
y B x y
1 2
)
， 且
2
| y
1
y
2
a a
| (
)
，
M
是弦
AB
的中点，过
M
做平行于
x
轴的直线交抛物线于点
D
，
0
得到
ABD
；在分别过弦
AD, BD
的中点作平行于
x
轴的直线交抛物线于点
E, F
，得到三
角形
ADE , BDF
；按此方法继续下去。
解决如下问题：
①求证：
2
16(1 kb)
；②计算
2
a
k
ABD
的面积
S
ABD
；③根据
ABD
的面积的计算结果，
C
与线段
AB
所围成封闭图形面积的方
y
写出
ADE , BDF
的面积；请设计一种求抛物线
法，并求出封闭图形的面积。
A
E
D
O
x
M
F
B
.
精品文档
1.假设某 10 张奖券中有 1 张，奖品价值
100 元，有二等奖 3 张，每份奖品价值 50 元；其余
6 张没有奖 .现从这 10
张奖券中任意抽取 2 张，获得奖品的总价值
2
不少于其数学期望
E
的
概率为
3
知 对 任 意
2
.
2. 已 的
x ,0 U 0, , y 1,1
， 不 等 式
16
2
8
2xy 1
x
y
2
a
0
恒 成 立 ， 则 实 数
a
的 取 值 范 围
为
x
x
（
.
,8 4 2]
3. 在
xOy
平面上，将两个半圆弧
2 2
(x 1)
2
y
2
1(x 1)
和
1
围成的封
(x
3) y 1(x 3)
、两条直线
y 1
和
y
闭图形记为
D，如图中阴影部分．记
的几何体为
面面积为
，过
(0, y)(| y | 1)
作
2
D 绕 y 轴旋转一周而成
的水平截面，所得截
4 1 y 8
，试利用祖暅原理、一个平放的圆
的体积值为 。 柱和一个长方体，得出
4. 已知 y f (x) 是定义在
?
上的增函数 , 且 y f (x) 的图像关于点 (6,0) 对称. 若实数
x, y 满
2 2
足不等式
2
2
f (x 6x) f (y 8 y 36) 0 , 则 x y 的取值范围
___________.
解: 由对称性可知 f (6) 0, 由单调性可知
x 6
时, f (x) 0
x 6
时, f (x) 0
4)
2
20 6
由
2
8
36 (
2
6 6
y y y , 则 x x ,
结合草图可知
2
8 36
2
y y
到 6 的距离不超过比
x 6x 到 6 的距离 ,
2
6 8 24 0
( 3)
2
( 4)
2
1
即
2
8 36 6 6 (
2
6 )
2
y y x x , 整理得 x y x y x y ,
其几何意义是以 (3,4)
为圆心 , 1 为半径的圆 (及其内部 ),
2
而
2
x y 即为该区域内点到原点距离的平方 , 结合图形可知 , 故其取值范围为 [16,36]
.
5. 已知一玻璃杯杯口直径 6cm, 杯深 8cm. 如图所示 ,
其轴截面截杯壁所得曲线是抛物线的
一部分 , 一个玻璃小球放入玻璃杯中 ,
若小球能够碰到杯底 , 求小球半径的范围 (不记玻璃杯
的玻璃厚度 ).
y
8
解: 如图建系 , 抛物线方程为抛物线
2
y x , x [ 3,3] ,
9
小圆与抛物线的接触点即为抛物线上到圆心
C距离最短的点 ,
由小球能碰到杯底 , 则有 |CO | |CP |,
P
设 P( x, y)( x [ 3,3]) 在抛物线上 ,
设小球的半径为 r,
则圆心的坐标为 C(0, r ) ,
C
2 2 2
| CP |
x (y r) y
9
2
( 2r )y r , y
[0,3] ,
O
x
8
1 9
由| CP |
min
|
CO |, 即当 y 0 时, |CP |最小, 故
( 2r) 0 ,
2 8
9
所以
r (0, ] .
16
.
精品文档
选择题：
6. 已知 O 是
ABC
外接圆的圆心 , A,B,C为
ABC
的内角 , 若
ur u uur
cos B
uuur
cosC
uu
AB AC 2m AO , 则 m 的值为
sin C sin B
答 [ B ]
A. 1 B.
sin A
C.
cos A
D.
tan A
解: 不妨设外接圆的半径为 1, 如图建立直角坐标系 ,
则有 AOB 2C, AOC 2B ,
故可设 B (cos2 C ,sin 2C)
, C(cos(2π 2B ),sin(2 π 2B )) ,
结合诱导公式得 C
(cos2 B, sin 2B) ,
uuur uuur
则 AB
(cos 2C 1,sin 2C ), AC (cos 2 B 1, sin 2B)
,
uu ur uuur uuur
由
cos B
,
cosC
AB AC 2m AO
sin C sin B
cos B cosC
得
(cos2 C 1) (cos2 B
1) 2m ,
sin C sin B
2 2
又
cos2C 1
2sin C , cos2 B 1 2sin B , 上式化为
cos B cosC
2 2
B
y
O
A x
C
( 2sin C) ( 2sin B) 2m ,
sin C sin B
整理得 m sin C cos B cosC sin B
sin( B C) sin A , 故选 B.
x
7.
已知点列
A
n
足
A B
n n
a
n
,b
n
n N
，若数列
均为函数
y a a 0,a 1
的图像上，点列
B
n
n,0
满
A B
n n 1
b
中任意连续三项能构成三角形的三边，则
n
a
的取值范围为
（ B ）
（A）
0,
5 1
U
2
3 1
U
2
5 1
,
2
3 1
,
（B）
5 1 5 1
,1 U 1,
2 2
3 1 3 1
,1 U 1,
2 2
（C）
0,
D
（ ）
2
2
8. 过圆
2
C：(x 1) ( y
1) 1
的圆心，作直线分别交 x、y 正半轴于点 A、B，
AOB
被圆
S S
￥
分成四部分（如图）
，若这四部分图形面积满足
S S
|||
,
则直线 AB
有（ ）
（B） 1 条 （C） 2 条 （D） 3 条 （A） 0 条
三．解答题：
2
9.已知直线
y 2x
是双曲线
C
x
:
2
2
y
2
的一条渐近线，点
A 1,0 ,M m,n n 0
都
1
a
b
y
轴相交于点
P，设坐标原点为
在双曲线
C
上，直线
AM
与
O.
（1）设点 M 关于 y 轴的对称点为
N，直线 AN 与 y 轴相交于点 Q，问：在
x
轴上是否存在
.
精品文档
定点 T，使得
TP TQ
?
若存在，求出点 T 的坐标 若不存在，请说明理由 .
uuur
，试求直线
l
的
uuur uu ur
（2
）若过点
D 0,2
的直线
l
与双曲线
C 交于 R,S两点， 且
OR OS RS
方程.
10. 已知双曲线
C :
2
r
2
x
y
.
1, 设过点 A( 3 2,0)
的直线 l 的方向向量为 e (1,k)
2
(3) 当直线 l 与双曲线
C的一条渐近线 m 平行时 , 求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离
(4) 证明: 当
k
2
时, 在双曲线 C的右支上不存在点 Q,
使之到直线 l 的距离为 6 .
2
x
(1)解: 双曲线 C的渐近线 m
:
2
直线 l 的方程为 x
2y 3 2 0 ,
3
2
6 .
1 2
(2)证法一 : 设过原点且平行于 l 的直线 b :
kx y 0 ,
3 2 |k |
则直线
l 与 b 的距离
d
1
2
, 当
k
k
y 0 , 即 x 2y 0 ,
直线 l 与 m
的距离为
d
2
时, d
2
6 ,
又双曲线 C
的渐近线方程为 x 2y 0 ,
l 的距离大于 6 ,
双曲线 C的右支在直线 b
的右下方 ,
双曲线 C的右支上的任意点到直线
故在双曲线 C 的右支上不存在点
Q, 使之到直线 l 的距离为 6 .
证法二 : 假设双曲线右支上存在点
Q(x , y ) 到直线 l 的距离为 6 ,
0
0
| kx
0
y
0
3 2k |
2
1
k
6, (1)
, 则
2 2
x
0
2y
0
0
2,
kx
0
3 2k
2
(2)
2
由(1)得
y6
1 k ,
,
0 ,
2
设
t 3
2k
当 2
k
2
6 1 k ,
2
时, t
3 2k 6 1 k
2k 1
0
2
2
t 3 2k
将
y
0
6 1 k
6
2
3k
kx
0
1 k
2 2
t 代入(2)得
2
(1 2k )x
0
4ktx
0
2(t 1)
0 ( ),
2
Q k , t 0 ,
0 ,
4kt 0
,
2
方程 ( )不存在正根 , 即假设不成立 ,
2
1 2k
2
2(t 1) 0 ,
故在双曲线
C 的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l 的距离为 6 .
11.
已知集合 M 是满足下列性质的函数
k
等式
f (kx
)
＝ ＋
f (x)
恒成立．
f (x)
的全体：
存在非零常数 k，对定义域中的任意 x，
2
.
精品文档
（1）判断一次函数
f (x)
＝ax＋b(a≠0)是否属于集合 M ；
（2）证明函数
f (x)
＝
log x
属于集合 M，并找出一个常数 k；
2
（3）已知函数
f (x)
＝
log
a
x
( a＞1)与 y＝x 的图象有公共点，证明
f (x)
＝
log
a
x
∈M ．
解：（1）若
f ( x)
＝ax＋b∈M，则存在非零常数 k，对任意 x∈D 均有
f
k
2
＋
(kx)
＝akx＋b＝
f
(x)
，即 a(k－1)x
k
k
1 0
＝
2
恒成立，得
k
，
无解，所以
f (x)
M．
0
，
（2）
log (kx)
k
＋
log x
，则
log
2
k
＝
k
＝
2 2
，k＝4，k＝2
时等式恒成立，所以
2
f (x)
＝
2
log
x
∈M．
2
（3）因为 y＝
log
x
a
x
( a＞1)与 y＝x 有交点，由图象知，
y＝
log
a
x
与 y＝
2
必有交点．
设
log
k
a
k
＝
2
，则
f (kx)
＝
log ( )
k
＋
f (x)
，所以
f (x)
∈M．
a
kx
＝
log
a
k
＋
log
a
x
＝
2
12. 设函数
f (x)
和
g (x)
都是定义在集合
M
上的函数
,
对于任意的
x M
，都有
f (g (x)) g( f ( x))
成立，称函数
f (x)
与
g (x)
在
M
上互为“
H
函数” .
（1）函数
f (x) 2x
与
g(x) sin x
在
M
上互为
“
H
函数”，求集合
M
；
（2）若函数
x
f (x) a
(
a 0且a 1)
与
g(x) x
1
在集合
M
上互为 “
H
函
数” ,
求证：
a 1
；
*
（3）函数
f
( x) x 2
与
g( x)
在集合
M { x | x
1
且
x
2k 3
，
k }
上互为“
H
N
函数
”
，当
0 x 1
时
,
g( x) log
2
(x 1)
，且
g( x)
在
( 1 ,1)
上是偶函数 , 求函数
g (x)
在集合
M
上的解析式 .
（1）由
f ( g(x) g( f ( x))
得
2sin x sin 2x
化简得，
2 sin x(1 cos
x) 0
，
sin x 0
或
c
osx
1
⋯⋯⋯ 2
解得
x k
或
x
2k
，
k
Z
，即集合
M { x |
x k }
k Z
⋯⋯⋯ 2 分
( 若学生写出的答案是集合
M
{ x | x k ,k Z}
的非空子集，扣 1 分，以示区别。 )
x
1
a
x
x
a 0
，由于
（2）证明： 由题意得，
1
a
1
（
a 0
且
a 1
），变形得，
a
(a 1)
.
精品文档
a
且
1
，
x
a
1
1
1
x
a
，因为
a 0
，所以
0
，即
a 1
a 1
（3）当
则
g( )
1 x 0
，则
0
x 1
，由于函数
g (x)
在
( 1,1)
上是偶函数
x
( ) log (1 )
，所以当
1 x
1
时，
g(x) log
2
(1 | x|)
g x
2
x
x 2
与函数
g (x)
在集合
M
上
“
互为
H
函数
”
由于
f (x)
所以当
x M
，
f (g(x) g( f ( x))
恒成立 ,
g( x) 2 g(x
2)
对 于 任 意 的
x (2n 1,2n 1)
(
n N
) 恒 成 立 , 即
g(x 2) g (x) 2
，所以
g[
x 2(n 1) 2] g[ x 2(n 1)]
即
g( x 2 n)
2
,
g[x 2(n 1)] 2
，所以
g(x 2n)
g( x) 2n
,
当
x (2n 1,2 n 1)
（
n N
）时
,
x 2n ( 1,1 )
g(x 2n )
log
2
(1 | x 2n |)
，所以当
x M
时，
g( x) g[( x 2n) 2 n] g(x 2n) 2n log
2
(1 | x 2n |) 2n
2
13.
设数列
a
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
n
1 a S n N .
n n
（1）求出
S
1
,S
2
, S
3
的值，并求出
S
n
及数列
n
a
n
的通项公式；
（2）设
2
n a a n N
( 1) (
1) ( )
1
b
n
n n 1
，求数列
b
n
的前
n
项和
T
n
；
（3
）设
c
n
n 1 a n N
n
，在数列
c
中取出
m m N 且m 3
项，按照原来
的
n
顺序排列成一列， 构成等比数列
d
n
，若对任意的数列
d
，均有
d
1
d
2
L
n
d
n
M
，
M
的最小值
.
试求
2
14. 已知 数列
{ a }
的各 项均为 正数，其前
n
项 的和为
S
n
， 满足
( p
n
S
n
1)
p a
n
n
（
N *
），其中
p
为正常数，且
p
1
．
（1）求数列
{ }
n
a
的通项公式；
（2）是否存在正整数
存在，求出使结论成立的
M
，使得当
n M
时，
a
1
a
4
a
7
a
3n 2
a
78
恒成立？若
p
的取值范围和相应的
M
的最小值；若不存在，请说明理由；
N *
，都有
b
1
a
n
b
2
a
n 1
b
3
a
n 2
b
n 1
a
2
（3）若
1
，设数列
{b
n
}
对任意
n
p
2
.
精品文档
n
n
1
，问数列
{b
n
}
是不是等差数列？若是，请求出其通项公式；若不是，
b a
1
2 n 1
2
请说明理由．
2
解：（1）由题
( p 1)a p a
，解得
a
1
设知，
p
．⋯⋯⋯⋯（ 1 分）
1 1
由
(
p
2
1)S
p
a
n
两
,
( p
1)a
n
a
n
a
n
，即
2
式
( p
所以，数列
{ a }
是首项为
p
，公比为
1
n
p
n 1 n 2
所以
1 1
a p
（
n
N *
）．⋯⋯⋯⋯（ 4 分）
n
p p
76
1
a
，
78
1 2 5 (3n 4)
p
1
1
2
（2）
a a a
a
，⋯⋯（5 分）而
1 4 7 3 2
n
p
p
n(3n
2
由题意，
1
p
1
n(3n 5)
2
n
① 当
p 1
时，
1
，则
，即
3 5
76 152 0
0
n
p 2
19
，
解得
8
n
（舍去）；⋯⋯⋯⋯（ 7 分）
3
1)S
1
p
n
1
,
n
a
作
a
n 1
差
n
得
，
的等
比数
列，
⋯⋯
（
3
分）
5
)
1
7
6
，
⋯⋯⋯
p
⋯
（
6
分
）
所
以
，
a
n
，
1
2 分）
1
（
1
② 当
0
n(3n 5)
1
，则
2
p 1
时，
，即
3n
2
0
，
5n 152
76
n
解得
8
或
n
p
19
（舍去）．此时存在满足
题意的
M
min
8
．⋯⋯⋯⋯（ 8
分）
3
综上，当
0
（3
）令
n
p 1
M
的最小值为
8
,使
a
1
时，存在
1
2
2
1
2
1
1
a
4
a
7
1
a
3n 2
，所以
b
1
a
78
恒成立．（10 分）
1
．⋯⋯（ 11 分）
1
，则
b
1
a
，因为
a
1
2
n
1
n 1
． ①
因为
b
1
a
n
b
2
a
n
1
b
3
a
n 2
b
n 1
a
2
b a
1
n
2
2
所以
n 1
1
b a
1 2 n 2
1
（
n
b
1
a
n
b a
3 n 3
b a
n 2 2
b a
2
n 1 1
n
2
2
）② （13 分）
1
因为
{ }
n
，所以在②的两边同乘以
2
得，
2
2
a
的公比
p
n
b
1
a
n
b a
2 n 1
b a
3 n 2
b a
n 1 2
n
2
（
n 2
） ③ ⋯⋯（ 15 分）
1
①减去③得，
n
，所以
b
n
b
n
a
1
n
（
n
2
），
⋯⋯⋯⋯⋯⋯
（
17 分）
2
因为
1
，所以
{ b
n
}
是等差数列，其通项公式为
b
1
b
n
n
．⋯⋯⋯⋯（ 18 分）
15. 已知抛物线
C : y
2
（1）求抛物线的方程。
2
px( p 0)
上横坐标为 4 的点到焦点的距离等于 5。
.
精品文档
（ 2 ） 设 直 线
y kx b(k
0)
与 抛 物 线 交 于 两 点
( , ), ( , )
A
x
1
y B x y
， 且
1 2 2
| y
1
y
2
| a(a 0)
，
M
是弦
AB
的中点，过
M
做平行于
x
轴的直线交抛物线于点
D
，
得到
ABD
；在分别过弦
AD, BD
的中点作平行于
x
轴的直线交抛物线于点
E, F
，得到三
角形
ADE ,
BDF
；按此方法继续下去。
解决如下问题：
①求证：
2
16(1 kb)
a
；②计算
ABD
的面积
S
ABD
；③根据
ABD
的面积的计算结果，
2
k
写出
ADE , BDF
的面积；请设计一种求抛物线
C
与线段
AB
所围成封闭图形面积的方
y
法，并求出封闭图形的面积。
[解]：
A
p
E
（1）由抛物线定义得：
) 5, 2
4 ( p
2
2
y 4x
。
D
M
y kx b
O
x
（2）①
4 4
0
b
F
2
y y
2
k
k
y 4x
| y y ( y )
2
4 y y
4
(
2
1
| y
1 2
k
)
2 1
2
2
16 (1 kb) y y 2 y x x
x
1
，
x
1 2
y
bk
a
。 ②
,
1
2 1
2
2
2
，
2
2
k 2 k
k( )
b
2 2
2
k
2 kb 2 1 2
| bk 1| 1
)
M
，求得点
)
( D ,
，
|
2
S | DM || y
1
y
2
|
,
(
DM | ,
DAB
2
k
2
k
k
k
k 2
|1
bk
|
1
2 3
2
a
a
2k
2
a
a
16 32
B
2
a
k
16bk
a
3
n 1
个三角形，每一
。第
n
此作图产生
2
BFD
S
③由②知
( )
3
| y
A
ADE
y |
2
D
a
S
8
32
个三角形的面积是上一个面积的
作图产生的
n
32
8
2
}
n
3
1
，所以
{
1
S
是一个公比为
8
的等比数列。 令
a
n
为第
n
此
个三角形的面积和
a 1
n n n 1
的面积和为
.
1
2
3
a 1 1
T (1
n
2
32 4 4
1 1
)
a 2 S 2 (
，前
n
此作图所有三角形
n n
32 8
1
)
。抛物线
C
与线段
AB
所围成封闭图形面积
n 1
4
精品文档
3
a
3
1
。
a
S
1
32
1
4
24
.