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普通高等学校招生全国统一考试
上海 数学试卷
时间120分钟, 满分150分

一、填空题（本大题共有12题, 满分54分, 第1～6题每题4分, 第7～12题每题5分）
1.行列式
41
25
的值为_________.
x
2
y
2
1
的渐近线方程为_________.
2.双曲线
4
3.在
(1x)
的二项展开式中,
x
项的系数为_________.（结果用数值表示）
4.设常数
aR
, 函数
f(x)log
2
(xa)
。若
f(x)
的反函数的图像经过点
(3,1)
, 则
7
2
a
_________.
5.已知复数
z
满足
(1i)z17i
（
i
是虚数单位）, 则
z
_________.
6.记等差数列
{
a
n}
的前
n
项和为
S
n
, 若
a
3
0
,
a
6
a
7
14
, 则
S
7

_________.
7.已知

< br>
2,1,


1

,1,2,3

。若幂函数
f(x)x

为奇函数, 且在
(0,)
上递减, 则
2



_________.
8.在平面直角坐标系中, 已知点
A(1,0)
,
B(2,0)
,
E
、
F
是
y
轴上的两个动点, 且
uuuruuur
uuur
EF2
, 则
AE•BF
的最小值为_________.
9.有编号互不相同的五个砝码, 其中5克、3克、1克砝码各一个, 2克砝码两个。从中随机
选取三个, 则这三个砝码的总质量为9克的概率是_________.（结果用最简分数表示）

10.设等比数列
{
a
n
}
的通 项公式为
a
n
q
则
q
_________.
n1
（
nN*
）, 前
n
项和为
S
n
。若
lim
S
n
1

,
na2
n1
1

2
x

6

11.已知常数
a0
, 函数
f(x)
x
的图像经过点P

p,

、
Q

q,

。若
5

2ax

5

2
pq36pq
, 则
a
_________.
12.已知实数
x
1
、
x
2
、
y
1
、
y
2
满足：
x
1
y
1
1
,
x
2
y
2
1
,
x
1
x< br>2
y
1
y
2

2222
1
, 则
2
x
1
y
1
1
2

x
2
y
2
1
2
的最大值为_________.
二、选择题（本大题共有4题, 满分20分, 每题5分）
x
2
y
2
1
上的动点, 则
P
到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
13.设
P
是椭圆
53
（A）
22
（B）
23
（C）
25
（D）
42

14.已知
aR
, 则“
a1
”是“
1
1
”的（ ）
a
A
1
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
15.《九章算术》中, 称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为
A
阳马。设
AA
1
是正六棱柱的一条侧棱, 如图。若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以
AA
1
为底面矩形的一边, 则这样的阳马的个数是（ ）
（A）
4
（B）
8
（C）
12
（D）
16

16.设
D
是含数1的有限实数集,
f(x )
是定义在
D
上的函数。若
f(x)
的图像绕原点逆时针
旋 转

后与原图像重合, 则在以下各项中,
f(1)
的可能取值只能是（ ）
6

（A）
3
（B）
33
（C） （D）
0

23
三、解答题（本大题共有5题, 满分76分）
17.（本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分）
已知圆锥的顶点为
P
, 底面圆心为
O
, 半径为2.
（1）设圆锥的母线长为4, 求圆锥的体积；
（2）设
PO4
,
OA
、
OB
是底面半径, 且
AOB90
,
求异面直线
PM
与
OB
所成的角的大小。






18.（本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分）
设常数
aR
, 函数
f(x)asin2x2cosx
。
（1）若
f(x)
为偶函数, 求
a
的值；
（2）若
f
()

3

1
, 求方程
f( x)12
在区间
[

,

]
上的解。
2
M
为线段
AB
的中点, 如图,
P
O
M
B
A

4

19.（本题满分14分, 第1小题满分6分, 第2小题满分8分）
某群体的人均通勤时间, 是指单日内该群体中成员从居住地到工作 地的平均用时。某
地上班族
S
中的成员仅以自驾或公交方式通勤。分析显示：当
S
中
x%
（
0x100
）的成
员自驾时, 自驾群体的人均通勤时间为
0x30,

30,

f(x)

（单位：分钟）
1800
2x90,30x100
< br>x

而公交群体的人均通勤时间不受
x
影响, 恒为40分钟。试根据上述分析结果回答下列问题：
（1）当
x
在什么范围内时, 公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族
S
的人均通勤时间
g(x)
的表达式；讨论
g(x)
的单调性, 并说明其实
际意义。

21.（本题满分18分, 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分8分）
给定无穷数列
{
a
n
}
, 若无穷数列
{b
n
}
满足：对任意
nN*
, 都有
b
n
a
n
1
, 则称
{b
n
}
与
{a
n
}
“接近”。
（1）设
{
a
n
}
是首项为1, 公比为
1
的等比数列,
b
n
a
n1
1
,
nN*
。判 断数列
2
{b
n
}
是否与
{a
n
}
接近, 并说明理由；
（2）设数列
{
a
n
}的前四项为：
a
1
1
,
a
2
2
,
a
3
4
,
a
4
8
,
{b
n
}
是一个与
{a
n
}
接近的数列, 记集合
M{x|xb
i
,i1,2,3,4}
, 求
M
中元素的个数
m
；
（3）已知
{
a
n
}
是公差为
d
的等差数列。若存在数列
{b
n
}
满足：
{b
n
}
与
{a
n
}
接近, 且
在
b
2
b
1

20.（本题满分16分, 第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分）
设常数
t2
, 在平面直角坐标系
xOy
中, 已知点
F(2,0)
, 直线
l
：
xt
, 曲线

:
y
2
8x
（
0xt
,
y0
）,
l
与
x
轴交于点
A
, 与< br>
交于点
B
。
P
、
Q
分别是曲线

与线段
AB
上的动点。
（1）用
t
表示点
B
到点
F
的距离；
（2）设
t3
,
FQ2
, 线段
OQ
的中点在直线
FP
上, 求
△AQP
的面积；
（3）设
t8
, 是否存在以
FP
、
FQ
为邻边的矩形
FPEQ
, 使得点
E
在

上？若存
在, 求点
P
的坐标；若不存在, 说明理由。

,
b
3
b
2
, …,
b
201
b
200
中至少有100个为正数, 求
d
的取值范围。