歌曲母亲阎维文-围棋棋谱

中考数学试卷


一、选择题（本大题共12 小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2015•雅安）下列各数中最小的是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．3 D．4

2．（3分）（2015•雅安）据统计，地球上的海洋面积约为361 000 000km，该数用科学记数
m
法表示为3.61×10，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9

3．（3分）（2015•雅安）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6

4．（3分）（2015•雅安）下列大写英 文字母，既可以看成是轴对称图形，又可以看成是中心
对称图形的是（ ）
A．O B．L C．M D．N

5．（3分）（2015•雅安）已知某同学近几次的数学成绩（单位： 分）分别为92，90，88，92，
93，则该同学这几次数学成绩的平均数和众数分别是（ ）
A．90分，90分 B．91分，92分 C．92分，92分 D．89分，92分

6．（3分）（2015•雅安）如图是某正方体的表面展开图，则展开前与“我”字相对的面上的字< br>是（ ）
2

A．是 B．好 C．朋 D．友

7．（3分）（2015•雅安）下列计算正确的是（ ）
235235
A．x+x=x B．（x）=x
6332223
C．x÷x=x D．2xy•3xy=6xy

8．（ 3分）（2015•雅安）如图所示，已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，
且EG 平分∠FEB，∠1=50°，则∠2等于（ ）


第1页（共18页）

A．50° B．60° C．70° D．80°

9．（3分）（2015•雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x﹣4x+3=0的
根，则该三角形的周长可以是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10

10．（3分）（2015•雅安）下列命题是真命题的是（ ）
A．任何数的0次幂都等于1
B．顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形
C．图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小
D．角平分线上的点到角两边的距离相等

11．（3分）（2015•雅安）在二次函数y=x﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y 的最大值和最小值分
别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0

12．（3分）（2015•雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥ MN，垂足为点D，连接
AM，AN，点C为
以下结论：
①AD=BD；②∠MAN=90°；③
其中正确结论的个数是（ ）
=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
上一点，且=，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出
2
2
A．2 B．3 C．4


二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015•雅安）函数y=中，自变量x的取值范围是 ．

D．5

14．（3分）（2015•雅安）已知一个不透明的盒子中装有3个红 球，2个白球，这些球除颜色
外均相同，现从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是 ．

15．（3分）（2015•雅安）不等式组的解集是 ．
第2页（共18页）

16．（3分）（2 015•雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为
20m的栅栏，要围成一 扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为 ．

17．（3分）（201 5•雅安）若m
1
，m
2
，…m
2015
是从0，1，2这 三个数中取值的一列数，若
222
m
1
+m
2
+…+m2015
=1525，（m
1
﹣1）+（m
2
﹣1）+…+（m
2015
﹣1）=1510，则在m
1
，m
2
，…m
2015
中，取值为2的个数为 ．


三、解答题（本 大题共7小题，共63分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
18．（12分）（2015•雅安）（1）计算：|﹣2|+2cos45°﹣+（）
﹣
1
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．

1 9．（7分）（2015•雅安）某车间按计划要生产450个零件，由于改进了生产设备，该车间
实际 每天生产的零件数比原计划每天多生产20%，结果提前5天完成任务，求该车间原计
划每天生产的零件 个数？

20．（10分）（2015•雅安）为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开 设A．舞蹈，B．音
乐，C．绘画，D．书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽 取了部
分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列
问题：

（1）在这次调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两幅统计图补充完整；
（3）若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；
（4）若调查到喜欢“书 法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽
取2名学生，请用画树状图或列表的 方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率．

21．（8分）（2015•雅安）在学习 解直角三角形的相关知识后，九年级1班的全体同学带着
自制的测倾仪随老师来到了操场上，准备分组测 量该校旗杆的高度，其中一个小组的同学在
活动过程中获得了一些数据，并以此画出了如图所示的示意图 ，已知该组同学的测倾仪支杆
长1m，第一次在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，第二次向后退12 m到达E处，又测得
旗杆顶端A的仰角为30°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）
第3页（共18页）

22．（ 10分）（2015•雅安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象相交于
点A（ 1，5）和点B，与y轴相交于点C（0，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）现有一直线l与直线y=kx+b平行，且与反比例函数y=的图象在第一象限有且只有一
个交 点，求直线l的函数解析式．


23．（10分）（2015•雅安）如图，△ BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，
BE=CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．


24．（12分）（2015•雅安）如图，已知抛物线C
1
：y=﹣x，平移抛物线y=x，使其顶点D
落在抛物线C
1
位于y轴右侧的图象上， 设平移后的抛物线为C
2
，且C
2
与y轴交于点C（0，
2）．
（1）求抛物线C
2
的解析式；
22
第4页（共18页）

（2）抛物线C
2
与x轴交于A，B两点（点B 在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，
B，C的圆的圆心E的坐标；
（3）在过点（ 0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存
在，求出点F的坐标；若不 存在，请说明理由．




第5页（共18页）

2015年四川省雅安市中考数学试卷

参考答案与试题解析


一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共 36分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．（3分）（2015•雅安）下列各数中最小的是（ ）
A．﹣5 B．﹣4 C．3 D．4
【考点】有理数大小比较．
【分析】利用有理数大小的比较方法，比较得出答案即可．
【解答】解：∵﹣5＜﹣4＜3＜4，
∴最小的是﹣5．
故选：A．
【 点评】此题考查有理数的大小比较，掌握负数小于正数，两个负数绝对值大的反而小比较
方法是解决问题 的关键．

2．（3分）（2015•雅安）据统计，地球上的海洋面积约为361 000 000km，该数用科学记数
m
法表示为3.61×10，则m的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】科学记数法—表示较大的数．
n
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，
要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1 时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
2
【解答】解：将361 000 000用科学记数法表示为：3.61×10．
故m=8．
故选：C．
n
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2015•雅安）已知正多边形的一个外角等于60°，则该正多边形的边数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】多边形内角与外角．
【分析】利用外角和360°÷外角的度数即可得到边数．
【解答】解：360°÷60°=6．
故该正多边形的边数为6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形内角与外角，关键是掌握多边形外角和为360°．
4．（3分）（2015•雅安）下列大写英文字母，既可以看成是轴对称图形，又可以看成是中心
对称图形的是（ ）
A．O B．L C．M D．N
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
8
第6页（共18页）

【解答】解：A、O既可以看成是轴对称图形，又可以看成是中心对称图形，故A正确；
B、L既不可以看成是轴对称图形，又不可以看成是中心对称图形，故B错误；
C、M是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D、N既不可以看成是轴对称图形，又不可以看成是中心对称图形，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的
关键 是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后与 原图重合．

5．（3分）（2015•雅安）已知某同学近几次的数学成绩（单位：分） 分别为92，90，88，92，
93，则该同学这几次数学成绩的平均数和众数分别是（ ）
A．90分，90分 B．91分，92分 C．92分，92分 D．89分，92分
【考点】众数；算术平均数．
【分析】观察这组数据发现92出现的次数最多，进而得到这组 数据的众数为92，将五个数
据相加求出之和，再除以5即可求出这组数据的平均数．
【解答】解：∵这组数据中，92出现了2次，最多，
∴这组数据的众数为92，
∵这组数据分别为：92，90，88，92，93，
∴这组数据的平均数=91．
故选B．
【点评】此题考查了众数及算术平均数，众数即为这组数据中出现次数最多的数，算 术平均
数即为所有数之和与数的个数的商．

6．（3分）（2015•雅安）如 图是某正方体的表面展开图，则展开前与“我”字相对的面上的字
是（ ）

A．是 B．好 C．朋 D．友
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“我”与“是”是相对面，
“们”与“朋”是相对面，
“好”与“友”是相对面．
故选A．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相 对面入
手，分析及解答问题．

7．（3分）（2015•雅安）下列计算正确的是（ ）
A．x+x=x B．（x）=x
6332223
C．x÷x=x D．2xy•3xy=6xy
第7页（共18页）

235235

【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【分析】根 据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据同底数幂的除法，
可判断C；根据单项式 的乘法，可判断D．
【解答】解：A、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故A错误；
B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；
D、系数乘系数，同底数的幂相乘，单独 出现在一个单项式中的字母作为积的因式出现，故
D错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

8 ．（3分）（2015•雅安）如图所示，已知AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，
且 EG平分∠FEB，∠1=50°，则∠2等于（ ）

A．50° B．60° C．70° D．80°
【考点】平行线的性质．
【分析】根据角平分线定义求出∠BEF ，根据平行线的性质得出∠2+∠BEF=180°，代入求
出即可．
【解答】解：∵EG平分∠FEB，∠1=50°，
∴∠BEF=2∠1=100°，
∵AB∥CD，
∴∠2+∠BEF=180°，
∴∠2=80°，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线定义，平行线的性质的应用，能得出∠2+∠BEF= 180°是解此
题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．

9．（3分）（ 2015•雅安）已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x﹣4x+3=0的
根，则该三角形 的周长可以是（ ）
A．5 B．7 C．5或7 D．10
【考点】解一元二次方程- 因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长， 然后利用三角形三边关系确定等腰三角形
的腰和底的长，进而求出三角形的周长．
2
【解答】解：解方程x﹣4x+3=0，
（x﹣1）（x﹣3）=0
解得x
1
=3，x
2
=1；
∵当底为3，腰为1时，由于3＞1+1，不符合三角形三边关系，不能构成三角形；
∴等腰三角形的底为1，腰为3；
2
第8页（共18页）

∴三角形的周长为1+3+3=7．
故选：B．
【点评】此题考查用因式分解一元二次方程，三角形三边关系，注意计算结果的分类检验．

10．（3分）（2015•雅安）下列命题是真命题的是（ ）
A．任何数的0次幂都等于1
B．顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是正方形
C．图形的旋转和平移会改变图形的形状和大小
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据根据0指数幂的定义即可判断A；根据矩形的判定方法即 可判定B；根据平移
的性质对C进行判断；根据角平分线性质对A进行判断．
【解答】解：A、除0外，任何数的0次幂都等于1，错误，是假命题；
B、顺次连接菱形四边中点的线段组成的四边形是矩形，错误，是假命题；
C、图形的旋转和平移不会改变图形的形状和大小，错误，是假命题；
D、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，是真命题．
故选D．
【点评】本 题考查了0指数幂的定义，矩形的判定，平移和旋转的性质，角平分线性质，能
理解性质和法则是解此题 的关键．

11．（3分）（2015•雅安）在二次函数y=x﹣2x﹣3中，当0≤x ≤3时，y的最大值和最小值分
别是（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．0，0
【考点】二次函数的最值．
【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上 ，在顶点处取得最小值，在距对称轴最
远处取得最大值．
【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，
则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；
当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．

12．（3分）（2015•雅安）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接< br>2
AM，AN，点C为
以下结论：
上一点，且=，连接CM，交AB于点E， 交AN于点F，现给出
①AD=BD；②∠MAN=90°；③
其中正确结论的个数是（ ）
=；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=MF．
第9页（共18页）

A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】圆周角定理；垂径定理．
【专题】压轴题．
【分析】根据AB⊥MN，垂 径定理得出①③正确，利用MN是直径得出②正确，=
得出④正确，结合②④得出⑤正确即可．
【解答】解：∵MN是⊙O的直径，AB⊥MN，
∴AD=BD，
∵
∴
=
=
，
=，
=，∠MAN=90°（①②③正确）
=，
∴∠ACM+∠ANM=∠MOB（④正确）
∵∠MAE=∠AME，
∴AE=ME，∠EAF=∠AFM，
∴AE=EF，
∴AE=MF（⑤正确）．
正确的结论共5个．
故选：D．
【点评】此题考查圆周角定理，垂径定理，以及直 角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等
知识．

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．（3分）（2015•雅安）函数y=中，自变量x的取值范围是 x＞1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式被开放数大于等于0和分式的分母不为0回答即可．
【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，且x﹣1≠0．
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】本题主要考查的函数自变量的取值范围问题，明确二次根式被开 放数大于等于0
和分式的分母不为0是解题的关键．

第10页（共18页）

14．（3分）（2015•雅安）已知一个不透明的盒子中装有 3个红球，2个白球，这些球除颜色
外均相同，现从盒中任意摸出1个球，则摸到红球的概率是
【考点】概率公式．
【专题】计算题．
【分析】直接根据概率公式计算．
．
【解答】解：摸到红球的概率=
故答案为．
=．
【点评】 本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以
所有可能出现的结果数 ．

15．（3分）（2015•雅安）不等式组的解集是 1≤x＜2 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】首先求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得出原不等式组的解
集．
【解答】解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＜2，
∴原不等式组的解集为1≤x＜2；
故答案为：1≤x＜2．
【点评】本题考查了 一元一次不等式组的解法、一元一次不等式的解法；熟练掌握一元一次
不等式的解法是解决问题的关键．

16．（3分）（2015•雅安）为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现 有一长为
20m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为 25m ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】首先设扇形区域的半径为xm，则扇形的弧长为（20﹣ 2x）cm，该扇形区域的面积
2
为ycm，则可得函数：y=x（20﹣2x）=﹣x+10 x=﹣（x﹣5）+25，继而求得答案．
【解答】解：设扇形区域的半径为xm，则扇形的弧长为（ 20﹣2x）cm，该扇形区域的面积
2
为ycm，
则y=x（20﹣2x）=﹣x+10x=﹣（x﹣5）+25，
∴该扇形区域的面积的最大值为25m．
2
故答案为：25m．
【点评】 此题考查了扇形的面积计算以及二次函数最值问题．注意根据题意得到函数的解析
式是关键．

第11页（共18页）

2
22
222

17．（3分）（2015•雅安）若m
1
，m
2
，…m
2 015
是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若
222
m
1
+m
2
+…+m
2015
=1525，（m
1
﹣1）+（m2
﹣1）+…+（m
2015
﹣1）=1510，则在m
1
，m
2
，…m
2015
中，取值为2的个数为 510 ．
【考点】解三元一次方程组；完全平方公式．
【专题】压轴题．
222
【 分析】运用完全平方公式将已知的等式展开整理得m
1
+m
2
+…+m
2015
=1849，故此2015
个数中有166个数为0．
【解答】解：∵（ m
1
﹣1）+（m
2
﹣1）+…+（m
2015
﹣1）=1 510，
222
∴m
1
﹣2m
1
+1+m
2﹣2m
2
+1+…+m
2015
﹣2m
2015
+1= 1510，
222
∴m
1
+m
2
+…+m
201 5
﹣2（m
1
+m
2
+…+m
2015
）+201 5=1510，
∵m
1
+m
2
+…+m
2015
=1525， < br>222
∴m
1
+m
2
+…+m
2015
=2 545，
∵m
1
，m
2
，…，m
2015
是从0 ，1，2这三个数中取值的一列数，
∴m
1
，m
2
，…，m
2015
中为1的个数是2015﹣1510=505，
2的个数为（1525﹣505）÷2=510个．
故答案为：510．
【点评】此题考查完全平方公式的运用，找出运算的规律．利用规律解决问题．

三、解答题（本大题共7小题，共63分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤）
18．（12分）（2015•雅安）（1）计算：|﹣2|+2cos45°﹣+（）
﹣
1
222
（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．
【考点】分式的化简求值；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】（1 ）原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，
第三项利用立方根定义 计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分 式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约
分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式=2﹣+2×﹣2+2=2；
（2）原式=•=，
当x=﹣2时，原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（7分）（2015•雅安）某车间按计划要生产450个零件，由于改进了生产设备，该车间< br>实际每天生产的零件数比原计划每天多生产20%，结果提前5天完成任务，求该车间原计
划每天 生产的零件个数？
【考点】分式方程的应用．
第12页（共18页）

【分析】设该车间原计划每天生产的零件为x个，然后根据计划用的天数比实 际用的天数多
5列出方程，再求解即可．
【解答】解：设该车间原计划每天生产的零件为x个，
由题意得，﹣=5，
解得x=15，
经检验，x=15是原方程的解．
答：该车间原计划每天生产的零件为15个．
【点评】本题考查了分式方程在实际生活中的应 用，难度较小，找出题目中的等量关系是解
题的关键，解分式方程时要注意验根．

20．（10分）（2015•雅安）为了培养学生的兴趣，我市某小学决定再开设A．舞蹈，B．音
乐，C．绘画，D．书法四个兴趣班，为了解学生对这四个项目的兴趣爱好，随机抽取了部
分学生进行调 查，并将调查结果绘制成如图1，2所示的统计图，且结合图中信息解答下列
问题：

（1）在这次调查中，共调查了多少名学生？
（2）请将两幅统计图补充完整；
（3）若本校一共有2000名学生，请估计喜欢“音乐”的人数；
（4）若调查到喜欢“书 法”的4名学生中有2名男生，2名女生，现从这4名学生中任意抽
取2名学生，请用画树状图或列表的 方法，求出刚好抽到相同性别的学生的概率．
【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图．
【专题】数形结合．
【分析】（1）用C类人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（2）先分别计算出B类人数和A、B两类所占的百分比，然后补全统计图；
（3）利用样本 估计总体，用样本中B类人数的百分比作为全校喜欢“音乐”的人数的百分比，
然后用此百分比乘以全校 人数即可得到全校喜欢“音乐”的人数；
（4）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出相 同性别的学生的结果数，然后根
据概率公式求解．
【解答】解：（1）120÷40%=300（名），
所以在这次调查中，共调查了300名学生；
（2）B类学生人数=300﹣90﹣120﹣30=60（名），
A类人数所占百分比=
统计图为：
×100%=30%；B类人数所占百分比=×100%=20%；
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（3）2000×20%=400（人），
所以估计喜欢“音乐”的人数约为400人；
（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中相同性别的学生的结果数为4，
所以相同性别的学生的概率==．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状 图法展示所有可能的结果求出n，
再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图 和用样本估计总体．

21．（8分）（2015•雅安）在学习解直角三角形的相关知识 后，九年级1班的全体同学带着
自制的测倾仪随老师来到了操场上，准备分组测量该校旗杆的高度，其中 一个小组的同学在
活动过程中获得了一些数据，并以此画出了如图所示的示意图，已知该组同学的测倾仪 支杆
长1m，第一次在D处测得旗杆顶端A的仰角为60°，第二次向后退12m到达E处，又测得旗杆顶端A的仰角为30°，求旗杆AB的高度．（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】由∠AFC为△AFG的外角，利用 外角性质得到∠AGF=∠FAG，利用等角对等边得
到AF=GF=ED，在直角三角形ACF中，利 用锐角三角函数定义求出AC的长，由AC+BC
求出AB的长即可．
【解答】解：∵∠AFC=60°，
∴∠AFG=120°，
∵∠CGA=30°，
∴∠GAF=30°，
∴FA=FG=ED=12m，
∴AC=AF•sin60°=6（m），
∵BC=FD=1，
∴AB=AC+BC=（6+1）m．
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【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握运算法则是解本题的关
键．

22．（10分）（2015•雅安）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y =的图象相交于
点A（1，5）和点B，与y轴相交于点C（0，6）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）现有一直线l与直线y=kx+b平行，且 与反比例函数y=的图象在第一象限有且只有一
个交点，求直线l的函数解析式．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）由点A（1，5）在y=的图象 上，得到5=，解得：m=5，于是求得反比例函
数的解析式为y=，由于一次函数y=kx+b的图象 经过A（1，5）和点C（0，6），列
解得，于是得到一次函数的解析式y=﹣x+6；
，
（2）设直线l的函数解析式为：y=﹣x+t，由于反比例函数y=的图象在第一象限有且只有
一个交点，联立方程组，化简得：x﹣tx+5=0，得到△=t﹣20=0，同时解得t=2
结果．
【解答】解：（1）∵点A（1，5）在y=的图象上，∴5=，解得：m=5，
∴反比例函数的解析式为：y=，
∵一次函数y=kx+b的图象经过A（1，5）和点C（0，6），
∴，解得：，
22
，求得
∴一次函数的解析式为：y=﹣x+6；
（2）设直线l的函数解析式为：y=﹣x+t，
∵反比例函数y=的图象在第一象限有且只有一个交点，
第15页（共18页）

∴
2
，化简得：x﹣tx+5=0，
2
∴△=t﹣20=0，
解得：t=±2，
∵t=﹣2不合题意，
∴直线l的函数解析式为：y=﹣x+2．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点 问题，待定系数法求函数的解析式，认真
审题弄清题意是解题的关键．

23．（ 10分）（2015•雅安）如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，且AB⊥BC，BE=CE，连接DE．
（1）求证：△BDE≌△BCE；
（2）试判断四边形ABED的形状，并说明理由．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据旋转的性质可得DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，然后根据垂直
可得出∠DBE=∠CBE=30°，继而可根据SAS证明△BDE≌△BCE；
（2）根据（1 ）以及旋转的性质可得，△BDE≌△BCE≌△BDA，继而得出四条棱相等，
证得四边形ABED为 菱形．
【解答】（1）证明：∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，
∴DB=CB，∠ABD=∠EBC，∠ABE=60°，
∵AB⊥EC，
∴∠ABC=90°，
∴∠DBE=∠CBE=30°，
在△BDE和△BCE中，
∵，
∴△BDE≌△BCE；
（2）四边形ABED为菱形；
由（1）得△BDE≌△BCE，
∵△BAD是由△BEC旋转而得，
∴△BAD≌△BEC，
∴BA=BE，AD=EC=ED，
又∵BE=CE，
∴四边形ABED为菱形．
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【点评】本题考查了旋转的性质 ，解答本题的关键是掌握全等三角形的判定和性质以及菱形
的判定，涉及知识点较多，难度较大．

24．（12分）（2015•雅安）如图，已知抛物线C
1
：y=﹣x ，平移抛物线y=x，使其顶点D
落在抛物线C
1
位于y轴右侧的图象上，设平移后的 抛物线为C
2
，且C
2
与y轴交于点C（0，
2）．
（1）求抛物线C
2
的解析式；
（2）抛物线C
2
与x轴 交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，
B，C的圆的圆心E的坐标； < br>（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存
在， 求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
22

【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）设D（a，﹣a），进而求出a的值得出函数解析式即可；
（2）利用y=0求出A，B点坐标，再利用|CE|=|AE|，求出m的值进而得出答案；
（3）利用菱形的性质结合|BF|=|CF|=|CE|，再求出|FC|，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意设D（a，﹣a），
假设抛物线C
2
的解析式为：y=（x﹣a）﹣a，
∵点C在抛物线C
2
上，
∴将C（0，2）代入上式，
解得：a=±2，
∵点D在y轴右侧，
∴a=2，
∴抛物线C
2
的解析式为：y=（x﹣2）﹣2；

（2）由题意，在y=（x﹣2）﹣2中，令y=0，则x=2±，
∵点B在点A的右侧，
∴A（2﹣，0），B（2+，0），
又∵过点A，B，C的圆的圆心一定在线段AB的垂直平分线上，
∴设E（2，m），且|CE|=|AE|，
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2
2
22
2
2

则2+（2﹣m）=m+（2﹣2+
解得：m=，
∴圆心E的坐标为：（2，）；

222
），
2
（3）假设存在点F（t，），使得四边形CEBF为菱形，
则|BF|=|CF|=|CE|，
∴（）+（2+
解得：t=
当t=
，
2
﹣t）=（2﹣）+t，
222
时，F（2，），
，
==，
此时|EC|=
|FC|=
∴|CF|=|BF|=|BE|=|EC|，
即存在点F（，），使得四边形CEBF为菱形．

【点评】此题主要考查了二次函 数综合以及菱形的判定与性质以及勾股定理等知识，利用数
形结合得出F点位置是解题关键．


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